八年级数学上册知识点总结(第十一章)

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八年级数学上册知识点总结

八年级数学上册知识点总结

第十一章三角形

编者：肖潇

11.1与三角形有关的线段

第1课时三角形的边

1.三角形的概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形按边分类

三角形

等腰三角形（至少两边相等）等边三角形（三边都相等）不等腰三角形底边和腰不等的等腰三角形3.三角形三边的关系（重点）

三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b要求会的题型：①数三角形的个数

方法：分类，不要重复或者多余。Page2题1

1

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②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可Page2题4

③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形

方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。Page2题11

④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋bPage2题5，9，10

⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长

方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。Page3题14，15

第2课时三角形的高、中线与角平分线

1.三角形的高

从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。2.三角形的中线

连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。3.三角形的角平分线

2

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∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。要求会的题型：

①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。Page4题9

重点题page4题7，8

第2课时三角形的稳定性

1.三角形具有稳定性2.四边形及多边形不具有稳定性

要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

11.2与三角形有关的角

第1课时三角形的内角

1.三角形的内角和定理

三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。2.直角三角形两个锐角的关系

直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。有两个角互余的三角形是直角三角形。

第2课时三角形的外角

1.三角形外角的意义

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

3

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2.三角形外角的性质

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。3.五个基本图形（1）

3412∠1＋∠2＝∠3＋∠4（2）

BOCA∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C

第（3）（4）（5）基本图形见《原创新课堂》page9题17

第一课时及第二课时复习重点题page7题：18；page8题6，7，9，13，15

11.3多边形及其内角和

第1课时多边形

1.多边形的概念

在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为

1(2

3).

4

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2.凸多边形

画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。3.正多边形

各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）要求会的题型：

①告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数方法：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2(3).将边数带入公式即可。重点题：page10题8，9，11

1

第2课时多边形的内角和

1.n边形的内角和定理

n边形的内角和为(2)180°2.n边形的外角和定理

多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

重点题：page11题11，15，16，17；page12题19，20；page13题24，25，27

单元考前可以做一下page14题2,3,8,9,10,11,12；page15题15,2,5做完后可以自己对照答案看一下，答案如下：

2.B3.B8.①④⑤9.二十二，3600，20910.75°11.60°12.2201*15.底边长为12.38cm5.另两边长为7cm和7cm祝大家考试顺利！！！

5

扩展阅读：八年级上第十一章至第十五章知识点及练习汇总

第十一章全等三角形知识点梳理

一、基本知识点1、全等三角形：

⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。⑵全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形角叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。⑶全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。2.三角形全等的条件：

全等三角形的识别：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）3．角平分线的性质：

⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。⑵角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。二、经验与提示

1．寻找全等三角形对应边、对应角的规律：

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．③有公共边的，公共边一定是对应边．④有公共角的，公共角一定是对应角．⑤有对顶角的，对顶角是对应角．

⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)2．找全等三角形的方法

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。3．角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。4．证明线段相等的方法：（1）中点定义；（2）等式的性质；

（3）全等三角形的对应边相等；

（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。

5．证明角相等的方法：（1）对顶角相等；

（2）同角（或等角）的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角、内错角相等；（4）角的平分线定义；（5）等式的性质；（6）垂直的定义；

（7）全等三角形的对应角相等；

（8）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。

6．证垂直的常用方法

（1）证明两直线的夹角等于90°；（2）证明邻补角相等；

（3）若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；

（4）垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。（5）证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6）邻补角的平分线互相垂直。7．全等三角形中几个重要结论

（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等。

第十一章全等三角形复习题

一、填空题：1、已知三角形的两条边长分别为9cm，17cm，则第三边长为。2、ABC中，A∶B∶C=2∶3∶4，则A=度，B=度，C=度。3、直角三角形两锐角平分线所夹的钝角的度数是。4、已知等腰三角形一边等于5，一边等于6，则它的周长为______。5、如果等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形周长的差是4cm，那么这个等腰三角形的腰长等于，底边长等于。6、在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足为E，则C=。7、如图，A+B+C+D+E+F=。

