初中二次函数知识点总结(全面)

初中二次函数知识点总结(全面)

二次函数知识点

（一）、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

（二）、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x时，y有最小值

4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．

4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函

数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习

1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.

B.C.D.

2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()

A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()

A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线

的对称轴是()

A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=4

5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，

所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题

1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2

B.D.

1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴

是；

3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．

3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；

14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减

2小；

5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.

6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.

7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.

8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.

9、二次函数yx2x的对称轴是．

10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．

11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？

222213．已知抛物线y=

125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图

（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.

14、（201*年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。（1）求这个二次函数的解析式

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，求点C的坐标

1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，

下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销

售时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

扩展阅读：二次函数知识点总结

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二次函数知识点

一、二次函数概念：

一切为了孩子美好的未来

b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．元二次方程类似，二次项系数a0，而b，2.二次函数yaxbxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

22b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质

00，00，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．2.yaxc的性质：上加下减。

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质

c0，c0，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh的性质：

左加右减。4.

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质0h，0h，xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．a0向下X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．yaxhk的性质：

2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质h，kxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．厦门分校

三、二次函平移1.平移一切为了孩子美好的未来

X=ha0向下h，kxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，数图象的步骤：y有最大值k．方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k厦门分校

一切为了孩子美好的未来

bbb4acb2当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小值．

2a2a2a4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，y随x的增大而增大；当，．当x2a4a2a2abb4acb2．x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法

21.一般式：yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；22.顶点式：ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；

3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即

b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a

二次函数yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，2b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴x总结：3.常数项c

b在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同右异”2ay轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

⑴当c0时，抛物线与

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，

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才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称

yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；

22一切为了孩子美好的未来

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2.关于

22y轴对称

2yaxbxc关于

2y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

3.关于原点对称

yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

n对称5.关于点m，22n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

2一元二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.

222图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程①当b4ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，2b24ac.axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1a2②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.

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1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

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2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2.抛物线yaxbxc的图象与3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

2⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示

22y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

y=2x2y=x20抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为非负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点一元二次方程有两个相等的实数根0二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

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y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切为了孩子美好的未来

y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

y=2x2y=2(x-4)2刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直

则m的y(m2)x2m2m2的图像经过原点，

y=2(x-4)2-3角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数

ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式。34．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：32已知抛物线yaxbxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

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例1（1）二次函数yaxbxc的图像如图1，则点M(b,2一切为了孩子美好的未来

c)在（）aA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个

2

(1)(2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1厦门分校

∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A"C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．∴符合题意的x的范围为-1厦门分校一切为了孩子美好的未来

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则15kb25,解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．

2kb202

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m分析：本题考查二次函数的应用答案：B

2

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