高考积分,导数知识点精华总结

高考积分,导数知识点精华总结

定积分

一、知识点与方法：1、定积分的概念

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1…xi1xi…xnb把区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi1,xi]上取任一点i(i1,2,…,n)作和式

nIni1，把n即x0时，和式In的极限叫做函f(i)x（其中x为小区间长度）

bbn数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：f(x)dx，即f(x)dx＝limaani1f(i)x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意

ab义是以曲线yf(x)为曲边的曲边梯形的面积。(2)定积分的性质①

akf(x)dxbkf(x)dxab（k；

为常数）；②

abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxb③f(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。

2、微积分基本定理

如果yf(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么:

baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)

b3、定积分的简单应用

(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线

xa,xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的

曲边梯的面积Sbaf(x)dx。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a

二、练习题

1、计算下列定积分：(1)(x1e1x1x0)dx(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3e2)dx203x(4)(4xx2)dx(5)|2x|dx

0122、求下列曲线所围成图形的面积：

（1）曲线y2xx2,y2x24x；（2）曲线yex,yex,x1。

3、2(sinxcosx)dx的值是：

2A.4B.2C.

4D.0

4、曲线y2x,yx2所围成图形的面积是：A.1B.

23C.

12D.

13

5、已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从t0到t1所走过的路程是：A.

13gB.gC.

1112gD.

14g

6、已知f(x)3x22x1，且7、已知f(a)f(x)dx2f(a)，则a

10(2axax)dx，求f(a)的最大值。

1228、已知f(x)为二次函数，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：

0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在[1,1]上的最大值与最小值。

导数

1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变

f(x0x)f(x0)量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yyxf(x0x)f(x0)x；比值

称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极

限

limx0yxlimx0f(x0x)f(x0)x存在，则称函数yf(x)在点x0f(x0)"处可导，并把这个或

y|xx"0极限叫做

f(x0)=lim"yf(x)在

x0处的导数，记作

.

，即

yxlimx0f(x0x)f(x0)xx0注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零(趋向0).②已知函数y2.函数y⑴函数yf(x)定义域为A，yf(x)"的定义域为B，则A与B关系为AB.

f(x)在点x0f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

f(x)在点x0处连续是y处可导的必要不充分条件.

f(x)点x0可以证明，如果y事实上，令xx0于是

xx0f(x)在点x0处可导，那么y.

处连续.

x，则xx0相当于x0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."⑵如果yf(x)点x0处连续，那么y0f(x)在点x00处可导，是不成立的.

yx|x|x例：f(x)|x|在点x00时，

yx1；当x处连续，但在点x0yx处不可导，因为不存在.

，当x＞

＜0时，1，故limx0yx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点

f(x)在点(x0,f(x))处的切线

的斜率，也就是说，曲线y方程为yy0f(x)(xx0).

"P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线

4.求导数的四则运算法则：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""""""""（c为常数）

vu"vuv2"(v0)

注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设和

f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们

f(x)g(x)

sinxcosx在x0处均可导.

fx((x))f(u)(x)"""5.复合函数的求导法则：或y"xy"uu"x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yyf(x)为增函数；如果f(x)"f(x)在某个区间内可导，如果f(x)"＞0，则

＜0，则yf(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；如果函数y注：①

f(x)在区间I内恒有

f(x)"=0，则yf(x)为常数.

f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上

，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）

并不是都有

f(x)0递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有函数

f(x)的极大值，极小值同理）f(x)在点x0f(x)＜

f(x0)，则f(x0)是

当函数处连续时，

f(x)""①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧

＞0，右侧＜0，右侧

f(x)""＜0，那么＞0，那么

f(x0)是极大值；f(x0)是极小值.

①

f(x)f(x)也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①：若点x0是可导函数

f(x)的极值点，则

f(x)"=0.但反过来不一定成立.对

于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使

f(x)"=0，但x0不是极值点.

是函数的极小值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x08.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.C"n0"n)cosx（C为常数）(six(arcsxi)n"11x2

(x)nx""n1（

11x2nR）(cosx)sinx

"(arccxo)s

1xx"2II.

(e(lnx)"1x

x(loagx)"1xlogae

(arctxa)n"1x

x)e""

1x2(a)alna

(arcotx)1

III.求导的常见方法：①常用结论：(ln②形如

|x|)"1x.

