初二下册数学各章节的主要内容
每一章都是重点，考试是论课时出题的，就比如说最后一张数据的分析，虽然简单，但课时多，只不过题会简单点，到最后复习时，我觉得你主要是要把分式的公式（就是同底数幂相乘，底数不变指数相加……，书上有）还有一定要牢记反比例函数的性质，四边形的性质，判定，还有就是三角形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，重心那节只要记住三角的中心和几个书上列出来的几个，虽然重心不很重要，但以防考试，一定要记住几种常用的等腰梯形的辅助线的添法，如平移一腰，延长两腰，做两条高，平移一条对角线，作中位线，连接顶点和腰的中点并延长，连接顶点和对角线的中点，还有一定要知道给一个反比例函数上的点，作x轴y轴的垂线
知道三角形或矩形的面积，让你求反比例函数解析式，还有就是先化简，再找一个你喜欢的数带入，你所找的数一要定让原分式有意义，一般找个稍大点的数就没问题，如5，千万不要找012这些容易使分式无意义的数
一、分式的定义
针对分式的定义可以提出多种类型的问题。比如：如何区分整式与分式；分式何时有意义、无意义；分式取值情况等。其中分式的取值情况又包括：①分式值为0的条件；②分式的值何时为正；③分式的值何时为负等．解题要领是：
分式有意义分母不等于0分式无意义分母等于0
分式值为0分子等于0，分母不等于0分式值为正分子、分母同号分式值为负分子、分母异号
第一章：分式、要注意分式的定义，首先分式的分母不等于零；当分子等于零时分式的值为零，分式的基本性质是本章的红线，贯穿全章，它是分式的通分约分的基础，也是分式运算的工具。分式方程的解法：基本思想是化分式方程为正式方程；方法是去分母：方程两边同乘以最简公分母；注意验根。
第二章：反比例函数（1）解析式Y=K/X(K≠0)(2)图像：双曲线，（3）性质：当K＞0时，图像在一、三象限，在每个象限Y随X的增大而增大，反之相反。注意在每一个象限，不同的象限是不同的。（4）面积：自反比例的图像上的任一点作两轴的垂线，与两轴构成的四边形的面积等于K的绝对值。
第三章：勾股定理，还有逆定理，注意他的应用。
第四章，四边形，首先是平行四边形，其次是矩形、菱形、正方形，他们的定义、性质和判定定理，内容多，要牢记，梯形：有直角梯形、等腰梯形，注意区别和联系。这些必须在实际应用中训练。第五章是数据的分析，注意加权平均数，众数、中位数，他们反应的是一组数据的集中趋势，而方差反应的是一组数据的波动大小。众数只是出现次数最多，可能是一个，也可能是几个。中位数是按一定次序排列，可以由大到小或者由小到大，处在最中间的一个数或者两个数的平均数。方差要注意公式。
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第1章二次根式
二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。
本章的主要内容有二次根式，二次根式的性质，二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）。
一、教科书内容和教学目标1、本章的教学要求。
（1）了解二次根式的概念，了解简单二次根式的字母取值范围；（2）了解二次根式的性质；
（3）了解二次根式的加、减、乘、除的运算法则；
（4）会用二次根式的性质和运算法则进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。
2、本章教材分析。
课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫做二次根式。在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。
对于二次根式的性质，课本利用第4页图1-2给出的。该图的含义是如果正方形的面积为a，那么这个正方形的边长就是a；反之，如果正方形的边长为
a，那么这个正方形的面积就是a，因此就有(a)2a。从而得出二次根式的第一个性质。至于第二个性质，可以通过学生的计算来发现，所以课本安排了一个“合作学习”，让学生自己去发现和归纳。该节第一课时的重点在于对这两个
性质的理解和运用，例题和练习的设计就围绕这两个性质展开。第二课时是学习二次根式的另外两个性质，课本安排两组练习，意在让学生通过自己的尝试，与同学的合作交流来发现这两个性质。通过两个例题和一组练习，使学生知道运用二次根式的性质，可以简化实数的运算，也可以对结果是二次根式的式子进行化简。课本第9页的“探究活动”既是对二次根式的运用，更在于培养学生的一种探究能力，观察、发现、归纳等能力。
第1.3节二次根式的运算，包含了二次根式的加、减、乘、除四种运算以及简单应用，课本安排了3个课时，逐步推进，逐渐综合。第一课时侧重于两个（相当于两个单项式）二次根式的乘除，其法则是从二次根式的性质得到的，比较自然。例1是对两个运算法则的直接运用，让学生有一个对法则的熟悉和熟练过程；例2是一个结合实际问题的运用，其中有勾股定理和三角形的面积计算。第二课时是二次根式的加减和乘除混合运算，出现了类似单项式乘以多项式、多项式乘以多项式（包括乘法公式、乘方）、多项式除以单项式的运算。课本中没有出现“同类二次根式”的概念，只是提到“类似于合并同类项”“相同二次根式的项”，这种类比的方法，学生是能够理解的，也能够与整式一样进行运算。第三课时是二次根式运算的应用。例6的数字看上去比较复杂，其目的是为了二次根式的运算的应用；例7综合运用了直角三角形的有关知识、图形的分割、面积的计算等，其解答过程较长，也是对二次根式知识的综合运用。
二、本章编写特点
1、注重学生的观察、分析、归纳、探究等能力的培养。
在本章知识的呈现方式上，课本比较突出地体现了“问题情境数学活动概括巩固、应用和拓展”的叙述模式，这种意图大多通过“合作学习”来完成。“合作学习”为学生创设了从事观察、猜测、验证交流等数学活动的机会。如第5页先让学生计算三组a2与a的具体数值，再议一议a2与a的关系，然后得出二次根式的性质“a2=a”。二次根式的其他几个性质，课本中也是采用类似的方法。在学习了二次根式的有关性质后，课本又设计了一个“探究活动”，通过化简有关的二次根式，让学生自己去发现规律、表示规律、验证规律，并与同伴交流。所有这些都是教材编写的一种导向，以引起教与学方式上的一些的改变。