8、ABC中，ACB=90，CD⊥AB于D，BC=

1AB，2BC=2cm，则AB=cm，AC=cm。

9、ABC中，C=90，AC=4，AB=8，CD是AB边上中线，则ACD是三角形。10、等边三角形是对称图形；对称轴有条。二、选择题：1、以两条边长为10和3及另一条边组成边长都是整数的三角形一共有。A．3个B．4个C．5个D．无数多个2、若一个三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形一定是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能3、具备下列条件的两个三角形，全等的是

A．两个角分别相等，且有一边相等B．一边相等，且这边上的高也相等

C．两边分别相等，且第三边上的中线也相等D．两边且其中一条对应边的对角对应相等4、等腰三角形中有一个角是50，它的一条腰上的高与底边的夹角是A．25B．40C．25或40D．大小无法确定

5、一个三角形的一边为2，这边的中线为1，另两边之和为31，那么这个三角形

的面积为

A．1

B．

32C．3D．不能确定

三、已知：如图，ABC中，AB=AC，AD=BD，AC=DC求：B的度数

四、已知：RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的高，BF平分ABC，交AD于E。求证：AEF是等腰三角形五、已知：如图AB=CD，AC和BD的垂直平分线相交于O点。求证：ABO=CDO

六、已知：如图ABC中，BC边中垂线DE交BAC的平分线于D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。求证BM=CN

七、已知：如图，ABC中，ACB=90，M为AB的中点，DM⊥AB于M，CD平分ACB，交AB于E求证：MD=AM

第十二章轴对称知识点总结

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。4、轴对称的性质：A"H（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

I（3）对应点到对称轴的距离相等。DD"（4）对应点的连线互相平行。B"J5、线段的垂直平分线：KC"（1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。m如图2，图1∵CA=CB，

直线m⊥AB于C，

∴直线m是线段AB的垂直平分线。ABC性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。如图3，图2∵CA=CB，

m直线m⊥AB于C，P点P是直线m上的点。∴PA=PB。ABC（2）判定。

图3与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB，

直线m是线段AB的垂直平分线，

顶∴点P在直线m上。

角腰6、等腰三角形：腰（1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰。

底角底角底边第三条边叫做底。

两腰的夹角叫做顶角。腰与底的夹角叫做底角。说明：顶角=180°-2底角底角=

图4

180顶角190-顶角

22可见，底角只能是锐角。

（2）性质。

等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。等边对等角。

如图5，在△ABC中A∵AB=AC

∴∠B=∠C。三线合一。

（3）判定。

有两条边相等的三角形是等腰三角形。

BC如图5，在△ABC中，D∵AB=AC

图5∴△ABC是等腰三角形。

有两个角相等的三角形是等腰三角形。如图5，在△ABC中∵∠B=∠C

∴△ABC是等腰三角形。7、等边三角形：

（1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。（2）性质。

等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。等边三角形的三个内角都等于60°。A如图6，在△ABC中∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°。（3）判定。BC三条边都相等的三角形是等边三角形。图6如图6，在△ABC中∵AB=AC=BC

∴△ABC是等边三角形。

三个内角都相等的三角形是等边三角形。如图6，在△ABC中∵∠A=∠B=∠C

∴△ABC是等边三角形。

有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。如图6，在△ABC中

∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC）

∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）∴△ABC是等边三角形。

（4）重要结论。在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。如图7，

∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°∴BC=

1AB2或AB=2BC

8、平面直角坐标系中的轴对称：(1)(a,b)图7

关于x轴对称(a,b)

横不变，纵反向关于y轴对称(a,b)

横反向，纵不变(2)(a,b)说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见11（1）。9、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。成轴对称的两个图形只有一条对称轴。10、常见的轴对称图形：（1）英文字母。

ABDEHIKMOTUVWXY

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。

（3）数字。038（4）图形。

说明：圆有无数条对称轴。正n边形有n条对称轴。11、掌握几个作图：

（1）作出点A关于直线m对称的点A/。作法：如图

以点A为圆心，适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN交于两点C、D。分别以点C,D为圆心，大于

1CD的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E。2作射线AE，设交直线mn于点F。

//

4在射线AE上截取FA=FA，点A即为所求。○

（2）课本34页例题。（3）课本37页9、10题。（4）课本42页12.2-8图2

第十二章轴对称复习练习题

0

1．已知等腰三角形的一个角为42，则它的底角度数_______．

2．下列10个汉字：林上下目王田天王显吕，其中不是轴对称图形的是_______；有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________．3.如图，镜子中号码的实际号码是___________．

