二次函数知识点总结以及练习题--深圳大学郭治民.doc

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二次函数知识点(25分钟)

b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．这里需强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，

2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，2.平移规律,概括成八个字“左加右减，上加下减”．

⑴yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成

22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

3.二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2者，即yax，其中h，．k2a4a2a4a2224、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.5、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随．当x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a1

6、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.二次函数解析式的这三种形式可以互化.7、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴xb2a3.常数项c决定了抛物线与y轴交点的位置．

8,二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：

①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根．.

②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.

1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

二次函数考查重点(15分钟)

1．已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点，则m的值是22．如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykxbx1的图像大致是

22（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD

2

3．已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x

5，求这条抛物线的解析式。33

4．已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－

2（1）确定抛物线的解析式；

（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

经典例题1(25分钟)

ca例1（1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2

（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个

(1)(2)

2

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1

经典例题2(25分钟)

例1某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）152030y（件）25201*若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m

练习题(25分钟)

1.抛物线y(x2)23的对称轴是（）

A.直线x3

B.直线x3

C.直线x2

D.直线x2

2.已知二次函数yax2bxc，且a0，abc0，则一定有（）

A.b24ac0

B.b24ac0

C.b24ac0

4

D.b24ac≤

3.把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是

yx23x5，则有（）

A.b3，c7C.b3，c3

B.b9，c15D.b9，c21

4.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数yax2(ac)xc与一次函数yaxc的大致图

象，有且只有一个是正确的，正确的是（）yyyyOxOBxOCxODx

A

5.二次函数y(x1)22的最小值是（）

A.2

B.2

C.1

D.1

6.将二次函数yx22x3配方成y(xh)2k的形式，则y=______________________.7.已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，则ac=_________.

8.抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则A点的坐标是

________________.

5

扩展阅读：一次函数必做精选练习题集--深圳大学郭治民

一次函数必考题

一、相信你一定能填对！

1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A．y=2xB．y=

1x2C．y=4x2D．y=x2x22．下列各曲线中不能表示y是x的函数是（）

yyOx(B)x3yOxyO(D)xO(A)x(C)3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=2x-1B．y=

C．y=2x2D．y=-2x+1

4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）

A．一、二、三B．二、三、四C．一、二、四D．一、三、四5．若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>

12121212B．m=C．m3B．0

10．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为（）A．y=-2x+3B．y=-3x+2C．y=3x-2D．y=

12x-3

1

11、A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y=x上，则y1与y2的关系是（）

2

A、y1≤y2B、y1＝y2C、y1＜y2D、y1＞y2

12、函数y=k（xk）（k＜0＝的图象不经过（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

13、一水池蓄水20m3，打开阀门后每小时流出5m3，放水后池内剩下的水的立方数Q(m3)与放水时间t(时)的函数关系用图表示为()

14、已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kbxy30的解是________．2xy2021．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=________，b=______．22．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．

23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．三、认真解答，一定要细心哟！24、已知一次函数的图象与y=-

25、（本题10分）如图，一次函数y135x8512x的图像平行，且与y轴交点（0，-3），求此函数关系式？

和y22x1相交于点A，

(1)求交点A的坐标？(2)求两函数与y轴所围成的三角形的面积？

26、（本题12分）A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．

（1）设B市运往C市机器x台，求总运费Y（元）关于x的函数关系式．（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

27、小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘

了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：

（1）小文走了多远才返回家拿书？

（2）求线段AB所在直线的函数解析式；（3）当x8分钟时，求小文与家的距离。

28.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费,超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示:设某户每月用水量x(立方米),应交水费y(元)月份用水量收费(元)(1)求a,c的值(m3)(2)当x≤6,x≥6时,分别写出y于x的函数关系式957.5(3)若该户11月份用水量为8立方米,求该户11月10927份水费是多少元?

29.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.

(1)农民自带的零钱是多少?

(2)试求降价前y与x之间的关系式

(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?

(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

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