2、注重数学知识与现实生活的联系。
教材力求克服传统观念上学习二次根式的枯燥性，避免大量纯式子的化简或计算，适当穿插实际应用或赋予式子一些实际意义。无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活相联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养。如二次根式概念的学习，课本通过三个实际问题来引入，其目的就是关注概念的实际背景与形成过程，克服机械记忆概念的学习方式。又如，课本第3页，用二次根式表示轮船航行的的距离，第11页求路标的面积，第21页花草的种植面积问题等。特别是在二次根式的运算中，专门安排了一节内容学习二次根式运算的应用，例6选取的背景是学生熟悉的滑梯，例7选取的背景是学生感兴趣的剪纸条，以及作业中的堤坝、快艇问题等等。
3、充分利用图形，使代数与几何有机结合。
对于数与代数的内容，教材重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题，是教材的一个编写特点，也是对教学的一种导向。本章中，如二次根式与直角三角形有关边的计算密切相关，课本在这方面选取了一定量的问题，既丰富了勾股定理的运用，又学习了二次根式的计算。又如二次根式的引入，课本以图形作为条件，让学生通过计算给出二次根式的概念；在学习二次根式的性质时，课本通过让学生读图1-2，从正反两方面来理解其含义，得出二次根式的性质。例题中结合图形示意，帮助学生理解问题，解决问题；作业或课本练习中设计一些图形中有关线段长度的计算；通过方格、直角坐标系来画三角形、确定点的位置等等。课本在安排二次根式的运算在日常生活和生产实际中的应用时，所选取的问题也在于体现学生所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力。
三、教学建议1、注意用好节前语。
本章的节前语不多，但都紧密结合本节学习的内容，提出一个具体的问题。教学中可以利用它们来创设问题情境，引入课题。如第1.1节“排球网的高AD为2.43米，CB为a米，你能用代数式表示AC的长吗？”短短的几句话，既是一个学生熟悉的问题情境，又是一个看似熟悉但又具有一定的挑战怀，与数学学
习相联系的问题，教师可以由此提出一个与本节课学习有关的问题。教学中不应忽视这种作用。
2、注意把握教学难度。
与以往的教材相比，二次根式已降低了要求。如运用二次根式的性质将二次根式化简，只要求简单的，不要出现过于复杂的式子，并且明确根号内不含字母。对二次根式的四则运算，也仅局限于简单的，根号内不含字母，教学中不需补充超出课本题目要求的问题。当然对不同层次的学生，应该体现一定的弹性。课本第15页的作业题中的第7，8题，还可以借助于计算器进行计算。
3、充分运用类比的方法。
二次根式的运算以整式的运算为基础，其法则、公式都与整式的类似，特别是二次根式的加减，课本没有提出同类二次根式的概念，完全参照合并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的乘除、乘方运算。因此对于二次根式的四则运算的教学应充分运用类比的方法，让学生理解其算理和算法，提高运算能力。
（王亚权）
第2章一元二次方程
一、教科书内容和课程学习目标（一）教科书内容本章包括三节：2．1一元二次方程；2．2一元二次方程的解法；2．3一元二次方程的应用。
其中2．1节是全章的基础部分，2．2节是全章的重点内容，2．3节是知识应用和引申的内容。另外，阅读材料介绍了一元二次方程的发展，让学生了解数学的发展史。
（二）本章的知识结构
（三）课程目标
（1）了解一元二次方程的概念，会用直接开平方法解形如(xa)2b（b≥0）
5一元二次方程的概念一元二次方程的解法因式分解法开平方法配方法公式法一元二次方程的应用
的方程；
（2）理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程；掌握一元二次方程求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程；会用因式分解法解一元二次方程，使学生能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根。（3）体验用观察法、画图或计算器等手段估计方程的解的过程。
（4）能够根据具体问题中的数量关系，能够列出一元二程方程解应用题，能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表达问题及解决过程。体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
（5）结合教学内容进一步培养学生逻辑思维能力，对学生进行辩证唯物主义观点的教育，通过一元二次方程的教学，使学生进一步获得对事物可以转化的认识。（四）课时安排
2．1一元二次方程2课时其中：一元二次方程的概念1课时因式分解法解一元二次方程1课时
2．2一元二次方程的解法4课时其中：开方法、配方法2课时公式法2课时
2．3一元二次方程的应用2课时小结、目标与评定2课时二、编写指导思想与特点
方程教学在中学数学教学中占有很大的比例，一元二次方程在初中代数中占有重要地位。一方面，一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、一元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。
本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用，课本首先引入一元二次方程的概念，从实数的性质，将分解成为两个一次因式相乘积为零的一元二次方程转
化为两个一元一次方程入手，介绍了利用因式分解法解一元二次方程的方法，体现了数学的转化思想。接着课本首先从数的开平方的知识出发，直接讲开平方法，然后依次介绍了配方法和公式法。在讲述公式法的同时，课本特别给出了利用计算器解一元二次方程的解法示例，以揭示技术发展给数学学习带来的影响，这也是一种新的尝试。同时，以建立数学模型为主要着力点介绍了一元二次方程的应用，并在例题的设置上充分考虑了图表、立体图形、物体运动和经济活动中的问题背景，力图使学生在现实的环境中学习数学。