4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______．

5．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．6.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于y轴对称的点的坐标为．，点P（－2，1）关于x轴对称的点的坐标为是．

7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．

08．如图，AB=AC，BAC120，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC。

9、如图，△ABC的周长为32，且ABAC，ADBC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为．

10．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM的度数为________．

11.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________．

AMEC

N

ADBFBC

D

二、选择题

学科网1．下列图形是轴对称图形的是（）

A．B．C．Ｄ．2.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）

A．三条中线的交点B．三条高的交点

C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点3．在下列说法中，正确的是（）

A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形;B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形;C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形;

D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形

4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于（）

A.三角形内B.三角形外C.斜边的中点D.不能确实

5．如图3，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（）

A．12

B．24C．36

D．不确定

6．如图4所示,Rt△ABC中，∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（）

A．AC=AE=BEB．AD=BDC．CD=DED．AC=BD

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）A．30oB．40oC．45oD．36o

8．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）

A．13B．14C．15

AANOBM图3

C

CEBA

D．16

DE

D图4BC

9．如图，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（）A．20

B．30

C．35

D．40

10、如图，在Rt△ABC中，B90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知BAE10，则C的度数为（）A．30B．40C．50D．60

11．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF110，且AEAF，则∠A等于（）

E30B．40C．50A．D．70

ABABDFBECDC

CAD

12．王明是班上公认的“小马虎”在做作业时，将点A的纵横坐标次序颠倒，写成A（a，b）,小华也不细心，将点B的坐标写成关于y轴的对称点的坐标，写成B（－b，－a），则A、B两点原来的位置关系是（）

A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．A和B重合D．以上都不对13.在直角坐标系中，已知A（-3，3），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）.

A．2个B．3个C．4个D．5个

15．平面内点A（-1，2）和点B（-1，6）的对称轴是（）

A．x轴B．y轴C．直线y=4D．直线x=-116．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，EDE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连结DM．在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是．（写出一个即可）

MA

BDC17．如下图所示，直线ι1，ι2，ι3表示三条相互交叉公路，现要建一个货物中转站，求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址共有（）处．

A．1B．4C．6D．7

三、解答题

1．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：⑴分别作两条对角线（如图7－16中的图1）；⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）．请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法．（正确画图，不．．．．．．．．．．．．写画法）

图（2）图（1）图（3）图（4）

2．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是.

3.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点。

（1）写出点A的坐标,B的坐标.

（2）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。

4．如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？

请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．

BA

5．开放与探究：（1）观察图中①－④中阴影部分所构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个特征；（2）借助图中⑤的网格，请你设计一个新图案，使该图案同时具有你解答（1）中所写的两个共同的特征．

②③①④⑤

6．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BDAE，AD与CE交于点F．（1）求证：ADCE；（2）求∠DFC的度数．

7．如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．

..

8、如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.

⑴上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序．．．．

号写出所有情形)；

⑵选择第⑴小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.

9.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长。

C

BADE

10.已知：如图所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．求证：①BECD；②△AMN是等腰三角形．C

NE

MDBA

11、如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB

于E，交AC于F，BE=5cm，CF=3cm，求EF的长．

BC

AEOF第十三章实数知识点汇总

1．有理数，无理数概念：

有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。无理数：无限不循环小数叫做无理数。2．平方根和算术平方根的概念及其性质：

（1）概念：如果x2a，那么x是a的平方根，记作：a；其中a叫做a的算术平方根。

（2）性质：①当a≥0时，a≥0；当a＜０时，a无意义；

2②a＝a；③a2a。

（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，期中a叫做被开方数。

3．立方根的概念及其性质：

（1）概念：若x3a，那么x是a的立方根，记作：3a；

3333（2）性质：①aa；②aa；③3a＝3a

（3）开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，期中a叫做被开方数。

4．实数的概念及其分类：

（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：a按定义分

正整数正有理数正分数有理数零数有限小数或无限循环小实数负整数负有理数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

b按大小分:

实数

正实数零负实数

在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.

5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。

第十三章实数单元练习

1.计算4的结果是（）．

Ａ.2Ｂ．±2Ｃ．-2Ｄ．4．

2.在-1.732，2，π，3.14，2+3，3.212212221，3.14这些数中，无理数的个数

为().

A.5B.2C.3D.4

3.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是().

