二次函数图象知识点总结

二次函数图象知识点总结

专题讲解二次函数的图象

知识点回顾：

1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：

yax2bxc（a、b、c

为常数，a≠0）

2ya(xh)k（a、②顶点式：h、k

为常数，a≠0），其中（h，

k）为顶点坐标。

③交点式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2bxc0的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2.二次函数

yax2bxc的图象

yax2bxc的图象是对称轴平行于（包括重合）

①二次函数

y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。②任意抛物线

ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过适当

的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画

yax2bxc的图象时，可以先配方成ya(xh)2k的形式，然后将

yax2的图象上（下）左（右）平移得到所求图

2象，即平移法；也可用描点法：也是将yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐

标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数图象2二次函数yaxbxcya(xh)2k（a、h、ka、b、c为常数，a≠0a＞0a＜0为常数，a≠0）a＞0a＜(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线上，并向上无限延下，并向下无限延开口向上，开口向下，伸伸并向上无限并向下无限延伸延伸性(2)对称轴是x＝(2)对称轴是x＝(2)对称轴(2)对称轴b2a，顶点是b4acb，2a4ax2b2a是x＝h，顶是x＝h，顶，顶点是b4acb，2a4a2点是（h，k）点是（h，k））(3)当x＜h（质）（(3)当bb(3)当xhx2a时，2a时，y(3)当y时，y随x时，y随x随x的增大而减随x的增大而增小；当xbbx2a时，2a时，大；当小；当的增大而减的增大而增x＞h大；当x＞hy随x的增大而增y随x的增大而减时，y随x时，y随x大小的增大而增的增大而减大。小(4)抛物线有最低(4)抛物线有最高(4)抛物线(4)抛物线点，当xb2a时，点，当xb2a有最低点，有最高点，时，当x＝h时，当x＝h时，y有最小值y有最大值y有最小值，y最小值4acb24ay有最大值，y最大值4acb24ay最小值ky最大值k

4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式

yax2bxc化为ya(xh)2k的形式，

顶点坐标为（h，k），对称轴为直线xh，若a＞0，y有最小值，

y最小值ky最大值k当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。

b4acb2，4a②公式法：直接利用顶点坐标公式（2axb2a），求其顶

点；对称轴是直线，若

有最大值，

b4acb2a0，y有最小值，当x时，y最小值；2a4a若a0，yb4acb2x时，y最大值2a4a当

5.抛物线与x轴交点情况：对于抛物线

yax2bxc(a≠0)

①当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

②当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当b24ac0时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

扩展阅读：初中数学二次函数知识点总结

二次函数的图象与性质

二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y=ax2a>0时，开口向上；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；

当a0时，当x=0时，=0；当a0时，当x=0时，=c；当a0时，当x=h时，y最小=0；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，开口方向向上；a1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，

二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口；当a0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定二次函数图像与y轴交点的因素

5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)与y轴交于（0,C)二次函数图像与x轴交点个数

6.二次函数图像与x轴交点个数a0或a>0;k0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当ah范围内事增函数，在x且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。两图像对称

①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称；②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称；③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h2+k关于顶点对称；④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h2-k关于原点对称。

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