导数知识点总结复习

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导数知识点总结复习

导数知识点总结复习

经典例题剖析

考点一：求导公式。例1.f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是。3

考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y

1x2，则f(1)f(1)。2，3)处的切线方程是。例3.曲线yx32x24x2在点(1

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：yx33x22x，直线l:ykx，且直线l与曲线C相切于点x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。

例5.已知fxax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围。

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

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考点五：函数的极值。

例6.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx的极值步骤：①求导数f"x；

②求f"x0的根；③将f"x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f"x在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，fxx24xa。求导数f"x；（2）若f"10，求fx在区间2,2上的最大值和最小值。

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。

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考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直，导函数（1）求a，b，c的值；f"(x)的最小值为12。

（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。强化训练

（一）选择题

1x21.已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）

24A．1

B．2

C．3

D．4

2.曲线yx33x21在点（1，－1）处的切线方程为

A．y3x4

B．y3x2

（）

D．y4x5

C．y4x3

3.函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于（）

A．1

B．2

C．3

D．4

4.已知函数f(x)在x1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为

A．f(x)(x1)3(x1)C．f(x)2(x1)

22（）

B．f(x)2(x1)

D．f(x)x1

325.函数f(x)xax3x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a=（）

A．2

2B．3C．4D．5

6.函数f(x)x3x1是减函数的区间为(D)

A．(2,)

B．(,2)

C．(,0)

D．(0,2)

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7.若函数fxx2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f"x的图象是（）

ABCD

oxox

yyyy8.函数f(x)2x2x3在区间[0,6]上的最大值是（）

A．

13323B．

163C．12D．9

9.函数yx33x的极大值为m，极小值为n，则mn为（）

A．0

B．1

C．2

D．4

10.三次函数fxax3x在x,内是增函数，则（）

A．a0

B．a0C．a1

D．a1311.在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于

的点中，坐标为整数的点的个数是（）4A．3B．2C．1D．012.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）

yA．1个B．2个yf(x)C．3个D．4个

Oax

（二）填空题

313.曲线yx在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为__________。

14.已知曲线y15.已知f(n)134x，则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是______________33(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f(x)x6x5，对于任意xR，都有f(n)(x)=0，则n的最少

值为。

16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨．

（三）解答题

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17.已知函数fxx3ax2bxc，当x1时，取得极大值7；当x3时，取得极小值．求这个极小值及a,b,c的值．

18.已知函数f(x)x33x29xa.（1）求f(x)的单调减区间；

（2）若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

19.设t0，点P（t，0）是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。

（1）用t表示a,b,c；

（2）若函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。

3220.设函数fxxbxcx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。

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（1）求b、c的值。

（2）求g(x)的单调区间与极值。

21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

22.已知函数f(x)21312xaxbx在区间[11)，，(1，3]内各有一个极值点．32（1）求a4b的最大值；

，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数yf(x)的图象（即（1）当a4b8时，设函数yf(x)在点A(1动点在点A附近沿曲线yf(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．

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扩展阅读：导数复习知识点总结

高考数学复习详细资料导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值

yyf(x0x)f(x0)xx叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即x=。如果当x0时，

yx有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’

（x0）或y’|xx0。

lim即f（x0）=x0说明：

f(x0x)f(x0)ylimxx=x0。

yy（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，x有极限。如果x不存在极限，就说函数在点x0处

不可导，或说无导数。

（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；

yf(x0x)f(x0)x（2）求平均变化率x=；

y（3）取极限，得导数f’(x0)=x0x。

lim2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。

3．几种常见函数的导数:

xnnxn1;C0;①②③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;

11lnxlogxlogaeaxxxx(e)e;(a)alnax;⑧x⑤⑥;⑦.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

"""uv)uv.即：(

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

"""(uv)uvuv.函数乘以第二个函数的导数，即：

"""""(Cu)CuCu0CuCu若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

(Cu)"Cu".