A.①②B.②③C.③④D.②③④4.下列各式中，正确的是().

3(13)213553.60.6A.B.C.D.36635.下列说法中，不正确的是（）．

22(3)(3)A3是的算术平方根B±3是的平方根23(3)(3)C－3是的算术平方根D.－3是的立方根

6.下列说法中，正确的是（）．

A.不带根号的数不是无理数B.8的立方根是±2

C.绝对值是3的实数是3D.每个实数都对应数轴上一个点7.若

(a3)2a-3，则a的取值范围是().

A.a＞3B.a≥3C.a＜3D.a≤3

5x23x有意义的x的范围是().8.能使

A.x＞-2且x≠3B.x≤3C.-2≤x＜3D.-2≤x≤3

9.如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（）A.0B.正整数C.0和1D.110.下列说法错误的是（）

A.a与（a）相等B.

22

a2与

(a)2互为相反数

33aaC.a与a是互为相反数D.与互为相反数

11、若规定误差小于1，那么60的估算值为（）

A、3B、7C、8D、7或8

212．若a25，b3，则ab（）

A．8B．±8C．±2D．±8或±213．若

2b15和3a1都是5的立方根，则a=，b=

114．若x的立方根是－4，则x＝。

15．平方根等于它本身的数是。

16．一个实数的平方根大于2小于3，那么它的整数位上可能取到的数值为。

2201*17．已知(2a1)b1=0，则-ab=。

2y18．若y=14x4x14，则x=。

19．如果2a180，那么a的算术平方根是。20．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：

aa2b2。

21．一个正数a的平方根是2x—3与5—x，则x是多少？

22.(本题6分)若x、y都是实数，且y=x3+3x+8，求x+3y的立方根.

23．(本题6分)如图:A,B两点的坐标分别是(2,3),(3,0)

(1)将OAB向下平移3个单位求所得的三角形的三个顶点的坐标(2)求OAB的面积

O14

yA11xB

24、化简（每小题5分，共15分）①

③|32|+|32|-|21|

2+3252②6(

1-6)6第十四章一次函数知识点汇总

14.1变量与函数

1、变量与常量的意义

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）。数值始终不变的量为常量。

友情提醒：在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）。

例1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？

1、在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度L（单位：cm）？

2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；

3、某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.

4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.

2、函数的概念

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

注意：1、对函数概念的理解，主要应该抓住以下三点：⑴有两个变量；⑵一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；⑶自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应。2、函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。3、自身先改

变的是自变量,随之而变的是函数。

例1、判断下列变量之间是不是函数关系：（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高。

例2、一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。（1）写出表示y与x的函数关系式。（2）指出自变量x的取值范围。（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

解：（1）y=50-0.1x（2）0≤x≤500（3）x=200,y=30

3、函数的表示方法

函数的表示方法为解析法、列表法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。

①解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，该等式简称解析式优点：函数关系清楚，容易由自变量的值，求出对应的函数值（反之也可），便于利用解析式来研究函数的性质。

②列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。如：银行的利息表，三角函数表，平方根表。

优点：不用计算，就可求出函数值。

③图像法：用图像表示两变量之间的关系如：医务室的身高图，气象台的气温变化图。我国人口出生率变化的曲线图。

优点：形象直观地表示出函数的变化情况。

例1一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.①由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；

②据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？

解：（1）y=0.05t+10(0≤t≤7)

（2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35预计2小时后水位将达到10.35米。

4、函数图象的意义

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

例1下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家。其

中x表示时间，y表示小名离家的距离。

根据图象回答问题：

⑴菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；⑵小明给菜地浇水用了多少时间？⑶菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？⑷小明给玉米锄草用了多少时间？⑸玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？

5、画函数图像的一般步骤

1、列表:2、描点:3、连线:。

6、函数自变量的取值范围：【三招确定“函数自变量取值范围”】

一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方法:

第一招:必须使含自变量的代数式有意义.

⑴解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.

2

例如:指出下列各函数的自变量取值范围:①y=x-1；②y=3x-2；③y=-5x.解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。

⑵解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.

例如:确定下列函数的自变量取值范围:①y=221；②y=；③y=2xx1x1

解：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量x的分式，所以分母不为零时，函数有

意义。

所以①中的x≠0；②中的x≠-1；③中的x≠1且x≠-1

⑶解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:

①y=x2；②y=3x1；③y=1；④y=x21x1解：①x≥2；②全体实数；③x0即x≥0且x≠1；④全体实数

x10⑷含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数.