这一章是全书乃至整个初中代数的一个重点内容。因为这一部分内容既是对以前所学内容的总结、巩固和提高，又是以后学习的知识基础。因此这一章可以说是起到了承上启下的作用。高中阶段的指数方程、对数方程及三角方程，无非就是指数、对数、三角函数的有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合而已。初中代数中的不少主要技能、解题方法以及一些常用的数学思想方法，在本章都有所体现。例如，换元法、因式分解法、配方法等。另外，从具体到抽象的概括能力、逻辑推理能力等等在本章也有体现。可以说，无论从基础知识还是基本技能看，这一章都占有重要的地位。在本章的内容中，应以一元二次方程的解法，特别是公式法作为重点。三、教材体现的数学思想方法
本章从内容上看是初中代数的重点，从数学思想方法方面来看，也是初中数学中比较全面体现的一章。1．方程的思想
方程本身就提供了一种重要的数学思想方法，这一点在一元二次方程中体现的更为充分。学习方程不仅为进一步学习其他知识打下基础，不仅可用于解决一些实际问题，而且在更广泛的意义上讲，通过方程可以沟通已知与未知之间的联系，从而由解方程就可以使问题得以解决，通常称之为方程思想。方程思想作为一种数学思想，在数学发展史上有重要作用，对求解数学问题来说也有重要的意义。
2．公式解法
一元二次方程的公式解法在数学思想方法上有重要意义。首先，公式法是人们所知的多次方程的第一种公式(根式)解，它为以后进行公式解的研究开辟了道
路，并且是引起近似代数的起源问题之一，在数学的学习中也有重要意义；其次，公式法解体现了数学中的算子的思想，将数学问题进行抽象化、符号化、程序化，这是数学发展的重要的途径。3．分类讨论的数学思想
一元二次方程求根公式中，涉及开方问题，即对b24ac要实施开平方，而前面已经学过负数没有平方根。因此b24ac的状态就决定了一元二次方程根的状态。必须对b24ac的符号进行讨论。分类讨论的数学思想是一种极为重要的数学思想方法，教材中对Δ=b24ac的三种分类讨论隐含在课堂教学之中，通过“想一想”让学生自然地得到结论，降低由于数学思想上的要求所带来的学习上的难度，这是一种合理的处理方法。实际上，判别式的讨论是不解方程而对方程的根进行定性研究的重要指标。在研究二次函数的图象和性质等方面有重要意义，在研究二次曲线的问题时有重要地位。判别式实质上是利用方程的系数研究方程的性质，是一种以局部研究探求具体性质的方法。找一种关键性的数量关系去定性地研究一类对象，也是一种常见的数学思想方法。4．转化(化归)的数学思想
在本章中更突出地表示出“转化”的思想方法。如利用因式分解法解一元二次方程就是将一元二次方程转化为两个一元一次方程。严格地说，转化的思想是数学中认识和掌握新知识的重要途径，掌握这种方法，可以提高学生的数学能力，拓展学生数学知识。如换元法就是一种很重要的转化思想，这在本章也有不少的体现。
四、教材处理
关于教材处理，按教材内容的安排及课程标准的要求，分三部分进行分析：1．一元二次方程
本节包括一元二次方程的概念、因式分解法解一元二次方程，这一单元是本章的基础，教材两个问题中引入了一元二次方程的概念，一个问题是学生所熟悉的正方形和长方形的面积，另一个问题是从报纸上公布的统计数据，教学的重点是对方程的一般形式的认识和对方程解的理解，在此基础上，引入用因式分解法求一元二次方程解的方法，将这种解安排在此处，其目的是为了加强学生对学习
方程目的的理解，并为后续通过转化求方程解奠定思想基础。2．一元二次方程的解法
本节是本章的核心内容，主要是一元二次方程的各种解法。其中的一元二次方程的配方法和应用一元二次方程知识理解应用问题是重点，而这两个重点又是教学过程中的难点。一元二次方程的解法，尤其是公式法是学好本章的关键。因此，本节又是全章的重点，是学好本章的基础。
一元二次方程的解法，课本介绍了四种，即直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法。
直接开平方法适用于(xa)2b（b≥0）模式的方程。实际上，给出的一般方程只要存在实根，就可以用配方法转化为(xa)2b的形式。例如，课本中将方程x26x1转化为(x3)210，因此配方法是直接开方法的延伸，而直接开平方法是配方法的基础。
在配方法解一元二次方程的基础上，很自然地推出一元二次方程的求根公式，实际上就是对一般形式ax2bxc0（a≠0)的一元二次方程实施配方法的结果。
对于三种解法，公式法可以是一种“万能”方法，只要△=b24ac≥0，将系数a，b，c代入公式即可求解。在教学中注意一元二次方程中ax2bxc0的a≠0的条件。在配方时应强调方程两边同时加上“一次项系数之半的平方”或在左端加上“一次项系数之半的平方”再减去“一次项系数之半的平方”，实质上是方程的一种同解变形，这是必须反复训练方可达到学生熟练进行配方的目的，它也是推导求根公式的基础。
对△=b24ac的讨论，首先要渗透分类讨论的思想，另外，对△=b24ac=0的情况，一定要强调有两个相等的实根：这与方程根的理论一致，学生开始会认识只有一根，要反复强调，以纠正这种不正确的或说是不严密的结论。对△=b24ac
关于一元二次方程根与系数的关系，实际上，求根公式就体现了根与系数的关系，由于课程标准中没有涉及，但这部分内容对于今后的学习是很重要的，在教学中可以作为探索性学习的内容，让学生自己进行探索并得出结论。3．一元二次方程的应用
列方程解应用问题，前面一元一次方程的应用已学习过相关的知识，但是列一元二次方程解应用题仍然是难点，其原因是数量关系比较复杂且隐蔽；应用题所反映的实际背景比较复杂而学生又不太熟悉；所列方程也逐步复杂。主观上学生一开始受算术解法思维的定势影响，缺乏广泛的社会经济生产和生活以及相关学科方面的知识，理解文字语言和数学语言等方面的能力较差。
对于求解应用题，若从思想方法角度来看，列方程解应用题属于数学模型法，其中方程应用题求解，大体上都是这样六个步骤：①审题，理解题意，明确题中涉及几个量，有几个是已知量，有几个是未知量，它们之间有什么关系等等；②设元，根据题目要求，选择合适的未知数，又分为直接设元法、间接设元法。同时还要考虑设几个未知数为宜；③列式，分析题目中量与量的关系，关键是找出题目中的相等关系，这时，要注意挖掘题目中的那些隐蔽的相等关系，有时，又要辅之使用图示法、列表法等一些直观手段；④求解；⑤检验，既要检验得到的解是否符合原方程或原方程组，又要检验所得的解对实际问题是否有意义；⑥作答，写出正确合理的答案。在教学中可以结合问题解决的策略，让学生主动参与，自主建构和合作学习，体会数学建模的基本思想与方法。
