初一初二数学总结

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高远代数

【质数与合数】一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。

【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。实数a

1的倒数是（a≠0）；

a【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。

【方根】如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。

【开方】求一数的方根的运算叫做开方。

【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。

①实数a的相反数是a，只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。

②实数a的绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。

a(a0)a0(a0)

a(a0)从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。③正数大于0，负数小于0，两个负实数，绝对值大的反而小。

【代数式】用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。

【代数式的值】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。（2）【代数式的分类】

【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式】除式中含字母的有理式叫分式

整式与分式

①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即

amanamn（m、n为正整数）；

②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即

amanamn（a≠0，m、n为正整数，m>n）；

③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(ab)nanbn（n为正整数）；

④零指数：a01（a≠0）；

1（a≠0，n为正整数）；an公式包括整式乘法与因式分解分解是互逆的过程.

⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即

⑤负整数指数：an(ab)(ab)a2b2；

⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即(ab)2a22abb2；

分式

①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零

aamaam的整式，分式的值不变，即；，其中m是不等于零的代数式；

bbmbbmacac②分式的乘法法则：；

bdbdacadad(c0)；③分式的除法法则：bdbcbcanan④分式的乘方法则：()n（n为正整数）；

bb⑤同分母分式加减法则：

abab；ccc⑥异分母分式加减法则：

adabcd；cbbc等式的基本性质：

①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。②等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个整式（0除外），所得的结果仍是等式；

不等式的基本性质：

①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；1．方程：整式方程与分式方程不等式与不等式组2．函数

一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平行的一条直线；(补充k相等,线平行,及其图像知识)

一次函数的性质：设y=kx+b（k≠0），则当k>0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而增大；②当k0，则当x>0时或x线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；

平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；平行线的判定：

①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；平行线的特征：

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；

平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。三角形

三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180；

三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；

三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的三条角平分线交于一点（内心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；

三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

全等三角形的判定：①边角边公理（SAS）②角边角公理（ASA）③角角边定理（AAS）④边边边公理（SSS）

⑤斜边、直角边公理（HL）等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：

①有两个角互余的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三边长a、b、c有下面关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。四边形

多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n2)180（n≥3，n是正整数）；平行四边形的性质：

①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；

③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：

①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；矩形的判定：

①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外①菱形的四边相等；

②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的判定：

四边相等的四边形是菱形；正方形的特征：

①正方形的四边相等；

②正方形的四个角都是直角；

③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。等腰梯形的特征:

①等腰梯形同一底边上的两个内角相等②等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形的判定：

①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。平面图形的镶嵌：

任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；

其他

统计

数据收集方法、数据的表示方法（统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图）

（1）总体与样本所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本的容量。

数据的分析与决策（借助所学的统计知识，对所收集到的数据进行整理、分析，在分析的结果上再作判断和决策）（2）众数与中位数

众数：一组数据中，出现次数最多的数据；

中位数：将一组数据按从大到小依次排列，处在最中间位置的数据。（3）频率分布直方图

频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布

总数直方图中各个小长方形的面积为各组频率。（4）平均数的两个公式

①n个数x1、x2……,xn的平均数为：xx1x2......xn；

n②如果在n个数中，x1出现f1次、x2出现f2次……,xk出现fk次，并且

f1+f2……+fk=n，则xx1f1x2f2......xkfk；

n（5）极差、方差与标准差计算公式：①极差：

用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；②方差：

数据x1、x2……,xn的方差为s2，

2221则s=x1xx2x.....xnx

n2一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。

扩展阅读：初一初二数学总结

知识总结

初二（2）班朱晓萌

初一、二年级数学学习

初一年级上册第二章有理数

重点公式、定理和结论

2.1比0小的数

1.像13、155、117.3、0.55%这样的数是正数，它们都是比0大的数；像-13、-155、-117.3、-0.03%这样的数是负数，他们都是比0小的数；0既不是正数，也不是负数。

2.“-”号读作“负”，如“-5”读作“负五”；“+”号读作“正”，如“+7”读作“正七”，“+”号可以省略不写.

