初一数学下寒假预习1平行线的判定

初一数学下寒假预习1平行线的判定

初一数学寒假培优

初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定）

一、考点讲解：

1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．

3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠

2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3=90○，则∠2=∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A+∠B=180则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝

180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．

二．互为余角、互为补角、对顶角比较项目定义两个角和等于90（直角）互余角1290○

性质同角或等角的余角相等1图形2同角或等角的补角相等2121两个角和等于180（平角）互补角12180两直线相交而成的一个角两边对顶角分别是另一角两边反向延长线三、经典例题题剖析：例1．已知一个角的余角比它的补角的

513对顶角相等12还少4，求这个角。

例2．如图所示，AOB是一条直线，AOC90,DOE90，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？

1A

DC23O

E4B

例3.如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）

A．∠2=45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．四、巩固练习：

1．_______的余角相等，_______的补角相等．

○

2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63，∠3=__

3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余

4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○

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5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90则∠1=___，∠2=___．

6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153，∠l=_8．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是_________9．一个角的余角（）

A、一定是钝角B、一定是锐角C、可能是锐角，也可能是钝角D、以上答案都不对10．若两个角互补，则（）A、这两个都是锐角B、这两个角都是钝角C、这两个角一个是锐角，一个是钝角D、以上结论都不对

11．一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（）A、2倍

B、

12○

○

倍C、5倍D、

15倍

12．下列说法中正确的是（）A、相等的角是对顶角

B、不是对顶角的角不相等C、对顶角必相等D、有公共顶点的角是对顶角

13．三条直线相交于一点，所成对顶角有（）A、3对

B、4对

C、5对

D、6对

14．下列说法正确的是（）A、不相等的角一定不是对顶角C、两条直线相交所成的角是对顶角

B、互补的两个角是邻补角

D、互补且有一条公共边的两个角是邻补角

BD23E

C

41A15．如图所示，AOE是一条直线，AOBCOD90，则（1）如果130,那么2，3=。

（2）和1互为余角的角有和1相等的角有16．为下面推理填写理由。

O

（1）,互为余角（已知），90（）A（2）如图所示，AB、CD相交于点O（已知），12（）（3）12,23（已知），13（）

C1O2DB

（4）AC90，BC90（已知），∴∠A=∠B（）五、关于同位角、内错角和同旁内角

1．共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有一条边在同一直线上。

2．不同点：同位角在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”，（简称：位置相同的角，形状呈“F”字形）。

内错角的两条直线“内侧”，第三条直线“两旁”（位置错开，形状呈“Z”字形）。同旁内角在两直线之间，第三条直线“同旁”（形状呈“C”字形）。

另外注意：寻找“三线八角”关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。六、角位置的确定巩固练习：

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1．如图1所示，直线a、b、c两两相交，共构成对对顶角。

2．如图2，能与∠1构成同位角的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个3．如图2，能与∠1构成同旁内角的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4．如图3所示，已知四条直线AB，BC，CD，DE。

问：①∠1=∠2是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.

②∠1=∠3是直线_____和直线_____被直线_____所截而成的____角.

③∠4=∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.④∠2=∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.

5．如图4所示，下列各组判断错误的是（）．

（A）∠2和∠3是同位角（B）∠1和∠3是内错角（C）∠2和∠4是同旁内角（D）∠1和∠2是内错角

七、直线平行的条件（又叫平行线的判定）；

B12A3D4C1．同位角相等，两直线平行；2．内错角相等，两直线平行；

3．同旁内角互补，两直线平行；4．同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行。例1．如图所示，1和4是什么角？由哪两条直线被什么样的第三条直线所截？2和3呢？2和4呢？1和A呢？A和2呢？

例2．如图所示，AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对？c

31a2b

EACMN1P2QF

BEDMNACFBD

例3(1)如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，如果∠1=∠2，∠CNF=∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ，

A请说明理由。

BD1E

G2FC

a∥b.(2)如图所示，直线a,b被直线c所截，1的3倍等于2,3是1的余角，求证：

（3）已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥GF

八、巩固练习

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1．给下列证明过程填写理由：

已知：如图所示，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，

AE1B3求证：BE∥CF．

证明：∵AB⊥BC于B，CD⊥BC于C,（）∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（）∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余．（）又∵∠1=∠2，（）∴_______=_______．（）

∴BE∥CF．（）2．如图，已知∠B+∠C+∠D=360°，则AB∥ED，为什么？

3．如图所示，已知B25,BCD45,CDE30,E10，试说明，AB与EF有怎样的位置关系？并说说你判断的理由。

A

B1A1A2

ACBEDA

42C

B

CFDB2D

BA3EF

4.已知：如图，∠B1＋∠B2=∠A1＋∠A2＋∠A3（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA1∥BA3

5．下列说法正确的是（）A、同位角相等

B、同旁内角互补

C、若123180，则1,2,3互补D、对顶角相等6．同一平面内有三条直线a,b,c，若ab,bc，则a与c（）A、平行

B、垂直

C、相交

D、重合

7．一个人从A点出发向北偏东60方向走了4m到B点，两从B点向南偏西15的方向走了3m到C点，那么ABC等于（）A、45B、75C、105D、135

8．如图所示，根据下列条件：AAOD,ACBF,BEDB180，可以判定那两条直线平行，并说明判定的依据。

BEAADOC

F

BDE2F3C1G9．已知：如图，FE⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。

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10．如图2-11，直线AB、CD相交于O点，∠AOD与∠BOD叫做______角；∠AOD与∠BOC叫______角；若∠AOD=2∠BOD，则∠BOD=______度，∠AOC=______度．