（金克勤）
第3章频数及其分布
统计学是搜集数据、分析数据，并根据它获得总体信息的科学．本套教材在七年级上册安排了“数据与图表”，着重介绍了数据的收集、整理的初步方法；在八年级上册安排了“样本与数据分析初步”，通过对数据集中程度和离散程度的统计量的计算，初步了解了如何对数据的基本状态进行分析．为了进一步分析、处理数据，供决策时参考，有时我们还要了解数据的分布情况，找出新的特征数．“频数及其分布”这一章就是解决了这一问题．“频数及其分布”这部分内容在原总指浙江版义务教材中也有，但只是作为概率统计初步中的一小节．考虑到频数、频率、频数直方图、频数折线图与日常生活、自然、社会和科学技术领域的密切联系，《数学课程标准》增加了这块内容的份量．本套教材将这块内容独立设章的目的，一方面可用足够的篇幅来更清楚、更详细阐述，也是为每册循序渐进地学习概率与统计知识所作的精心安排．
本章教学时间约需7课时，具体安排如下：
3．1频数和频率1课时3．2频数分布1课时3．3频数的应用3课时复习、评估1课时，机动使用1课时，合计7课时．一、教科书内容和课程教学目标（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
11极差频数分布表频数及其分布布频数频数分布直方图频数分布折线图频率
知识技能目标目标类别目标层次知识点及相关技能极差频数及其分布频数的概念频数分布表频率的概念频数分布的意义和作用频数分布直方图频数分布折线图根据频数分布直方图估计平均数（3）本章教学要求
①通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用．
②会计算极差，会对数据合理分组，并求出每一组的频数、频率，列出频数分布表．③会画频数分布直方图和频数分布折线图，能根据频数分布直方图估计平均数，能根据数据处理的结果，作出合理的判断和预测，并在这一过程中体会统计对决策的作用．
④通过画直方图、折线图养成学生耐心细致的工作作风，实事求是的工作态度，善于观察、分析问题的能力．二、本章编写特点
（1）以《数学课程标准》为本，删繁就简、突出重要内容
画频数分布直方图不采用传统按部就班的逐步介绍的方法，步骤多、方法繁将会影响这个年龄段的学生学习兴趣．事实上，如3．1节做一做，“下面给出以0.4kg为组距，取2.75～3.15、3.15～3.55为端点”；对连续型、离散型数据的不同处理等，里面还有许多道理．不在繁琐的具体枝节上纠缠，突出重要概念，让学生体验频数、频率的真实含义，理解频数、频率分布的意义和作用才是教学的真正目的，也是本章教材编写的特点之一．
了理掌灵活过程性目标经历体验探索√解解握运用(感受)√√√√(体会)√√√√√√√√√√√
（2）精心选择实例，贴近学生生活，引起学生兴趣
频数、频率本身就是处理实际问题，从实际中来，在解决实际问题的过程中引入概念．教材精心挑选、引入大量学生熟悉的例子，创设学生熟悉的情境，引起学生兴趣，使学生能产生解决它的欲望．扫除一定程度上因为叙述事例的冗长而引起学生反感．如血型分布、运动鞋鞋号的选择、学科成绩、午餐等候时间、矿泉水质量等等都是学生身边的事，学生熟悉且亲切．同时也培养了学生从统计的角度思考与数据信息有关的问题，通过收集、分析数据的过程能初步作出合理的决策，提高学生处理问题、决策问题的能力．
（3）重实践操作，设计一定量的数学活动，在交流中增强数学应用意识
本章内容安排了一定量的实习操作性的活动，如“八年级男生、女生身高和所穿运动鞋的分布”“八年级学生跳绳次数的频数分布”“八年级男生、女生体重数据的分布”“商场不同价格的彩电销售情况”等，这些活动都需要学生分小组合作，事前精心设计策划，调查广泛接触不太熟悉的人和事，希望学生通过这些活动认识现实世界中蕴含的大量的数学信息，数学与现实世界有着紧密联系，增强学生的数学应用意识，也培养学生实际工作能力，从中获得克服困难经历或者体会获得成功的喜悦．
三、教学建议
（1）画频数分布直方图的一般步骤是：①计算极差；②决定组数与组距．一般当数据
在100个以内时，按照数据多少，常分为5~12组；组距是指每个小组的两个端点之间的“距离”，
极差=组距；③决定分点，为了避免有些数据本身落在分点上，组数常常将分点多取一位小数；④列表、划记；⑤画频数分布直方图．教师根据实际情况在讲解中灵活应用，但不要完全在黑板上重复以上步骤，这样违背了教材编写的初衷．
（2）利用频数分布表、频数直方图、频数折线图来分析数据的一些特征是教学的重点
之一，教学中应该充分发挥学生的积极性，让学生仔细地观察、大胆地推测、合理地验证．“统一订购运动服、运动鞋，应注意哪些问题？”“校方安排学生多长的午餐时间为宜？”“估计鱼塘中有多少条鱼”“分析男生、女生游泳项目成绩差异”等等，不像原来数学题有唯一标准答案，应鼓励学生各抒已见，最后在充分讨论的基础上形成比较一致的意见．这是与人交流、勇于探索、比较清晰表达自己观点的重要方式，也是新课程数学教学的一个重要方面，教师可视具体情况在本章教学中尽量体现．
（3）计算繁琐，联系实际紧密是本章的主要特点．除了课本提供的范例外，教学中教师
可根据实际情况进行适当补充．同时教师还应该充分利用多媒体预先制作好一些教具，不要使课堂上宝贵的时间浪费在抄写、绘图上面．四、本章教学中应注意的问题
（1）数据有“连续型”与“离散型”两种，对离散型数据，如课本第51页的血型分组一般
比较容易，对离散型数据分组不唯一，仅是根据经验，不同的分组一般得到的结论也有所差别，但只要合理均认为正确．
（2）进行实践活动时，要注意有些问题可能涉及学生的个人隐私，如较胖的女同学不愿意
论及自己的体重，她认为公开自己的体重是侵犯了个人隐私权；一分钟跳绳次数比较少的同学也可能觉得没面子而出现一些不愉快事情．针对这些情况任课教师应有充分的思想准备，采取回避或选择一些合适的同学或选择另外适当的数据作调查对象等办法．我们的目的是通过一些实践活动在交流中培养互相合作的精神，与人合作中体会愉快，用数学知识解决实际问题中，增强应用数学的自信心．不要因为个别特殊原因干扰整个教学计划．
（3）直方图的纵坐标与横坐标一般来说有不同的单位，每个单位的具体长度应在比较中进