3.正整数、负整数与0统称为整数，正分数与负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数.即

0

有理数

负整数正分数负分数

整数

正整数

分数

2.2数轴

4.画数轴：

①画一条水平直线，并在这条直线上任取一点表示0，我们把这点成为原点.②把这条直线上从原点向右的方向规定为正方向（画箭头表示），向左的方

向规定为负方向.

③取适当程度为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一

点，依次表示1，2，3从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3

像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。5.整数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

2.3绝对值与相反数

6.数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值.0的绝对值是0.7.符号不同绝对值相同的两个数互为相反数，相反数相加和为0.0的相反数是0.

8.表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“-”号.如-5的相反数可以表示为-（-5）.

9.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.10.两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小.

2.4有理数的加法与减法

11.有理数加法法则：

①同号相加,取相同负号.并把绝对值相加

②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的负号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.③一个数同0相加,仍得这个数12.有理数加法运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

13.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

2.5有理数的乘法与除法

14.有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,负号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得15.有理数乘法运算律：交换律：a×b=b×a

结合律：（a×b）×c=a×(b×c)分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

16.有理数除法法则:除以一个不为0的数,等于乘以这个数的相反数

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

2.6有理数的乘方

17.一般地，aaaa(n个a)记作an,读作“a的n次方”.求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.

幂

aaa底数

n指数

18.正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.

19.一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.这种计数法称为科学计数法.

2.7有理数的混合运算

20.有理数混和运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减.如果有括号，先进行括号内的运算.

第三章用字母表示数

重点公式、定理和结论3.2代数式

1.像n-2、0.8a、2n+500、abc、2ab+2ac+2bc等式子都是代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.

2.像2a、2a2、1.5%m、0.8a和abc等都是数与字母的积，这样的代数式叫单项式.单独一个数或一个字母也是单项式.

单项式中的数字因数叫做它的系数.单项式中所有的字母的指数的和叫做它的次数.如3x的系数是3，次数是1；abc的系数是1，次数是3.

3.几个单项式的和叫做多项式.多项式中，每个单项式叫做多项式的一个项；次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数，如πR2-πr2是πR2、-πr2两项的和，它的次数是2.4.单项式和多项式统称整式.

3.3代数式的值

5.根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系运算，所得的结果是代数式的值.

3.4合并同类项

6.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项.7.根据乘法对加法的分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.

8.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

3.5去括号

9.去括号法则：①括号前面有"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉,括号里各项的符号不改变

②括号前面是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉,括号里各项的符号都要

改变去括号法则的依据实际是乘法分配率.

10.进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项.

第四章一元一次方程

重点公式、定理和结论4.1从问题到方程

1.含有未知数的等式叫做方程。

2.只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.

4.2解一元一次方程

3.能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.求方程的解的过程叫做解方程.4.等式的性质：

等式两边都加上或减去同一个整式，所得结果仍是等式。等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。5.求方程的解就是将方程变形为x=a的形式.

6.方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边一到另一边，这样的变形叫做移项.

7.一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为一.

4.3用方程解决问题

8.解决实际问题可以采用两种方法清晰的观察数据：列表，画线段图.

第五章走进图形世界

重点公式、定理和结论

5.1丰富的图形世界

1.面与面相交得到线，线与线相交得到点.

2.棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱（其中，相邻两个侧面的交线叫做侧棱）.

3.棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点.4.棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点.

5.棱柱的侧棱长相等、棱柱的上、下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形.

6.棱锥的侧面都是三角形.7.图形由点、线、面组成.

5.2图形的变化

8.点动成线，线动成面，面动成体.（旋转）

9.平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变物体的形状和大小．

10.如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图

形就是轴对称图形。对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴。

5.4从三个方向看

11.人们从不同的方向观察某个物体时，可以看到不同的图形.从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的东西，称为俯视图.

12.主视图、左视图高一致；主视图、俯视图长相等；左视图、俯视图宽平齐.

第六章平面图形的认识重点公式、定理和结论6.1线段、射线、直线

1.两点之间的所有连线中，线段最短.两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离.

2.线段的记法：线段两个端点的名称（可颠倒），也可记作线段所在直线的名称.3.射线的记法：射线的端点名称加上射线上任意一个点的名称）（不可颠倒）.4.直线的记法：直线上任意两个点的名称（可颠倒），或是直线的名称.5.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

6.2角

6.角通常用3个字母表示：把角的顶点放在三个字母中间，角的两条边上任意两个点放在两边.再不引起混淆的情况下，角又可以用它的顶点字母表示7.角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）.8.1°的六十分之一为一分，记作1′，即1°=60′.1′的六十分之一为一秒，记作1″，即1′=60″.