例如：确定下列函数的自变量取值范围:

①y=x2；②y=解：①x-2≠0，x≠2;②第二招:必须使实际问题有意义.

0x113

x10即x≥-1且x≠0

x110例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q（升）与行驶路程s（千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。

解：Q=40-0.4s∵40Q040400.4s0∴∴0≤s≤10

s0s0∴自变量取值范围为0≤s≤10

第三招:必须使图形存在.

例1：A、B、C、D四个人做游戏A、B、C三人站在三个不同的点上构成一个三角形且∠BAC=40°，

D在△ABC内部移动，但不能超越△ABC。则D与B、C构成一个三角形，则∠BDC的度数的取值范围是__________________.解:40°＜∠BDC＜180°

例2:已知等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。BQP解：y=20-2x∵xxy2x202x∴∴5＜x＜10

202x0xyxNCAM

例3：已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合.让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,

2

则重叠三角形部分的面积y(cm)与时间t(秒)之间的函数关系式为______________.自变量t的取值范围是________________.

分析:在移动的过程中,重合部分的三角形也为等腰直角三角形AN=2t,则

MA=20-2t,所以解析式可求.由0＜MA≤20可确定自变量取值范围解:y=自变量t的取值范围是0≤t＜10

12202t,214.2一次函数1、正比例函数

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

例1、写出下列函数的关系式。

（１）圆的周长L随半径r的大小变化而变化。（２）铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化。（３）每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化。（４）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化。

2、正比例函数解析式与图象特征之间的规律：

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx．当K>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k汽车用几小时可到达北京？速度是多少？

２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？解法一：用图象解答：从图上可以看出4个小时可到达．

120速度＝4=30（千米／时）．

行驶１小时离开天津约为30千米．

当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．解法二：用解析式来解答：

由图象可知：Ｓ与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120即120=k4k=30∴S=30t．

当t=1时S=301=30（千米）．

10当S=100时100=30tt=3（小时）．

以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．

3、一次函数的意义

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

例１、下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

8（1）y=-8x．（2）y=x．（3）y=5x2+6．（4）y=-0．5x-1．

例２、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？（2）求第2．5秒时小球的速度．

例３、汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？

解答：１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．２．（1）v=2t，它是一次函数．（2）当t=2．5时，v＝22．5=5

所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．３．函数解析式：y=50-5x

自变量取值范围：0≤x≤10y是x的一次函数．

4、一次函数的性质

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b的绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）。

规律：当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k0时，y随x增大而增大．当k0时，交点在原点上方．当b=0时，交点即原点．当b0b>0（2）k>0b0k<0经过一、三象限经过二、四象限经过一、二、三象限经过一、二、四象限经过一、三、四象限经过二、三、四象限y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而增大y随x的增大而减小5、确定一次函数的解析式待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。

例1、已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．

设这个一次函数解析式为y=kx+b．因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以

3kb5k24kb9解之，得b1

故这个一次函数解析式为y=2x-1。结论：

函数解析式选取满足条件的两定点画出一次函数的图象y=kx+b解出（x1，y1）与（x1，y2）选取直线L

用待定系数法确定一次函数y=kx+b的解析式的一般步骤是：(l)设所求函数解析式的一般式.(2)将已知条件转化为关于k、b的方程或方程组.(3)解所建立的方程及方程组(4)将所求出的k、b代人一般式，求出解析式.

例1.已知一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点()A.(-1,1)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)

2.若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求b的值．3．点M（-2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?

一次函数(三)

例1小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．

分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．

20x201*00解：y=(0x5)(5x15)

我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

例2Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？

通过分析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：

若设Ａ──Ｃx吨，则：由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x吨．由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．

那么，各运输费用为：Ａ──Ｃ20xＡ──Ｄ25（200-x）Ｂ──Ｃ15

（240-x）

Ｂ──Ｄ24（60+x）

若总运输费用为y的话，y与x关系为：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．化简得：y=40x+10040（0≤x≤200）．

由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．

因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．

若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？

解题方法与思路不变，只是过程有所不同：Ａ──Ｃx吨Ａ──Ｄ300-x吨Ｂ──Ｃ240-x吨Ｂ──Ｄx-40吨

反映总运费y与x的函数关系式为：y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．化简：y=4x+10140（40≤x≤300）．