行选择．最终的要求是画出来的图形比较美观，能清楚反映分布情况、及变化趋势．课
本所采用画折线的办法就是避免图形画在极端的位置．在不影响整个图形所反映基本特征的情况下，使频数直方图或频数折线图更加美观．也可以采用将学生所画的图比较展览的办法，让学生在交流中取长补短，互相吸收别人好的经验，来完善自己画图技能．
（王利明）
第4章命题与证明
本章是实验几何过渡到论证几何的启蒙章节。我们应该认识到学习欧几里得几何对锻炼和培养学生的逻辑推理能力，有着其他内容无法代替的作用；然而几何入门难的问题多年来一直存在。对于几何的处理，本套教科书根据《数学课程标准》的要求，提供了一个全新的思路。
从七年级上册“图形的初步知识”一章的实验入门，到七年级下册“三角形的初步知识”“图形和变换”的实验为主，开始出现局部推理，到八年级上册“平行线”“特殊三角形”的实验，开始向推理过渡，再到本章开始有固定格式的论证几何，因为有了一年半几何感性认识的基础，初步的识图能力，简单的推理能力，再学习高层次的论证几何，自然就有了一定的准备和基础。本章内容处于“实验几何”与“论证几何”的交接点上，它对学生顺利地转入论证几何的学习，有着重要的思维润滑作用。能有效地帮助学生认识到学习论证几何的必要性，继而为下阶段的学习铺平了道路。
学生在认识几何证明的必要性方面是本节教学的第一个难点与重点。学生已有一年半的实验几何的学习基础，固然对后阶段的学习有很重要的奠基作用，但也有一定的负迁移作用。学生已经习惯于从“量一量”“算一算”及图形运动变换中直接得出图形性质，并有了一定的初级、简单推理时充当理由的使用历史，即基本默认了这些性质。因此，使学生充分认识到几何证明的必要性便成为本章的一个难点。掌握证明的一般步骤与格式是本章教学的第二个重点与难点。
本章教学时间约需10课时，具体安排如下：4.1定义与命题2课时4.2证明3课时4.3反例与证明1课时4.4反证法1课时复习评价2课时，机动1课时
合计10课时
一、教科书内容和课程教学目标1、本章知识结构框架图如下：
2、本章的教学目标如下：
了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。
了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。会根据一些基本事实证明简单命题。
通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。
二、本章编写特点
1、教材内容生活化且富有情趣，加强与生活和学生的经验以及现代社会和科技发展的联系，知识由此变得鲜活起来，让学生有亲近感。如在反证法一节中，用《路边苦李》的故事引入课题，让学生体会反证法就在生活中，数学就在生活中。又课本在定义与命题这节中所选择的素材和问题有来自生活的、自然学科的、社会的及其数学自身的，将数学与自然科学，社会科学有机整合。
2、《数学课程标准》指出：“证明的教学所关注的是对证明必要性的理解，”教材不仅提供了为数不少的引起视觉错误的图形，还结合阅读材料“费马和他的猜想”，从不同角度让学生体会到证明的必要性。在如何让学生理解证明的必要性方面可谓颇费心机。
3、重视反例的构建。传统教材只在命题的真假教学时中提到“反例”。而本套教材不惜重墨，单独编写一节“反例与证明”。这是为了在中学数学教学中有
意识地使用反例，并加强对反例构建方法的指导，这对学生创新思维的发展是大有裨益的。
三、教学建议
1、本章是学生系统学习论证几何的起步阶段。推理形式从归纳推理为主体，转变为演绎推理为主体，逻辑性加强，推理表达要求严格规范是本章的特点。教学中应精心设计使学生从直观几何到论证几何，从归纳推理到演绎推理的过渡阶梯。要重视范例的分析过程教学，使学生逐步学会逆思维的方法。初学论证几何，无论是分析证明思路，还是写证明过程，学生都会感到困难，应多作示范。
2、在讲解命题的概念时，应通过生活和数学的实例来说明什么是命题；能够区分一个简单命题的真伪。教师可通过生活、代数、几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到，并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而体会证明的必要性。
3、用反证法证题时，由于要假设待证明的命题的结论不成立，就需考虑结论的反面可能出现的各种情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只需否定这种情况；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种情况全部列举出来，并加以否定，才能肯定原命题的正确。但课本中没有出现这类问题，教学时不必补充。教学中可以通过生活实际和简单的数学例子，使学生体会反证法的思想，但在义务教育阶段不必给出反证法的证明格式。
4、举反例和证明同样重要，注重反例教学以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。5、关于设计题。
本章的设计题“费马点”向学生提供了充分的从事数学活动和交流的机会，让他们经历实验、想像、分析、猜测、交流、验证和推理等过程，使他们在自主探索的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识，思想和方法，同时获得
广泛的数学活动的经验，使学生成为数学学习的主人，而教师则成为学生学习的引导者和交流者。教师可将“设计活动”当作“课题”来处理，从提出问题开始到问题的解决，直至小论文成稿，在整个过程中，教师一方面要保护学生的探究积极性，另一方面要适时地进行引导，使学生的探究活动逐渐从表面到深入，从情境走向数学思考，从而经历数学化的过程。
（卓立波）
第5章平行四边形