6.3余角、补角、对顶角

9.如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角.

10.如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角.11.同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的补角相等12.对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边（或是一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线）的两个角叫做对顶角.两条直线相交，构成两对对顶角.对顶角相等.

6.4平行

13.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.14.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.15.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

6.5垂直

16.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直.互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.

17.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.

18.当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.19.平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.20.直线外一点与直线上各点连接的所有的线段中，垂线段最短.21.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

初一年级下册第七章平面图形的认识(二)

重点公式、定理和结论

7.1探索直线平行的条件

1.在被同一条直线所截的两条线产生的八个角中，在截线同侧且在两条被截线同一方向的两个角称为同位角.

2.同位角不一定相等.同位角相等，两直线平行.

3.在被同一条直线所截的两条线产生的八个角中，分别在截线两侧且在两条被截线内侧的两个角称为内错角.

4.内错角不一定相等.内错角相等，两直线平行.

5.在被同一条直线所截的两条线产生的八个角中，在截线同侧且在两条被截线内侧的两个角称为同旁内角.

6.同旁内角不一定相等.同旁内角相等，两直线平行.

7.2探索平行线的性质

1.两直线平行，同位角相等.2.两直线平行，内错角相等.3.两直线平行，同旁内角互补.

7.3图形的平移

1.在平面内，讲一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.平移不改变图形的形状、大小.

2.图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行(或在同一条直线上)并且相等.

3.如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离.7.4认识三角形

1.三角形的任意两边之和大于第三边.

2.在三角形中，从一个顶点向他的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.

3.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

4.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.5.三角形均有三条中线，三条角平分线和三条高.6.直角三角形的三条高线所在直线交于直角顶点；锐角三角形的三条高线所在直线交于形内；钝角三角形的三条高线所在直线交于形外.

7.5三角形的内角和

1.三角形3个内角的和等于180°.2.直角三角形的两个锐角互余.

3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.n边形的内角和等于(n－2)180°5.任意多边形的外角和等于360°.第八章幂的运算

重点公式、定理和结论

8.1同底数幂的乘法

1.a

m

a＝a

n

m+n

同底数相乘，底数不变，指数相加.

8.2幂的乘方与积的乘方

1.(a

mn

)=a

mn

幂的乘方，底数不变，指数相加.2.(ab)n=anbn

积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

8.3同底数幂的除法

1.a÷a=a

mn

m-n

(m、n是正整数，m＞n).

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

0

2.a=1(a≠0)

任何不等于0的数的0次幂等于1.

3.a=1/a(a≠0,n是正整数)

nn

任何不等于0的数的n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数.

4.对于0指数幂和负整数指数幂，幂的运算性质仍然适用.

5.一般的，一个正数利用科学计数法可以写成a×10的形式，其中1≤a＜10，n是整数.

n第九章从面积到乘法公式

重点公式、定理和结论

9.1单项式乘单项式

1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于旨在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

9.2单项式乘多项式

1.单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

9.3多项式乘多项式

1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

9.4乘法公式

1.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

3.完全平方公式、平方差公式通常叫做乘法公式，在计算时可以直接使用.

9.5~9.6单项式乘多项式法则的再认识因式分解

1.多项式中各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式.2.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.3.通常，当多项式的第一项的系数为负时，把“”号作为公因式的符号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正.4.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来.把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.5.运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法.

6.通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式，进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止.第十章二元一次方程组

重点公式、定理和结论

10.1二元一次方程

1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

2.适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.3.二元一次方程有无数个解.

10.2二元一次方程组

1.含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程叫做二元一次方程组.2.我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.

10.3解二元一次方程组

1.将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并带入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法.简称代入法.