由解析式可知：当x=40时y值最小为：y=440+10140=10300因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．

如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？

由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．

总结:

解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．

14.3用函数观点方程（组）与不等式

1、一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

2、一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

1、由于一次函数图象是一条直线，它与x轴相交，在x轴上方的图象对应的函数值y大于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围；在x轴下方的图象对应的函数值y小于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围。也是相应的不等式的解集。

2、还可以看成比较两个一次函数在同一个自变量x所对应的值的大小；并找到相应的取值范围。

3、学会利用函数图象的信息解决实际问题。

例1、对于一次函数y=(m-4)x+2m--1，若y随x的增大而增大，且它的图象与y轴的交

点在x轴下方，那么m的取值范围是___________.

3、一次函数与二元一次方程（组）

以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.

即:二元一次方程(数)对应相应的一次函数的图象(形)从函数的观点看解二元一次方程组

从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。

从“数”的角度看：解方程组相当于考虑当自变量为何值时,两个函数值相等以及这个函数值是何值。

第十四章《一次函数》测试题

一、选择题（每小题3分，共24分）题号答案12345678y1、下列函数中，一次函数的个数是①y=x②y=-2+5x③y=-

④y=(2x-1)2+2⑤y=x-2⑥y=2πxA、5个B、4个C、3个D、1个2、下列语句不正确的是

-40xA、所有的正比例函数都是一次函数B、一次函数的一般形式是y=kx+bC、正比例函数和一次函数的图象都是直线D、正比例函数的图象是一条过原点的直线3、若y=(m-2)x+(m2-4)是正比例函数，则m的取值是

A、2B、-2C、±2D、任意实数C34、若直线y=kx+b中，k＜0，b＞0，则直线不经过

C2C1345t(月)C(件)A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限0125、如图，直线y=kx+b与x轴交于点（-4，0），则当y＞0时，x的取值范围是A、x＞-4B、x＞0C、x＜-4D、x＜06、关于直线y=－2x+1，下列结论正确的是

A、图象必过点（-2，1）B、图象经过第一、二、三象限C、当x＞

时，y＜0D、y随x的增大而增大

7、某村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说

A、1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月生产量逐月减小B、1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月生产量与3月持平C、1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月均停止生产

D、1月至3月每月生产量不变，4、5两月均停止生产

8、均匀地向一个容器里注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器

A、是一个上下一样粗的容器B、是一个上粗下细的容器C、是一个上细下粗的容器D、是一个圆锥形的容器二、填空题（每小题3分，共24分）

9、已知正比例函数的图象经过点（-3，4），则该函数的表达式为。10、在函数y=

中，自变量x的取值范围是。

11、当时，一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小。12、直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限，则k=。

值范围是。

14、将直线y=-2x+1沿y轴方向向上平移3个单位长，得到的直线解析式为。15、直线y=3x-2经过第象限，y随x的增大而。y13、直线y=kx+b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2，y1＜y2，则常数k的取016、已知一次函数y=(m+2)x+(3-2m)的图象不经过第四象限，则m的范围是x。

三、解答题（共52分）

17、（本题8分）在坐标系中画出函数y=-3x+4的图象，利用图象分析（1）函数的图象经过第象限，y随x的增大而。（2）图象与x轴交于点，与y轴交于点。（3）函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为。（4）当时，y＞0；当时，-2＜y＜118、（本题6分）已知一次函数的图象经过点（-4，9）和（6，3）。（1）求这个一次函数的关系式。

（2）试判断点（1，6）是否在这个函数的图象上。

19、（本题6分）在解方程组时，想必你曾碰到过方程组无解的情况，如

0h。t学过“一次函数与方程组”后，你能用一次函数的图象来解释这种情况吗？请用上面的例子画图说明。

20、（本题7分）如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式。

21、（本题8分）某车间现有20名工人，生产甲乙两种工艺品，每名工人每天可生产6个甲种工艺品或8个乙种工艺品，一个甲种工艺品可获利10元，一个乙种工艺品可获利5元。厂方规定乙种工艺品的数量不得少于甲种工艺品的三分之一。

（1）若安排x人生产甲种工艺品，其余工人生产乙种工艺品，车间每天的利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。（2）如何安排可使车间每天的利润最高，最高利润是多少？

