高二数学2-2.2-3知识点复习小结

高二数学2-2.2-3知识点复习小结

高二数学2-2.2-3知识点复习小结

一、导数

1、导数定义：f(x)在点x0处的导数记作yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0)；

x2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度；3、常见函数的导数公式:

"①C0；②(xn)"nxn1；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；

⑤(ax)"axlna；⑥(ex)"ex；⑦(logax)"11"；⑧(lnx)。xlnax11⑨2；⑩

xxx21x

uuvuv4、导数的四则运算法则：(uv)uv;(uv)uvuv;();2vv5、复合函数的导数：yxyuux;6、导数的应用：

（1）利用导数求切线：根据导数的几何意义，求得该点的切线斜率为该处的导数（kf(x0)）；利用点斜式（yy0k(xx0)）求得切线方程。

注意）所给点是切点吗？）所求的是“在”还是“过”该点的切线？（2）利用导数判断函数单调性：①f(x)0f(x)是增函数；

②f(x)0f(x)为减函数；③f(x)0f(x)为常数；反之，f(x)是增函数f(x)0，f(x)是减函数f(x)0

（3）利用导数求极值：）求导数f(x)；）求方程f(x)0的根；）列表得极值。（4）利用导数最大值与最小值：

）求得极值；）求区间端点值（如果有）；得最值。（5）求解实际优化问题：

①根据所求假设未知数x和y，并由题意找出两者的函数关系式，同时给出x的范围；②求导，令其为0，解得x值，舍去不符合要求的值；

③根据该值两侧的单调性，判断出最值情况（最大还是最小？）；④求最值（题目需要时）；回归题意，给出结论；7、定积分定积分的定义：

baf(x)dxlimni1nbaf(i)（注意整体思想）n

定积分的性质：①

②③

kf(x)dxkabba；f(x)dx（k常数）

bb[f(x)fa1b2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx；

aacbacba（分步累加）f(x)dxf(x)dxf(x)dx（其中acb)。

微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：

baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

n11xnsinxcosxcosxsinxn1lnx（熟记x（），，，，n1xxaxx）ee，axlna定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S；(f(x)g(x))dx（两曲线所围面积）

ab注意：若是单曲线yf(x)与x轴所围面积，位于x轴下方的需在定积分式子前加“”②求变速直线运动的路程：S③求变力做功：Wv(t)dt；

abbaF(s)ds。

二、复数

1．概念：

z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0；z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；

z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z2

（1）复平面、实轴、虚轴

（2）复数zabi点Z（a,b）向量OZ(a,b)

三、推理与证明

（一）．推理：

合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。注：类比推理是特殊到特殊的推理啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。

演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提---------已知的一般结论；小前提---------所研究的特殊情况；结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。（二）证明⒈直接证明综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。（三）数学归纳法

一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当n取第一个值n0是命题成立；

假设当nk(kn0,kN)命题成立，证明当nk1时命题也成立。那么由就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；①n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

四、排列、组合和二项式定理

m排列数公式:An=n(n-1)(n-2)(n-m＋1)=(nm)!(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列

n!

n0=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!，AnAn1;

mAnn(n1)(nm1)（m≤n）,C0Cn1；m组合数公式：CnmnnAmm(m1)(m2)321组合数性质：Cnmnmmm1m12nn1Cn;CnCnCn；1；Cn2CnnCnn20n1n11knkknn二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)rnrr①通项：Tr1Cnab(r0,1,2,...,n);②注意二项式系数与系数的区别；

二项式系数的性质：

mnm①与首末两端等距离的二项式系数相等（Cn）；Cnnn②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数（C2n）最大；若n为奇数，中间

2n1n1两项（第+1和+1项）二项式系数（Cn2，Cn2）最大；

2201*n0213③CnCnCnCn2n;CnCnCnCn2n1;

n1n1(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用代入法（取x1,0,1）。

五.概率与统计

随机变量的分布列：

（求解过程：直接假设随机变量啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，找其可能取值，求对应概率，列表）

①随机变量分布列的性质：0pi1,i=1,2,；p1+p2+=1;②离散型随机变量：

XPx1P1X2P2xnPn期望：EX＝x1p1+x2p2++xnpn+;

