九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)

九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)

二次函数知识点总结

一、定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。二、二次函数的三种表达式

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像

从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质

1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。当x=-时，y最值=，当a>02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a5．常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点（0，c）。

6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）六、常用的计算方法：

1、求解析式的时候：

若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c（a≠0），分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式；

若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式；

若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。

以上方法特别要注意括号内的正负号。

2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标；3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式；

4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同顶点坐标）。5、当需要判定函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ0。对Δ的判定方法仍然是用配方的方法。

一元二次方程

1.一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2.一元二次方程的解法(1）配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法

利用提取公因式和十字相乘法把方程化为几个乘积的形式去解。(3)公式法

bb24acbb24ac方程的根x1，x2。

2a2a3．韦达定理x1x2bc,x1x2aa24.一元一次方程根的情况（其中△=b4ac）

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当△x210若x3x10，则4的值为＿＿＿＿＿。2xx111211解方程：3(x2)5(x)40

xx12求关于x的方程(k1)x2k1x10的解的个数。

1213m为何值时，关于x的方程x(2k)xk0的两根是一个直角三角形的两个锐角的余弦值。

214关于x的方程x2(k2)x5k0的两个根都大于2，则k的取值范围为＿＿＿＿＿。

215关于x的方程x2(k5)x1k0的一根小于0，另一根大于3，则k的取值范围为＿＿＿＿＿。

16关于x的方程(k2)x22(k1)xk10且k3，求证：方程总有实数根。17关于x的方程2x2x3m10有两个实数根x1、x2且满足围。

18已知(x2y2)22(x2y2)15，则x2y2=＿＿＿＿＿。

19直角三角形斜边长为正整数，两直角边长是方程9x2（3k1)xk0的两个根，则k的值为＿＿＿＿＿。

20已知m、n为有理数，并且方程xmx+n0有一根是52，那么m+n的值为＿＿＿＿＿。21如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为＿＿＿＿＿。

22若方程xpx有两个不相等的根，则实数p的取值范围为＿＿＿＿＿。

22x1x21，求m的取值范

x1x242x2a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围为＿＿＿＿＿。23关于x的方程

x124已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两实根，则x12＋8x2＋20＝__________．

25若n（n0）是关于x的方程xmx2n0的根，则m+n的值为____________．26设x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1(x22+5x2－3)+a=2，则a=．

27若关于x的一元二次方程x22(2k)xk2120有实数根、．(1)求实数k的取值范围；(2)设t2k，求t的最小值

2228实数a、b满足条件a7a20，b7b20，则

2ab的值为____________。ba29若一个三角形的三边都是方程x12x320的解，则此三角形的面积为____________。30方程x(x1)(x2)x的解为____________。31若x2x2(x4x3)，则x____________。

2232已知m,n是方程x2x10的两根，且(7m14ma)(3n6n7)8，则a的值等于____________。

2220

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二次函数知识点总结

一、定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。二、二次函数的三种表达式

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像

从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质

1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。当x=-时，y最值=，当a>02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）六、常用的计算方法：

1、求解析式的时候：

若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c（a≠0），分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式；

若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式；

若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。

以上方法特别要注意括号内的正负号。

2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标；3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式；

4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同顶点坐标）。5、当需要判定函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ0。对Δ的判定方法仍然是用配方的方法。

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