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)y(xa1)(xa2)...(xan)或y两边同取自然对数，可

转化求代数和形式.③无理函数或形如y对两边求导可得

xx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，

扩展阅读：高考积分,导数知识点精华总结[1]

定积分

一、知识点与方法：1、定积分的概念

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1…xi1xi…xnb把区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi1,xi]上取任一点i(i1,2,…,n)作和式

nIni1，把n即x0时，和式In的极限叫做函f(i)x（其中x为小区间长度）

bbn数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：f(x)dx，即f(x)dx＝limaani1f(i)x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意

ab义是以曲线yf(x)为曲边的曲边梯形的面积。(2)定积分的性质①

akf(x)dxbkf(x)dxab（k；

为常数）；②

abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxb③f(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。

2、微积分基本定理

如果yf(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么:

baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)

b3、定积分的简单应用

(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线

xa,xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的

曲边梯的面积Sbaf(x)dx。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a

二、练习题

1、计算下列定积分：(1)(x1e1x1x0)dx(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3e2)dx203x(4)(4xx2)dx(5)|2x|dx

0122、求下列曲线所围成图形的面积：

（1）曲线y2xx2,y2x24x；（2）曲线yex,yex,x1。

3、2(sinxcosx)dx的值是：

2A.4B.2C.

4D.0

4、曲线y2x,yx2所围成图形的面积是：A.1B.

23C.

12D.

13

5、已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从t0到t1所走过的路程是：A.

13gB.gC.

1112gD.

14g

6、已知f(x)3x22x1，且7、已知f(a)f(x)dx2f(a)，则a

10(2axax)dx，求f(a)的最大值。

1228、已知f(x)为二次函数，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：

0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在[1,1]上的最大值与最小值。

导数

1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变

量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yyxf(x0x)f(x0)xyxlimx0f(x0x)f(x0)；比值

称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极

f(x)在点x0f(x0)"限

limx0f(x0x)f(x0)x存在，则称函数y处可导，并把这个或

y|xx"0极限叫做

f(x0)=lim"yf(x)在

x0处的导数，记作

.

，即

yxlimx0f(x0x)f(x0)xx0注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零(趋向0).②已知函数y2.函数y⑴函数yf(x)定义域为A，yf(x)"的定义域为B，则A与B关系为AB.

f(x)在点x0f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

f(x)在点x0处连续是y处可导的必要不充分条件.

f(x)点x0可以证明，如果y事实上，令xx0于是

xx0f(x)在点x0处可导，那么y.

处连续.

x，则xx0相当于x0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."⑵如果yf(x)点x0处连续，那么y0f(x)在点x00处可导，是不成立的.

yx|x|x例：f(x)|x|在点x00时，

yx1；当x处连续，但在点x0yx处不可导，因为不存在.

，当x＞

＜0时，1，故limx0yx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点

f(x)在点(x0,f(x))处的切线

的斜率，也就是说，曲线y方程为yy0

f(x)(xx0).

"P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线

4.求导数的四则运算法则：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""""""""（c为常数）

vu"vuv2"(v0)

注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设和

f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们

f(x)g(x)

sinxcosx在x0处均可导.

fx((x))f(u)(x)"""5.复合函数的求导法则：或y"xy"uu"x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yyf(x)为增函数；如果f(x)"f(x)在某个区间内可导，如果f(x)"＞0，则

＜0，则yf(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；如果函数y注：①

f(x)在区间I内恒有

f(x)"=0，则yf(x)为常数.

f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上

，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）

并不是都有

f(x)0递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有函数

f(x)的极大值，极小值同理）f(x)在点x0f(x)＜

f(x0)，则f(x0)是

当函数处连续时，

f(x)"①如果在x0附近的左侧

＞0，右侧

f(x)"＜0，那么

f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧

f(x)"＜0，右侧

f(x)"＞0，那么

f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①：若点x0是可导函数

f(x)的极值点，则

f(x)"=0.但反过来不一定成立.对

于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使

f(x)"=0，但x0不是极值点.

是函数的极小值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x08.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：I.C"n0"n)cosx（C为常数）(six(arcsxi)n"11x2

(x)nx""n1（

11x2nR）(cosx)sinx

"(arccxo)s

1xx"2II.

(e(lnx)"1x

x(loagx)"1xlogae

(arctxa)n"1x

x)e""

1x2(a)alna

(arcotx)1

III.求导的常见方法：①常用结论：(ln②形如

|x|)"1x.

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)y(xa1)(xa2)...(xan)或y两边同取自然对数，可

转化求代数和形式.③无理函数或形如y对两边求导可得

xx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，

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