本章是学习了三角形、几何证明的基础上，开始研究四边形，四边形的学习与三角形有着密切的联系，许多四边形的问题都通过连线转化为两个三角形的问题来解决，且研究的方法有许多类同的地方，所以说四边形是三角形的应用和深化；另外在学了几何证明后，平行四边形内容为证明实例提供了丰富的材料，让学生有机会实践、巩固前面的知识．本章一开始从多边形引入，在知识体系上看也是顺理成章，探索多边形的内角和办法并不深奥，所隐含化归为三角形的思想却是数学中常用的思想方法，会引起学生的关注和兴趣．平行四边形是中心对称图形，利用中心对称变换使平行四边形的许多性质得到合理的解释，用轴对称变换来研究等腰三角形，用中心对称变换来研究平行四边形，用变换的观点来阐述图形的几何性质也是新教材的特点之一．如三角形中位线的定理用中心对称的观点来证明显得合理且简单明了．本章还穿插了逆命题和逆定理的概念，前一章是“命题与证明”，为了避免在一章中集中过多的抽象概念，给学生带来困难，所以把逆命题与逆定理放在本章，既分散了难点，又因为已有一定量知识积累，有利于学生理解掌握．
本章教学时间约需18课时，具体安排如下：
5．1多边形3课时5．2平行四边形1课时5．3平行四边形的性质3课时5．4中心对称2课时5．5平行四边形的判定2课时5．6三角形的中位线1课时5．7逆命题与逆定理2课时复习、评估2课时，机动使用2课时，合计18课时．
一、教科书内容和课程教学目标（1）本章知识结构框图如下：
平行四边形（）
（2）本章教学要求
逆命题与逆定理四边形多边形多边形的内角和与外角和正多边形正多边形的镶嵌平行四边形的性质平行四边形平行四边形的判定中心对称中心对称的性质三角形中位线定理①了解多边形的定义及有关概念，探索多边形的内角和与外角和，在探索过程中培
养学生的归纳、推理能力；②了解正多边形的概念，通过动手实验，知道任一个三角形、四边形、正六边形可
以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；③掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件；
④了解中心对称及其性质，探索平行四边形是中心对称图形及相关性质；
⑤结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．
（3）本章教学目标如下：
目标类别目标层次知识点及相关技能四边形的定义及有关概念四边形的边、顶点、对角线、内角与外角多边形四边形的内角和定理及推论多边形的定义及有关概念多边形的内角和多边形的外角和探索多边形内角、外角和的方法正多边形的定义及有关概念用正多边形镶嵌平面用图形变换观点设计镶嵌图平行四边形平行四边形的性质定理及推论中心对称图形的定义及有关概念中心对称图形的性质中心对称平行四边形的判定探索平行四边形的中心对称性及其相关性质三角形的中位线定理逆命题及逆定理
二、本章编写特点
知识技能目标了理掌灵活过程性目标经历体验探索√√解解握运用(感受)√√√√√√√√√√√(体会)√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√平行四边形的定义及有关概念四边形不稳定性及其应用平行四边形的性质√√√√判定一个图形是否为中心对称图形√√√√√逆命题与逆定理写出简单命题的逆命题勾股定理的逆定理√√
（4）注意重视学生自主探索，让学生直观理解几何现象
本套教材与传统教材一个不同之处就是重视学生独立思考和探索能力的培养，在本章中体现比较明显．课本较多的采用了通过动手剪、动手折或填表等动手实践的方式，让学生自主探索、直观理解几何现象．如四边形内角和规律的发现、绘制镶嵌图、“平行四边形对边相等”这个性质、平行四边形判定定理的探索、用剪刀剪三角形拼成平行四边形等等．课本尽量提供学生充分自主探索的时间与空间，使学生进一步经历实验、猜测、验证、反思等活动，同时在动手的过程中，丰富学生数学活动经验与体验．（5）提供交流合作的机会，形成学生数学学习有效的策略
本章从很多方面提供了生动有趣的问题情境，提供许多与同学交流的机会，在与同学交流中学习，通过取长补短，吸收同学意见、修正、完善自己的想法；或在寻找规律方面，互相启发，逐步形成完整、符合实际的结论，从而体验数学学习有效的策略．如探索多边形的的内角和，在与同学合作交流中通过探索、填表，找出规律，掌握将多边形通过连结对角线转化为求n－2个三角形内角和的一般性方法．相信即使学习相对困难的学生，在同学的帮助下、启发下，也会有兴趣完成表格的填写．我们认为就这一内容而言，掌握方法（添辅助线）、参透思想（转化为三角形），与知道结果同样重要．学生真正参与到知识发生的过程中去．
（6）通过图形旋转的方法引入平行四边形，突出图形变换思想
平行四边形是第一学段学生已经接触过的图形，传统教材直接给出两组对边分别平行的平行四边形的定义，本套教材采用以三角形一边中点为旋转中心，按逆时针（或顺时针）方向旋转，将所得的像与原来的图形组成四边形让学生判断的办法，然后再给出平行四边形的定义，突出了图形变换思想．这样做一方面学生对图形理解更深刻、全面，同时为以后就平行四边形的性质、判定内容的学习、与后续特殊四边形的学习起到从多角度思考拓宽思路，增强综合能力的作用．
（7）注意与前面内容有机联系，有利于培养学生全面地思考问题的习惯
本章编写中还注意了与前面内容的有机联系，除了渗透图形变换思想外，如求频数折线图中内角和的度数；在直角坐标系中判断对称的坐标的逆命题，并要求加于证明．其目的是使前后知识有机串联、溶合，使学生理解数学内容是一个整体，各个分支可以互相渗透，克服孤立看问题的偏向，有利于培养学生全面思考问题的习惯．三、教学建议
（1）本章概念、性质定理、判定定理等比较多，而且一部分容易引起混淆，教学中不应
采用要求学生死记硬背的方式，而应采用在理解的基础上，按系统循序渐进的记忆．教师可选择一些针对性的练习或变式训练来让学生辩别，通过练习来比较概念之间的联系和差别，做到掌握理解有关四边形的一些概念和性质．
（2）充分利用前面所学的平行线与三角形，较自然地导出四边形性质及平行四边形的
概念、性质和判定．所以在教学中应该重视前面平行线、三角形这个基础作用，起到以旧带新、前后联系、构建完整的知识体系这样一个目的．
（3）本章是“命题与证明”学习后的第一章，本章的一些性质、结论课本采用折一折、
剪一剪、拼一拼的方法从几何直观引出，但不能到此为至，接下去便应该启发学生从道理上说清楚，逐步养成从逻辑上严格证明的习惯．因为在前三册中已为证明作了铺垫，学生这时学习证明，应是水到渠成，只是在书写上要求更加规范一些．四、本章教学中应注意的问题
（1）多边形的引出是从四边形开始的，先熟悉了四边形的基本概念，然后再在此基础上