PBCBBCCPP22、（本题9分）某市为节约用水。制定了分段收费的政策，下图是一个月水费y（元）和

用水量x（吨）的函数关系的图象。ADADAD（1）请写出这个函数关系的解析式及自变量x的取值范围。（2）小明家与小敏家长期共用一只水表，五月份共用水30吨，应该付水费多少元？（3）从六月份开始，两家各用一只水表，在两家总用水量不变（共用水30吨，两家用水量

都超过了10吨）的情况下，六月份共付的水费比五月份多些还是少些？请说明理由。

23、（本题8分）如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发沿A→B→C→D

的路线移动，设点P移动的路线为x，△PAD的面积为y。

（1）写出y与x之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象。（2）求当x=4和x=18时的函数值。

（3）当x取何值时，y=20，并说明此时点P在长方形的哪条边上。

21y

1201*15x第十五章整式乘除与因式分解知识点汇总

同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即ａmａn＝ａm+n（ｍ、ｎ都是正整数）。幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ａm）n＝ａmn（ｍ、ｎ都是正整数）。积的乘方法则：

积的乘方，等于各因数乘方的积，即（ａｂ）n＝ａnｂn（ｎ为正整数）。单项式与单项式相乘的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式相乘的法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.m(a+b+c)=ma+mb+mc多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ完全平方公式：

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。（ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ＋２ａｂ；（ａ－ｂ）＝ａ＋ｂ－２ａｂ。

（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即ａm÷ａn＝ａm-n（ａ≠０，ｍ、ｎ为正整数，且ｍ＞n）

任何不等于零的数的零次幂都等于１，即ａn＝１（ａ≠０）。单项式与单项式相除的法则：

单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式与单项式相除的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

因式分解:

把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法是互逆运算因式分解的方法：

(1)提公因式法：

(2)公式法：①平方差公式：ａ－ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）。

②完全平方公式：ａ＋ｂ＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）；

ａ＋ｂ－２ａｂ＝（ａ－ｂ）。

③十字相乘法：x+（a+b）x+ab=（x+a）(x+b)

添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

第十五章《整式的乘除与因式分解》测试题

一、选择题（每题3分，共15分）

(1)下列式子中，正确的是..............................()

A.3x+5y=8xyB.3y2-y2=3C.15ab-15ab=0D.29x3-28x3=x

(2)当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a+3)的值等于()

A.-4B.4C.-2D.2

2mn

(3)若-4xy和-2xy是同类项，则m，n的值分别是()A.m=2,n=1B.m=2,n=0C.m=4,n=1D.m=4，n=0

(4)化简(-x)3(-x)2的结果正确的是()

A.-x6B.x6C.x5D.-x5

(5)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于()

A.3B.-5C.7.D.7或-1二、填空（每题3分，共15分）

(1)化简：a3a2b=.(2)计算：4x2+4x2=

(3)计算：4x2(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=

(5)按图15－4所示的程序计算，若开始输入的x值为3，则最后输出的结果是.

三、解答题（共70分）

1．计算（直接写出结果，共10分）

aman=，(am)n=，(ab)n=①aa3=②(m+n)2(m+n)3=③(103)5=④(b3)4=

⑤(2b)3=⑥(2a3)2=⑦(-3x)4=

2．计算与化简.（共18分）

(1)3x2y(-2xy3)；(2)2a2(3a2-5b)；

(3)(-2a2)(3ab2-5ab3).(4)(5x+2y)(3x-2y).

1(5)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；（6）(-3)201*()201*

3

3．先化简，再求值（7分）

(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2，b=-1

4．把下列各式分解因式.（共18分）

(1)xy+ay-by；(2)3x(a-b)-2y(b-a)；

(3)m2-6m+9；(4)4x2-9y2

(5)x4-1；(6)x2-7x+10；

5．解下列方程与不等式(每题5分,共10分)

(1)3x(7-x)=18-x(3x-15)；（2）(x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).

6.已知x-y=1,xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值.(7分)

附加题(共20分)

一、填空(2+2+3+3=10分)

(1)若x2n=4，x6n=，(2)已知am=2，an=3，则am+n=.(3)若x2+3x-1=0，则x3+5x2+5x+8=；

(4)比较3555，4444，5333的大小.>>

二、解答题:当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.(10分)

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