二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数.需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．0，00，0y轴a0向下y轴2.yax2c的性质：上加下减。

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．0，c0，cy轴a02向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh的性质：

左加右减。

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．h，0X=ha0向下h，0X=h

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4.yaxhk的性质：

2a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．h，kh，kX=ha0向下X=h

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

k；方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下：⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，2

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h

四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得b4acb2b4acb2到前者，即yax，其中h，．k2a4a2a4a222

五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

对称轴为，顶点坐标为．

1.当时，抛物线开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：即（，，为常数，）；3.两根式（交点式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点

式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，

当，时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

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当，时，，即抛物线的对称轴就是轴；当，时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当，时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当，时，，即抛物线的对称轴就是轴；当，时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

3.常数项

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；2.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；3.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．5.关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标

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及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

抛物线与轴有两个交点抛物线与轴只有一个交点抛物线与轴无交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.十一、函数的应用

二次函数应用

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扩展阅读：二次函数知识点总结

厦门分校

二次函数知识点

一、二次函数概念：

一切为了孩子美好的未来

b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．元二次方程类似，二次项系数a0，而b，2.二次函数yaxbxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

22b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质

00，00，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．2.yaxc的性质：上加下减。

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质

c0，c0，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh的性质：

左加右减。4.

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质0h，0h，xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．a0向下X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．yaxhk的性质：

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质h，kxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．厦门分校

三、二次函平移1.平移一切为了孩子美好的未来

X=ha0向下h，kxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，数图象的步骤：y有最大值k．方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k厦门分校

一切为了孩子美好的未来

bbb4acb2当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小值．

2a2a2a4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，y随x的增大而增大；当，．当x2a4a2a2abb4acb2．x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法

21.一般式：yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；22.顶点式：ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；

3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即

b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a

二次函数yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，2b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x总结：3.常数项c

b在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同右异”2ay轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

⑴当c0时，抛物线与

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，

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才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称

yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；

22一切为了孩子美好的未来

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2.关于

22y轴对称

2yaxbxc关于

2y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

3.关于原点对称

yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

n对称5.关于点m，22n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

2一元二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.

222图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程①当b4ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，2b24ac.axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1a2②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.

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1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

一切为了孩子美好的未来

2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2.抛物线yaxbxc的图象与3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

2⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示

22y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

y=2x2y=x20抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为非负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点一元二次方程有两个相等的实数根0二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

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y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切为了孩子美好的未来

y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

y=2x2y=2(x-4)2刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直

则m的y(m2)x2m2m2的图像经过原点，

y=2(x-4)2-3角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数

ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式。34．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：32已知抛物线yaxbxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

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例1（1）二次函数yaxbxc的图像如图1，则点M(b,2一切为了孩子美好的未来

c)在（）aA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个

2

(1)(2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1厦门分校

∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A"C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．∴符合题意的x的范围为-1厦门分校一切为了孩子美好的未来

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则15kb25,解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．

2kb202

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m分析：本题考查二次函数的应用答案：B

2

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