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母

uu"vuv"2的平方：v‘=v（v0）。

形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y＇|X=y＇|Uu＇|X

201*高考数学复习详细资料导数应用知识清单

单调区间：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

"f如果(x)0，则f(x)为增函数；"f如果(x)0，则f(x)为减函数；

"f如果在某区间内恒有(x)0，则f(x)为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数(x)在(a，b)内的极值；②求函数(x)在区间端点的值(a)、(b)；

③将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：

0dx＝C；

1xm1xdx＝m1＋C（m∈Q，m≠－1）；

m1xdx＝lnx＋C；

exdx＝e＋C；

xaxxadx＝lna＋C；

cosxdx＝sinx＋C；

sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质①abkf(x)dxkf(x)dxabab（k为常数）；

ba②abf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxcb；

ac③a（其中a＜c＜b)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（a

2yxx1的切线，则其中一条切线为（）3．过点（－1，0）作抛物线

（A）2xy20（B）3xy30（C）xy10（D）xy10

4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r○1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，○

＋∞)上的变量，请你写出类似于

1的式子：；○

2式可以用语言叙述为：。○

y12x和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是。

5．曲线

6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）

C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）

7．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间

(a,b)内有极小值点（）

A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知函数

fx1xaxeyfxx0,1fx11x。（Ⅰ）设a0，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，

求a的取值范围。

32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是（）9．

(A)－2(B)0(C)2(D)4

322x3(a1)x1,其中a1.10．设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

3f(x)x3x2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为11．设函数

（x1,f(x1)）（x,f(x)）2、2，该平面上动点P满足PAPB4,点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点.求

(I)求点A、B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？13．计算下列定积分的值

（1）312(4xx2)dx

（2）1（3）(x1)5dx；；

20(xsinx)dxcos2xdx（4）

22；

14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．典型例题

一导数的概念与运算

EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s变式：定义在D上的函数f(x)，如果满足：xD，常数M0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

S(t)1att1，要使在t[0,)上的每一时刻的瞬时速度是以

【文】（1）若已知质点的运动方程为

M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为S(t)2t1at，要使在t[0,)上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.EG：已知

f(x)1f(2x)f(2),则limx0xx的值是（）

114B.2C.4D.－2

h0变式1：A．－１变式2：

A．

设f34,则limf3hf3为2h（）

Ｂ．－2C．－3D．1

fx0xfx03xxx0设fx在x0可导,则lim等于（）

2fx0B．

fx0C．

3fx0D．

4fx0

曲线h(t)在t0,t1,t2附近得变化情况。根据所给的函数图像比较变式：函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）//0f(2)f(3)f(3)f(2)yA.//0f(3)f(3)f(2)f(2)B.//0f(3)f(2)f(3)f(2)C.//0f(3)f(2)f(2)f(3)O1234xD.

EG：求所给函数的导数：

x31（文科）yxlog2x;yxe;ysinx(理科）y(x1)99;y2ex;y2xsin2x53nx。

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是

A．(－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)

EG：已知函数yxlnx.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点x1处的切线的方程.

xye变式1：已知函数.

（1）求这个函数在点xe处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()

111A.8B.4C.2D.1

EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

(1)f(x)x33x;(2)f(x)x22x3;(3)f(x)sinxx,x(0,);(4)f(x)2x33x224x1.

xf(x)xe变式1：函数的一个单调递增区间是

A.1,0B.2,8C.1,2D.0,2

y13xx2ax53

变式2：已知函数

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a的是.(2)若函数在[1,)上是单调增函数，则a的取值范围是.

32f(x)xax与g(x)bxc的图象的一个公共点，两函数的图t0t变式3：设，点P（，0）是函数

象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用t表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.

1f(x)x34x43EG：求函数的极值.

1f(x)x34x40,33求函数在上的最大值与最小值..