类推得到多边形的概念．这里要注意的是四边形的定义为“不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形”，根据这样的定义，四边形应当包括凹四边形也包括空间四边形．教材用脚注作了约定：“教科书所说的四边形等多边形，都是指凸多边形”。在教学中可以画一个凹四边形，帮助学生理解凹四边形的特征；同时也应强调在同一平面内，若四条线段不在同一平面内，就成了空间四边形．凹四边形和空间四边形只需让学生知道即可，不必花太多笔墨．
（2）四边形的内角、外角这些概念和三角形的内角、外角的概念类似，只要通过具体描
述，学生就不难理解，因此没有必要作出严格定义．和三角形内角不同的是，四边形的内角有四个，这样就有相对的相邻的不同位置关系，这在以后的表述特殊四边形的性质和判定时经常用到，教学中应向学生交待．
（3）本章内容特别要注意培养学生的推理能力，要求学生能清晰、有条理地表达自己的
思考过程，并应将此落实到整个教学中。首先要帮助学生理清知识体系．如判定平行四边形有五个方法，可以分成三类：从边看：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；从角看：④对角相等；从对角线看：⑤对角线互相平分．定义本身就具有判定的功能．这些内容在课本中分散在各处，教学中教师应善于与学生一起小结、归纳，理清脉络，并在这个基础上，引导学生规范书写，有条理地表达思考过程，这样才能逐步做到言之有理、落笔有据．
（王利明）
第6章特殊平行四边形与梯形
本章是上一章《平行四边形》的深化且延续，从知识体系上看从旋转变换定义了中心对称图形平行四边形以后，从角的特殊性（直角）、从边的特殊性（等边）得到矩形和菱形；从对图形研究的角度看，推理论证在这一章中得到加强与深化，进一步要求学生能清晰、有条理表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据．同时通过“合作学习”等形式，让学生自主探索这些基本图形的性质及其相互关系，从而丰富对空间图形的认识和感受．应该指出的是：在本套教材中，几何推理证明到此已达到最高要求，根据《数学课程标准》，在后续九（上）《圆的基本性质》《相似三角形》，九（下）《直线与圆、圆与圆的位置关系》等章内容中，除了进一步巩固书写格式、继续训练学生运用数学语言合乎逻辑进行交流讨论外，不再提出其他更高的要求．
本章的主要内容有矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和四边形是矩形、菱形、正方形及等腰梯形的条件．有些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅．本章不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升．
特殊平行四边形与梯形的概念与性质是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、梯形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，学生要正确理解证明的本身，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点．
本章教学时间约需14课时，具体安排如下：
6.1矩形3课时6.2菱形2课时6.3正方形1课时6.4梯形2课时
课题学习简单平面图形的重心1课时复习、评估3课时，机动使用1课时，
合计13课时一、教科书内容和课程教学目标(1)本章知识结构框图如下：
等腰梯形
菱形的性质等腰梯形的判定方法四边形平行四边形菱形的判定方法菱形正方形矩形矩形的判定方法正方形的性质25正方形的判定方法梯形等腰梯形的性质矩形的性质
(2)本章教学要求
①在动手操作（摆火柴棒、折纸）过程中加深对矩形、菱形、正方形的概
念、对称性及其他有关性质的理解，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件．
②探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件．③通过交流、讨论、归纳梳理出各个概念的从属关系，各个性质和判定的
相互联系与区别，培养学生概括能力，进行矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中的客观规律教育．
④探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一
根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心），培养学生动手操作能力．⑤了解矩形、菱形、正方形是中心对称图形．欣赏现实生活中的轴对称性
与中心对称图形．并了解它们之间的关系．(3)本章教材分析
1．本章的主要内容是特殊平行四边形与梯形，课本从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形．教师可以再补充一些日常生活中的具体的事例，以加深对这些基本图形的认识与理解．
2．矩形、菱形、正方形、梯形之间存在一定区别与联系，矩形、菱形和正方形都是一类特殊的平行四边形，矩形是有一个角是直角的平行四边形，而菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此，它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．梯形不是特殊的平行四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形．只有搞清楚它们之间的关系，才能更好把知识学好．可以抓住平行四边形这条主线，搞清楚它们之间的区别与联系．
3．本章的学习要注意多从实物出发，让学生感受到图形世界无处不在，引起学生学习的兴趣．还可以结合一些具体问题，让学生感受学习空间与图形知识的重要性和必要性．对于一些抽象的概念、性质等，也要从解决实际问题引入，
让学生在探索中真正理解这些性质．同时要注意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系．这些不仅是学习好本章的关键，对于学好整个平面几何各章也是很重要的．