方差：DX＝(x1EX)p1(x2EX)p2(xnEX)pn;注：E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX；DXEX(EX)

22222

③两点分布（01分布）：

X01期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).P1－pp④超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

knkCMCNMP(Xk),k0,1,m,mmin{M,n},其中，nN,MN。nCN称分布列

X01m

0n01n1mnmCMCNCMCNCMCNMMMPnnnCNCNCN为超几何分布列，称X服从超几何分布。

⑤二项分布（n次独立重复试验）：

kk若X～B（n,p）,则EX＝np,DX＝np（1-p）;注：P(Xk)Cnp(1p)nk。

条件概率：

P(B|A)n(AB)P(AB)，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。n(A)P(A)注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。正态总体的概率密度函数：f(x)12e(x)222,xR,式中,（0）是参数，

分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交啊啊啊啊啊啊啊啊；②曲线是单峰的，关于直线x＝对称；

③曲线在x＝处达到峰值

b12；④曲线与x轴之间的面积为1；

P(aXb)af(x)dx，则X~N(,2)

①曲线的对称轴随的变化沿x轴平移，变大，曲线右移；

②曲线高矮由确定：越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”；标准正态分布X~N(0,1)，其中f(x)1e2x22,xR,

注：P(3X3)=0.9974（3原则）

xab，线性回归方程y其中x11bxi,yyi，ni1ni1nnxyii1nninxynx2xyb，axi12i（9）独立性检验

2所谓独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算的值，比较与临界值的

大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题。

具体步骤：（1）采集样本数据。

nn11n22n12n2122nnnn1212（2）由计算的值。

222（3）统计推断，当＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当＞6.635时，2有99%的把握说事件A与B有关；当≤3.841时，认为事件A与B是无关的。

例.为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示：

男女正常442514

色盲386

根据上述数据试问色盲与性别是否是相互独立的？分析：问题归结为二元总体的独立性检验问题。解：由已知条件可得下表

正常色盲合计男442384802女5146520合计95644100044263851410002依据公式得＝95644480520＝27.139。

由于27.139＞6.635，所以有99%的把握认为色盲与性别是有关的，从而拒绝原假设，可以认为色盲与性别不是相互独立的。

评注：根据假设检验的思想，比较计算出的与临界值的大小，选择接受假设还是拒绝假设。

2

扩展阅读：高二数学选修2-1知识点总结

高二数学（上）期末复习部分知识点概要201*-1-5高二数学选修2－1知识点

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假

四种命题的真假性之间的关系：

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点F（大于F的点的轨迹称为椭圆．这F2的距离之和等于常数1，1F2）两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：

1--高二数学（上）期末复习部分知识点概要201*-1-5焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程

xy1ab0a2b2axa且byb

22yx1ab0a2b2bxb且aya

22

1a,0、2a,010,b、20,bF1c,0、F2c,0

10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c

短轴的长2b长轴的长2a

F1F22cc2a2b2

关于x轴、y轴、原点对称

cb2e120e1

aaa2x

ca2y

c13、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

14、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：

焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上

图形

标准方程范围顶点轴长焦点

xy1a0,b022abxa或xa，yR

22yx1a0,b022abya或ya，xR

22

1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

10,a、20,aF10,c、F20,c

虚轴的长2b实轴的长2a

2--高二数学（上）期末复习部分知识点概要201*-1-5焦距对称性离心率准线方程渐近线方程

F1F22cc2a2b2

关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

cb2e12e1

aaa2x

cbyx

aa2y

cayx

b16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的

“通径”，即2p．20、焦半径公式：

p；2p2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx0；

2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0；

2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0．

2若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0

21、抛物线的几何性质：标准方程

y22pxy22pxx22pyx22py

p0p0p0p0

图形顶点对称轴焦点准线方程

0,0

x轴

pF,02xp2y轴

pF,02xp2pF0,

2yp2pF0,

2yp23--高二数学（上）期末复习部分知识点概要201*-1-5离心率范围

e1x0x0y0y0

4--

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