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二次函数图象知识点总结

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-28 13:22:08 | 移动端:二次函数图象知识点总结

二次函数图象知识点总结

专题讲解二次函数的图象

知识点回顾:

1.二次函数解析式的几种形式:①一般式:

yax2bxc(a、b、c

为常数,a≠0)

2ya(xh)k(a、②顶点式:h、k

为常数,a≠0),其中(h,

k)为顶点坐标。

③交点式:ya(xx1)(xx2),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标,即一元二次方程ax2bxc0的两个根,且a≠0,(也叫两根式)。

2.二次函数

yax2bxc的图象

yax2bxc的图象是对称轴平行于(包括重合)

①二次函数

y轴的抛物线,几个不同的二次函数,如果a相同,那么抛物线的开口方向,开口大小(即形状)完全相同,只是位置不同。②任意抛物线

ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过适当

的平移得到,移动规律可简记为:[左加右减,上加下减],具体平移方法如下表所示。

③在画

yax2bxc的图象时,可以先配方成ya(xh)2k的形式,然后将

yax2的图象上(下)左(右)平移得到所求图

2象,即平移法;也可用描点法:也是将yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式,这样可以确定开口方向,对称轴及顶点坐

标。然后取图象与y轴的交点(0,c),及此点关于对称轴对称的点(2h,c);如果图象与x轴有两个交点,就直接取这两个点(x1,0),(x2,0)就行了;如果图象与x轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两侧取对称点,(这两点不是与y轴交点及其对称点),一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数图象2二次函数yaxbxcya(xh)2k(a、h、ka、b、c为常数,a≠0a>0a<0为常数,a≠0)a>0a<(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线上,并向上无限延下,并向下无限延开口向上,开口向下,伸伸并向上无限并向下无限延伸延伸性(2)对称轴是x=(2)对称轴是x=(2)对称轴(2)对称轴b2a,顶点是b4acb,2a4ax2b2a是x=h,顶是x=h,顶,顶点是b4acb,2a4a2点是(h,k)点是(h,k))(3)当x<h(质)((3)当bb(3)当xhx2a时,2a时,y(3)当y时,y随x时,y随x随x的增大而减随x的增大而增小;当xbbx2a时,2a时,大;当小;当的增大而减的增大而增x>h大;当x>hy随x的增大而增y随x的增大而减时,y随x时,y随x大小的增大而增的增大而减大。小(4)抛物线有最低(4)抛物线有最高(4)抛物线(4)抛物线点,当xb2a时,点,当xb2a有最低点,有最高点,时,当x=h时,当x=h时,y有最小值y有最大值y有最小值,y最小值4acb24ay有最大值,y最大值4acb24ay最小值ky最大值k

4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法:将解析式

yax2bxc化为ya(xh)2k的形式,

顶点坐标为(h,k),对称轴为直线xh,若a>0,y有最小值,

y最小值ky最大值k当x=h时,;若a<0,y有最大值,当x=h时,。

b4acb2,4a②公式法:直接利用顶点坐标公式(2axb2a),求其顶

点;对称轴是直线,若

有最大值,

b4acb2a0,y有最小值,当x时,y最小值;2a4a若a0,yb4acb2x时,y最大值2a4a当

5.抛物线与x轴交点情况:对于抛物线

yax2bxc(a≠0)

①当b24ac0时,抛物线与x轴有两个交点,反之也成立。

②当b24ac0时,抛物线与x轴有一个交点,反之也成立,此交点即为顶点。

③当b24ac0时,抛物线与x轴无交点,反之也成立。

扩展阅读:初中数学二次函数知识点总结

二次函数的图象与性质

二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大(小)值y=ax2a>0时,开口向上;a0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大;

当a0时,当x=0时,=0;当a0时,当x=0时,=c;当a0时,当x=h时,y最小=0;当a0时,当x=h时,y最小=k;当a0时,当x=h时,y最小=k;当a0时,开口方向向上;a1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地,当h=0时,

二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)a,b同号,对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号,对称轴在y轴右侧顶点

2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时,二次函数图像向上开口;当a0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定二次函数图像与y轴交点的因素

5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于(0,C)注意:顶点坐标为(h,k)与y轴交于(0,C)二次函数图像与x轴交点个数

6.二次函数图像与x轴交点个数a0或a>0;k0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k当ah范围内事增函数,在x且X(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。两图像对称

①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称;②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称;③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h2+k关于顶点对称;④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h2-k关于原点对称。

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