4．在教学中应注重对证明本身的理解，虽然前面已有接触，但学生还不熟练，这需要一个过程．因此，教学中不要过分追求证明的数量和技巧，要控制一定的难度，控制在《标准》所规定的范围内．
二、本章编写特点
（一）充分利用现实世界中的实物原型进行教学，展示丰富多彩的几何世界人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的实物原型到平面图形，再到基本图形矩形、菱形、正方形、梯形，从而更好地“把握图形”．
在本章教科书的许多地方，如菱形、梯形概念的引入，基本图形的性质与判定的探究，以及合作学习、课内练习、探究活动、作业题中都呈现了大量生活中的图形，在实际教学时还可以向学生展现更多他们熟悉的生活中的物体和图形，增加学生的直观感受，提高学习空间与图形知识的兴趣，从而更好地认识图形，了解图形，最终达到用图形解决现实生活中的实际问题．
（二）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形，树立图形观念．
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．
在本章的教科书中，设置了许多“合作学习”“想一想”“探究活动”等栏目，让学生在观察、操作、想像、交流等活动中认识图形等．比如利用火柴棒首尾相接摆成平行四边形，再通过观察思考这个平行四边形的特点，从而引出矩形、菱形的概念．再比如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法等．通过这些“探究点”，
鼓励学生勤思考、勤动手、多交流．其中，动手操作是学习开始阶段重要的一环，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想像能力．（三）重视几何语言与证明思想的培养和训练
在本章，特别注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程．首先，教科书强调实物原型的作用，引入了大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形，并从几何图形中抽象出文字和符号．其次，教科书重视几何证明的作用，对于对象的文字和符号描述，都是紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上培养证明思想，从而解决几何证明的有关问题．
例如，利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法．这样通过学生自己动手探究出判定菱形的方法，实现了“几何模型→图形→文字”的过程，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．因此，教学中应重视对学生几何语言的培养，这对学习几何证明非常重要．另外，几何证明也是训练学生几何语言的一种非常有效的方法，正确的几何证明也能训练人的思维，教师应鼓励学生阅读课文，可以在作业中模仿教材中的证明，注重对证明本身的理解．
三、教学建议
（一）注意与前两个学段的衔接
这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”特殊平行四边形与梯形的有关内容和要求，并了解它们与这一部分内容的联系与区别．
从《数学课程标准》看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直观认识长方形、正方形、梯形等几何图形，并对这些几何图形进行有关的计算．在这一章，要通过丰富的实例，认识基本图形（矩形、菱形、正方形和梯形）之间的关系，通过对平行四边形的进一步的探究，从而发展几何直觉；进一步认识这些基本图形的概念和一些性质，并能初步利用数学语言加以论证并应用．
了解了这些联系与区别，教学时便可以在学习知识的基础上，把前面两个学段学过的内容加深一步，同时避免完全的重复．
（二）把握好教学要求
在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征．这并不意味着要用严格的几何推理的方式来展开学习，而是要强调在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形性质的过程．例如对于判定菱形的方法，教科书中先利用一张长方形纸片，对折两次，再按照要求剪开，然后通过观察剪出的图形的特点，从而探究出判定菱形的方法，然后，再将它转化为符号语言并加以论证．而课后让学生在作业中模仿教材中的证明，关键是注重对证明本身的理解，决不能片面追求证明的数量和技巧．
对于推理能力的培养，整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的，推理能力的培养既集中在“空间与图形”中，又结合各领域中适宜的内容自然地进行．在本章，由于已经进入第三学段的后半段，已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“用符号表示推理”，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续．矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质的得出都通过说理来加以论证．但要控制一定的难度，证明的要求控制在《数学课程标准》所规定的范围内．
（三）重视现代信息技术的应用
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力和学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一．
在这一章，利用信息技术工具，可以给我们展现丰富多彩的图形世界，丰富学习资源，有助于学生从中抽象出几何图形；图形的动态演示，连续变化所形成的众多画面变换，可以在大脑中形成图形空间变化的印象，可以帮助学生在动态变化的图形中寻找图形的性质，从而发现解题思路．比如，通过《几何画板》动态演示四边形的变化过程，帮助学生寻找基本图形之间的联系，体会它们之间的内在含义．同时，也鼓励学生自己利用信息技术工具，来丰富自己的知识，提高自己的认识．
（徐鸿斌）
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