例：解方程组解：由①，得

y=12③

将③带入②，得

2x+12-x=20④

解这个一元一次方程，得

y=4所以原方程组的解是x=8y=4

x+y=12①2x+y=20②2x+y=20②

2.把方程组的两个方程(或先做适当变形)相加或相减，小区其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

例：解方程组解：①×3，得

5x-2y=4①2x-3y=-5②

15x-6y=12③

②×2，得

4x-6y=-10③-④，得

11x=22解这个方程，得x=2将x=2带入①，得y=3所以原方程组的解是

x=2y=3

10.4用方程组解决问题

1.用方程组解决问题的步骤：①审题，寻找等量关系②根据问题及题意设未知数③根据题意，列方程组④用合适的方法解方程组⑤将所得的解代入题意，答.

④第十一章图形的全等

重点公式、定理和结论

11.1全等图形

1.能完全重合的图形叫做全等图形.两个图形全等，它们的形状和大小都相同.

11.2全等三角形

1.两个能重合的三角形是全等三角形.如

AM

BCNQ上述△ABC与△MNQ全等，即记作“△ABC≌△MNQ”，读作“△ABC全等于△MNQ”.顶点A和M、B和N、C和Q是对应顶点；AB与MN是对应边；∠A与∠M是对应角.

2.在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上.3.全等三角形的对应边相等，对应角相等.

11.3探索三角形全等的条件

1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”3.两角和其中一角的对应边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”

4.角平分线上的点到角的两边的距离相等.

5.三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”6.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“HL”第十二章数据在我们周围

重点公式、定理和结论

12.1普查与抽样调查

1.为一特定目的而对所有考察对象所做的全面调查叫做普查.

2.为一特定目的而对部分考察对象所做的全面调查叫做抽样调查（简称抽查）.3.我们将所考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量.

4.普查是通过调查总体来收集数据，调查的结果准确，但普查往往工作量大，难度大，而且有些调查不宜使用普查。抽样调查是通过调查样本来收集数据，抽查的工作量较小，便于进行，但样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计的准确程度，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意所选样本的代表性.

12.1统计图的选用

1.以整个圆面积代表统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同的扇形面积表示，扇形面积占圆面积的百分之几就代表该统计项目占总体的百分之几的统计图称为扇形统计图.

2.在扇形统计图中，扇形圆心角度数=该部分的百分比×360°.

3.扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比；折线统计图能清楚的反映事物的变化情况；条形统计图能清楚的表示出每个项目的具体数目.

12.3频数分布表和频数分布直方图

1.在记录数据是，每个对象出现的次数有的多，有的少，或者说他们出现的频繁程度不同.通常每个对象出现的次数用“划记”的方法累计.某个对象出现的次数称为频数，频数与总次数的比值称为频率.

初二年级上册

第一章轴对称图形

1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，若它能与另一个图形重合，则就说这两个图形关于这条直线成轴对称.

2.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线翻折，若直线两旁的部分能完全重合，则就说这个图形是轴对称图形.

3.轴对称与轴对称图形的联系：如果把成轴对称的图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称.

4.轴对称的性质：①如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分；②关于某直线对称的两个图形是全等图形；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上.

5.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.

6.角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.

7.等腰三角形：有2条边相等的三角形叫做等腰三角形；特别地，3条边都相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等；等腰三角形的底边中线、底边高、顶角平分线重合（简称“三线合一”）.

8.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

10.两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是他的对称轴.等腰梯形在同一底上的两个角相等.等腰梯形的对角线相等.

11.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

第二章勾股定理与平方根

1.勾股定理：直角三角形两直角边

斜边的一半.a＋b＝c.

的平方和等于

2.如果三角形的三边长a、b、c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角

形.

3.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a

的平方根，也称为二次方根.也就是说，如果x＝a，那么x就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.

4.正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根.0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根.

5.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也称为

三次方根.也就是说，如果x＝a，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算叫做开立方.

6.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

7.无限不循环小数称为无理数.有理数和无理数统称为实数.也就是说，实数可

以分为有理数和无理数.

8.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点都表

示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的.在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.

9.取一个数的近似值有多种方法，四舍五入法是最常用的一种.用四舍五入法

取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.10.对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字

都称为这个近似数的有效数字.

第三章图形的旋转

1.在平面内，将一个图形绕一个定点沿着一定方向转动一定的角度，这样的图

形运动成为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.图形的旋转不改变图形的形状、大小.

2.旋转前、后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋

转中心的连线所成的角（旋转角）彼此相等.

