初三圆的总结
初三圆的总结〖圆的相关量〗
圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,值是
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...,通常用π表示,计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆⊙半径r弧⌒直径d
扇形弧长/圆锥母线l周长C面积S〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。
直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r。
两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r。
【圆的平面几何性质和定理】一有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径
④两相切圆的连心线过切点(连心线:两个圆心相连的线段)〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的半径;经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线。
切线判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角。〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr^2;/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl[编辑本段]【圆的解析几何性质和定理】〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2。圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。〖圆与直线的位置关系判断〗
平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:
1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。如果b^2-4ac
圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理)
切线长定理
垂径定理
圆周角定理
弦切角定理
四圆定理
3.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
5.把整个圆周等分成360份,每一份弧是1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
6.圆是中心对称图形,即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合,这一性质不难理解.圆和其他中心对称图形不同,它还具有旋转不变性,即围绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合.
7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
8.(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
9.圆的两条平行弦所夹的弧相等
10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
11.(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
(2)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(4)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弦.
(5)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.
12.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.
14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.
19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.
21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.
补充:九点共圆定理
三角形三边的中点,三条高的垂足,垂心与各顶点连线的中点这9点共圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔BenjaminBeven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VGVO=2HO九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。事先定义的变量与垂心、外心一样:
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘(句子很长^_^)。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。
重心坐标:((2c1+c2+c3)/4c,(2c2+c1+c3)/4c,(2c3+c1+c2)/4c)。
扩展阅读:初三《圆》章节知识点总结201*.11.4
《圆》章节知识点复习
《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫
中垂线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;
ArBdCdOrdd=rrd
《圆》章节知识点复习
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr;
dR图1rRdr图2dR图3r
d五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD
COABCBADOED《圆》章节知识点复习
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角∴CD
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圆》章节知识点复习
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在⊙O中,
CD∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线
OBAE(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
BMAN即:∵PA、PB是的两条切线∴PAPB
POPO平分BPA
A《圆》章节知识点复习
十一、圆幂定理
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,∴PAPBPCPD
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙O中,∵直径ABCD,∴CE2AEBE
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线∴PAPCPB
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙O中,∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。
如图:O1O2垂直平分AB。
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;
CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的
ABO1《圆》章节知识点复习
(2)外公切线长:CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:
OD:BD:OB1:3:2;
BOACD
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,OE:AE:OA1:1:2:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,AB:OB:OA1:3:2.
BOABODCE
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:lnR180AA;
OSl(2)扇形面积公式:SnR360212lR
Bn:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积
《圆》章节知识点复习
2、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
S表S侧2S底=2rh2r2
(2)圆柱的体积:Vr2h
(2)圆锥侧面展开图
(1)S表S侧S底=Rrr2(2)圆锥的体积:V13r2h
ADD1母线长底面圆周长BCC1B1ORCArB
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