导数高考知识点总结(最全)

导数高考知识点总结(最全)

导数知识点归纳及应用

●知识点归纳一、相关概念1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值化率，即

y叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变xyf(x0x)f(x0)y=。如果当x0时，有极限，我们就说函

xxx数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|xx0。即f（x0）=lim说明：

（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。

（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：①求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；②求平均变化率

yf(x0x)f(x0)=；

xxf(x0x)f(x0)y=lim。

xxx0x0yy有极限。如果不存在xxy。

x0x例：设f(x)=x|x|,则f′(0)=.

f(0x)f(0)f(x)|x|x[解析]：∵limlimlimlim|x|0

x0x0x0x0xxx③取极限，得导数f’(x0)=lim∴f′(0)=0

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的

1/斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f（x0）（x－x0）。例：在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于

/

点的个数是A．3B．2C．1

3.导数的物理意义

如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s（t）。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。

例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）

ssss的点中，坐标为整数的4()

D．0

OA．

tOB．

tOC．

tOD．

t

练习：已知质点M按规律s2t23做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。

s；ts（2）当t=2，t0.001时，求；

t（3）求质点M在t=2时的瞬时速度。二、导数的运算

1．基本函数的导数公式:

（1）当t=2，t0.01时，求

①C0;（C为常数）②xnnxn1;③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;⑤(ex)ex;⑥(ax)axlna;

1⑦lnx;

x1⑧logaxlogae.

x2/例1：下列求导运算正确的是()

111A．(x+)12B．(log2x)′=

xxln2xxx2

C．(3)′=3log3eD．(xcosx)′=-2xsinx

例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f201*(x)＝()

A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx[解析]：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)=-sinx，

f3(x)＝f2′(x)=-cosx，f4(x)＝f3′(x)=sinx，循环了则f201*(x)＝f1(x)＝cosx

2．导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(uv)"u"v".

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)"u"vuv".

若C为常数,则(Cu)"C"uCu"0Cu"Cu".即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)"Cu".

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与

u"vuv"u分子的积，再除以分母的平方：（v0）。2vv例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()

A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)

3.复合函数的导数

形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解>求导>回代。

法则：y＇|X=y＇|Uu＇|X或者f[(x)]f()*(x).练习：求下列各函数的导数：（1）y3/6

xx5sinxx2;（2）y(x1)(x2)(x3);x（3）ysinx12cos2;（4）y2411x11x.

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数yf(x)在某个区间（a，b）可导，如果f"(x)0，则f(x)在此区间上为增函数；如果f"(x)0，则f(x)在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有f"(x)0，则f(x)为常数。例：函数f(x)x33x21是减函数的区间为

()

A．(2,)B．(,2)C．(,0)D．（0，2）

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3时取得极值，则a=()A．2B．33．最值：

C．4

D．5

在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如f(x)x3,x(1,1)。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。

（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数f(x)x33x1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是.●经典例题选讲

例1.已知函数yxf(x)的图象如图所示（其中f(x)是函数f(x)的导函数），下面四个图象中yf(x)的图象大致是()

4/

例2.设f(x)ax3x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

例3.已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0,2）,且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70.（Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调区间.

例4.设函数fxx3bx2cx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。

2例5.已知f（x）=x3ax2bxc在x=1，x=时，都取得极值。

3（1）求a、b的值。

1（2）若对x[1,2]，都有f(x)恒成立，求c的取值范围。

c例6.已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中

m,nR,m0，

（I）求m与n的关系式；（II）求f(x)的单调区间；

（III）当x1,1时，函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

例7：已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR

（1）当a0时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；（2）当a5/6

2时，求函数f(x)的单调区间与极值。（3）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究

函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

解：（I）当a0时，f(x)x2ex，f"(x)(x22x)ex，故f"(1)3e.

所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

（II）f"(x)x2(a2)x2a24aex.

令f"(x)0，解得x2a，或xa2.由a2知，2aa2.3以下分两种情况讨论。

2（1）若a＞，则2a＜a2.当x变化时，f"(x)，f(x)的变化情况如下表：

3x，2a+2a0极大值2a，a2a20极小值a2，+所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数.

函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

（2）若a＜

2，则2a＞a2，当x变化时，f"(x)，f(x)的变化情况如下表：3x，a2+a20极大值a2，2a2a0极小值2a，+所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数。函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

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扩展阅读：高考复习文科导数知识点总结

导数知识点

一．考纲要求

考试内容8A导数概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义根据导数定义求函数yc，yx，导数的运算导数及其应用yx2要求层次BC√△√，y1x√的导数导数的四则运算导数公式表◇导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题√√☆√☆√√二．知识点

1.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为

yy0f(x)(xx0).

"2.、几种常见函数的导数

"n"n1""①C0；②(x)nx；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(log3.导数的运算法则

x"xx"xax)"1xlna"；⑧(lnx)1x

(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()2vv4.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的

""""""u"uvuv""极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f(x)"=0，但x0不是极值点.

是函数的极小值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.5.导数与单调性

（1）一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数；（2）对于可导函数y=f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在某个区间上为增函数的充分非必要条件，f′(x)<0是f(x)在某个区间上为减函数的充分非必要条件；（3）利用导数判断函数单调性的步骤：

①求函数f(x)的导数f′(x)；②令f′(x)>0解不等式，得x的范围，就是递增区间；③令f′(x)<0解不等式，得x的范围，就是递增区间。

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