3.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称

这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心.两个图形中的对应点叫做对称点.

4.一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转，因此，成中心对称的两

个图形具有图形旋转的一切性质.5.成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.6.把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形

互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是他的对称中心.

7.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四

边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.

8.一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边

形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形式平行四边形.

9.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形通常也叫做长方

形.矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质.10.矩形的对角线相等，四个角都是直角.

11.有三个角是直角的四边形是矩形.对角线相等的平行四边形

是矩形.

12.有一组临边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的四条边都相

等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

13.四边都相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

14.有一组临边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方

形.正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组临边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形.正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

15.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第

三边，并且等于它的一半.

16.连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.梯形的中位线平行于两底，并

且等于两底和的一半.

第四章数量、位置的变化

1.表格、图形和代数式都是描述数量变化、位置变化及其规律的常用方法.表

格可以一目了然，图形的形象可以更直观，代数式能揭示出变化的规律.2.平面内的点的位置的确定至少需要两个量.3.平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平

面直角坐标系，简称为直角坐标系.水平方向的数轴称为x轴或横轴，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们统称为坐标轴.公共原点O称为坐标原点.

第五章一次函数

1.一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每2.3.

4.

5.6.

7.8.

一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，那么就称y是x的函数.通常把x称为自变量，y称为因变量.

因为函数关系是指定了两个变量之间的具体数量关系，所以给定一个自变量的值，可以求出对应的因变量的值；反之亦然.

一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b＝0时，y叫做x的一次函数.

一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是直线.因此，在画一次函数的图像时，只要确定两个点的位置，过这两点画直线即可.通常，我们可以取点（0，b）和点（-b/k，0）.其中，点（-b/k，0）在x轴上，点（0，b）在y轴上.

正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点（0，0）的一条直线，通常可以再去一点（1，k）或（-1，k）过原点和这一点就可以画出直线了.

一次函数的图像所经过的象限是有k与b的符号所决定的.y随x的变化情况是由k的符号所决定的.

①k＞0，b＞0→图像在第一、二、三象限.②k＞0，b＜0→图像在第一、三、四象限.③k＜0，b＞0→图像在第一、二、四象限.④k＜0，b＜0→图像在第二、三、四象限.

一般地，一次函数图像上任意一点的坐标都是对应的二元一次方程的一个解；以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的一次函数图像上.

一般地，如果两个一次函数的图像上有一个交点，那么这个交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.

第六章数据的集中程度

1.一般地，对于n个数x1、x2、x3、xn，我们把（x1＋x2＋x3＋＋xn）/n

叫做这n个数的算术平均数.简称平均数.

2.加权平均数：解决与平均数有关的计算问题时，有时会出现一组数据中，不

同的数据在整个事件中的重要程度不同，这时直接计算它们的平均数，将不能反映实际情况，这时就会分配给每个数据一个“权”，按不同的权重计算平均数.计算的方法是，将每个数据分别乘以他们的权重，再求和，最后将和除以所有权重的和.

3.一般地，将n个数据按从小到大顺序排列后，①当n个数为奇数时，处于中

间位置的一个数据，叫做这组数据的中位数；②当n为偶数时，处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.

4.一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

初二年级下册

整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。（二）平方差公式1．平方差公式

（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)

（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。（三）因式分解

1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。上面两个公式叫完全平方公式。（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项

②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。（五）分组分解法

我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．

原式=(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)

做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)＝(m+n)(a+b)．

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法

1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．

2.运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：

1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．

2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法

1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．

3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．

5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．

6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法

1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．

2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．

3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．

5．通分的关键：确定几个分式的公分母．

通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。

8．异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

9．同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．

10．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．11．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．12．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．(九)含有字母系数的一元一次方程1．含有字母系数的一元一次方程

引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程ax=b（a≠0）

在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

平移与旋转旋转1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。2.旋转的性质：旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。中心对称1.中心对称的定义：如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。2.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。3.中心对称的性质：在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。轴对称1.轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2.轴对称图形的性质：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。3.轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。图形变换图形变换的定义：图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果ykxb（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数ykxb中的b为0时，ykx（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数ykxb的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。（如下图）4.正比例函数的性质

一般地，正比例函数ykx有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。k>0bb>0K

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