11．如图2-14，直线AD、BC被CE所截，∠C的同位角是______，同旁内角是______；∠1与∠2是_____、____被____所截得的_____角；AB、CD被AD所截，∠A的内错角是______，∠A和∠ADC是______角；AB、CD被BD所截，_______和______是内错角．

12．如图2-15，∵AO⊥OC，OB⊥OD∴∠1______∠2（）

13．已知：如图2-17，COD是直线，且∠1=∠3，说明A、O、B三点在一条直线的理由可以写成：

∵COD是一条直线（）∴∠1+∠2=______（）

∵∠1=∠3（）∵∠______＋∠3=______∴A、O、B在一条直线上．2．已知：如图2-18，直线AB、CD、EF交于点O，AB⊥CD，∠1=27°．求：∠2，∠FOB的度数．

解：∵AB⊥CD，（已知）∴∠COB=______（）∵∠1=27°（已知）

∴∠3=______，∵∠3______∠2（）∴∠2=______（）∵∠2+∠FOB=______（）∴∠FOB=______．

扩展阅读：初一数学下寒假预习4平行线的判定与性质综合训练专题

初一数学培优

初一数学寒假培优训练四（平行线的判定与性质综合训练专题）

[一]、平行线的判定

一、填空

1．如图１，若A=3，则∥；若2=E，则∥；若+=180°，则∥．

cd5DAa12Ea5121242143C3bB3b3CAB

图４图３图１图２

2．若a⊥c，b⊥c，则ab．

3．如图２，写出一个能判定直线a∥b的条件：．4．在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，则∥（）．5．如图３，若∠1+∠2=180°，则∥。

6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有．7．如图５，填空并在括号中填理由：

（1）由∠ABD=∠CDB得∥（）；（2）由∠CAD=∠ACB得∥（）；

（3）由∠CBA+∠BAD=180°得∥（）AD5ADl121214O5433Bl2CBC

图７图５图６

8．如图６，尽可能多地写出直线l1∥l2的条件：．

9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD的条件来：．10．如图８，推理填空：

AA（1）∵∠A=∠（已知），

∴AC∥ED（）；

FE1（2）∵∠2=∠（已知），EF2

123∴AC∥ED（）；3BDC

（3）∵∠A+∠=180°（已知），

BDC

∴AB∥FD（）；图８

图10（4）∵∠2+∠=180°（已知），

∴AC∥ED（）；DE二、解答下列各题CF11．如图９，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．

BA

图９

12．如图10，∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4，∠AFE=60°，∠BDE=120°，写出图中平行的直线，并说

明理由．

初一数学培优

13．如图11，直线AB、CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ．

E

MA1B

P

NCD2

QF

图11

[二]、平行线的性质一、填空

1．如图1，已知∠1=100°，AB∥CD，则∠2=，∠3=，∠4=．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1=∠2，则∠AEF+∠CFE=．CE5FE121ABE4BAEA43123D2CD12CFDF

BCABD

图1图2图4图3

3．如图3所示

（1）若EF∥AC，则∠A+∠=180°，∠F+∠=180°（）．（2）若∠2=∠，则AE∥BF．

（3）若∠A+∠=180°，则AE∥BF．

4．如图4，AB∥CD，∠2=2∠1，则∠2=．

5．如图5，AB∥CD，EG⊥AB于G，∠1=50°，则∠E=．

AEDC

El1

AD2BHFEABFBG

1l21CD

1FDCCBAG

图6图7图8图5

6．如图6，直线l1∥l2，AB⊥l1于O，BC与l2交于E，∠1=43°，则∠2=．7．如图7，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有．8．如图8，AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有个．二、解答下列各题AC1B9．如图9，已知∠ABE+∠DEB=180°，∠1=∠2，求证：∠F=∠G．F

GE2D

图9DE10．如图10，DE∥BC，∠D∶∠DBC=2∶1，∠1=∠2，求∠DEB的度数．

21BC

图初一数学培优

11．如图11，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）

AB1E

F2CD

12．如图12，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．图11

BA

求证：（1）AB∥CD；（2）∠2+∠3=90°．

123

DCF

13、如图，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.将求∠AGD的过程填写完整.解:因为EF∥AD,

所以∠2=____(____________________________)又因为∠1=∠2

所以∠1=∠3(______________)

所以AB∥_____(_____________________________)所以∠BAC+______=180°(___________________________)因为∠BAC=70°

所以∠AGD=_______.

BF2图12CD13GEA14.如下左图，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB.

GEMCHFNDAB

15.如上中图，已知：∠B+∠BED+∠D=360°.求证：AB∥CD.

16.在上右图中，已知直线AB和直线CD被直线GH所截，交点分别为E、F，AEF=EFD.

（1）直线AB和直线CD平行吗？为什么？

（2）若EM是AEF的平分线，FN是EFD的平分线，则EM与FN平行吗？为什么？

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17.如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG∥AB.

18.如图，已知AB//CD，

（1）你能找到∠B、∠D和∠BED的关系吗？

（2）如果∠B=46，∠D=58，则∠E的度数是多少？

19.如图，已知AD//BC，且DC⊥AD于D，

（1）DC与BC有怎样的位置关系？说说你的理由.

（2）你能说明∠1+∠2=180吗？

20.如下图,直线AB,CD相交于O点,OM⊥AB.

(1)若∠1=∠2,求∠NOD;

(2)若∠1=

EA2GC1BFDABECDA1D532B4CC1M1∠BOC,求∠AOC与∠MOD.4

AN2ODB21.如图，已知：AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，请说明：AE⊥CF.

AECBD

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