变式1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A．1个

B．2个C．3个D．4个

变式2：已知函数f(x)axbxcx在点

32yyf(x)x0b处取得极

aOx大值5，示.求：

其导函数yf"(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所（Ⅰ）

x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.

43f(x)axbx4，当x2时，函数f(x)极值3，变式3：若函数

（1）求函数的解析式；

（2）若函数f(x)k有3个解，求实数k的取值范围．

变式4：已知函数值范围。

f(x)x312x2xc2，对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取

xlnxxe,x0EG：利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：

11lnx1xx1，x1

变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的

实根，求实数a的取值范围.

32f(x)x3xxR,fmxf1mx0恒成立,求实数m的取值范围EG：函数若

fmsinf1m003f(x)x3xxR,2恒成立，求实数m的取值范围.变式1:设函数若

22(t,t)f(x)x(0x6)BAx变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M

处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，

(1)若t已知,求切线PQ的方程(2)求QAP的面积的最大值

变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然

后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式4:某厂生产某种产品x件的总成本

c(x)1201*3x75（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成

反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？

EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）

2131(1)dx;(2)(2x2)dx;(3)sinxdx;1x10x(4)sinxdx;(5)sinxdx022

变式1：计算：；

（1）

20cos2x22dx4xdxcosxsinx；0（2）

2y变式2：求将抛物线x和直线x1围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积.

12x0上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为12，试求：yx变式3：在曲线（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.

实战训练

1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为()

2.已知曲线S:y=3x－x3及点P(2,2),则过点P可向S引切线的条数为()(A)0

(B)1

(x0,y0)(C)2(D)3

3.C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:

(x01)(x02)204.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（）.

335(A)(,)(C)(,)(,2)2,3)22(B)22(D)(5.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1

6.函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，－1(B)3，-17(C)1，－17(D)9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(2,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.

8.设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.

9．（07湖北）已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是

y1x22，则f(1)f(1)

3f(x)12xx3]上的最小值是10．（07湖南）函数在区间[3，32yx2x4x2在点(1，3)11．（07浙江）曲线处的切线方程是9．.已知函数

f(x)x3ax2b(a,bR)

（Ⅰ）若函数f(x)图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：3a3；（Ⅱ）若

x0,1k≤1，函数yf(x)图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论的充要条件。

xxt12．(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsin2cos2+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.实战训练B

g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则1．（07福建）已知对任意实数x，有f(x)f(x)，x0时（）

A．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x)0

1x2

B．f(x)0，g(x)0D．f(x)0，g(x)0

2(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）ye2．（07海南）曲线在点

92eＡ．2

Ｂ．4e

Ｃ．2e

Ｄ．e

2x2ye(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）3．（07海南）曲线在点

92eＡ．4

22eＢ．

2eＣ．

e2Ｄ．2

2f(x)axbxc的导数为f"(x)，f"(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，4．（07江苏）已知二次函数

f(1)则f"(0)的最小值为（）

53A．3B．2C．2D．2

0xπ2，则下列命题中正确的是（）

5．（07江西）5．若

sinxA．

3344xsinxxsinx2x2sinx2x2πB．πC．ππD．

6．（07江西）若

sinx2xπ

0xπ2，则下列命题正确的是（）

A．B．

sinx2xπ

C．

sinx3xπ

D．

sinx3xπ

7．（07辽宁）已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（）A．0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值B．0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值C．0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值D．0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值

41yx3x1，38．（07全国一）曲线在点3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

1A．92B．91C．32D．3

x21y4的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（）9．（07全国二）已知曲线

A．1B．2C．3D．4

10．（07浙江）设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

1f(x)x32x1311．(07北京)f(x)是的导函数，则f(1)的值是

12．（07广东）函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是

3f(x)x12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则Mm13．（07江苏）已知函数22f(x)tx2txt1(xR，t0)．14．（07福建）设函数

（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

2)恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）若h(t)2tm对t(0，2f(x)2ax2x3a．a15．(07广东)已知是实数，函数如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围．

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