高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题

高中数学选修2----2知识点

第一章导数及其应用知识点：

一．导数概念的引入

1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xxf(x0x)f(x0)0处的瞬时变化率是limx0x，

我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(xf(x0x)f(x0)0)=limx0x

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于

P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线PPf(xn)f(x0)n的斜率是knx，当点Pn趋近于

P时，函数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的nx0斜率k，即kf(xn)f(x0)limx0xf(x0)

nx03.导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,

即f(x)f(xx)f(x)limx0x

考点：无知识点：

二.导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；2若f(x)x,则f(x)x1;

3若f(x)sinx,则f(x)cosx4若f(x)cosx,则f(x)sinx;5若f(x)ax,则f(x)axlna6若f(x)ex,则f(x)ex

7若f(x)logxa,则f(x)1xlna

8若f(x)lnx,则f(x)1x2）导数的运算法则

1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

3.[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)][g(x)]23）复合函数求导

yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数yf(g(x))g(x)

考点：导数的求导及运算

★1、已知

fxx22xsin，则f"0

★2、若fxexsinx，则f"x★3.f(x)=ax3+3x2+2，

f(1)4，则a=（）

A.10193B.133C.163D.3★★4.过抛物线y=x2上的点M(1,124)的切线的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°

★★5.如果曲线y92x23与y2x3在xx0处的切线互相垂直，则x0=三.导数在研究函数中的应用

知识点：

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数yf(x)的极值的方法是:

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；

（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点：1、导数在切线方程中的应用

2、导数在单调性中的应用

3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用一、题型一：导数在切线方程中的运用

★1.曲线yx3在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（）A.（－2，－8）B.（－1，－1）或（1，1）

11C.（2，8）D.（－2，－8）

★2.曲线y13x3x25，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（）3A.6B.4C.3D.4

二、题型二：导数在单调性中的运用

★1.(05广东卷)函数f(x)x33x21是减函数的区间为()A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)

★2．关于函数

f(x)2x36x27，下列说法不正确的是（）A．在区间（，0）内，f(x)为增函数B．在区间（0，2）内，f(x)为减函数

C．在区间（2，）内，f(x)为增函数D．在区间（，0）

(2,)内,f(x)为增函数

★★3．(05江西)已知函数yxf(x)的图象如右图所示(其中f"(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中

yf(x)y的图象大致是（）

1x-2-1O12-1

yyy2y4422O1x2x11-2-112-2O-112-2-1O1x-2-2-2-2-1O2x

ABCD

★★★4、（201*年山东21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)1nxax1ax1(aR).（Ⅰ）当a1时，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（Ⅱ）当a≤12时，讨论f(x)的单调性．三、导数在最值、极值中的运用：

★1.（05全国卷Ⅰ）函数

f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a=（）A．2

B.3

C.4D.5

★2．函数y2x33x212x5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时f(x)取

得极值－2.

（1）试求a、c、d的值；（2）求f(x)的单调区间和极大值；

★★★4.（根据山东201*年文21改编）设函数f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)的极值

点。

（1）求a,b的值；（2）讨论f(x)的单调性；

第二章推理与证明知识点：

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.

2、类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n*nk(kn0(n0N)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设*0,kN)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

考点：无

第三章数系的扩充与复数的引入知识点：

一:复数的概念

(1)复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.

(2)分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。2．相关公式

⑴abicdiab,且cd⑵abi0ab0⑶zabia2b2

⑷zabi

z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.3．复数运算

⑴复数加减法：abicdiacbdi；⑵复数的乘法：abicdiacbdbcadi；

⑶复数的除法：abicdiabicdicdicdiacbdbcadiacbdbcadc2d2c2d2c2d2i

（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）4.常见的运算规律

(1)zz;(2)zz2a,zz2bi;

(3)zzz2z2a2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i2i;(8)1i1ii,1i1i1ii,2i

(9)设13i是1的立方虚根，则120，3n1,3n2,3n321考点：复数的运算

★山东理科1若zcosisin（i为虚数单位），则z21的值可能是

（B）（C）（D）643243i

★山东文科1．复数的实部是（）

1+2i

（A）A．2

B．2

C．3

D．4

mAmn()1(n(1)1)mmn!n!An1)nmmnnn(n7、公式：CCmmCCnnm!m!(nAmm!m!(nm)!m)!Am

mmnn

nmCmnCn;

z★山东理科（2）设z的共轭复数是z，若z+z=4,zz＝8，则等于

z（A）i（B）-i(C)±1(D)±i

m1mmCCCnnn1

ab)CaCabCabCabCbnnnnn8、二项式定理：(rnrr9、二项式通项公式展开式的通项公式：TCab(r0，1n)r1nn0n1n12n22rnrrnn

高中数学选修2－3知识点

第一章计数原理知识点：Ammmm1mm1n1AnAmCnAnmAn1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中

有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有N=M1M2...MN种不同的方法。3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

4、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号

Anm表示。

Amn(n1)(nm1)n!(nm)!(mn,n,mN)

5、公式：

，

Amm1nnAn1

6、组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

考点：1、排列组合的运用

2、二项式定理的应用

★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72B．108C．180D．216

★★2．在(x1243x)的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有

（）

A．3项B．4项C．5项D．6项

★★3．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是

A．420B．560C．840D．201*0

★★4．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为

★★5．(x1x)8的展开式中x2的系数为（）

A．-56B．56C．-336D．336

第二章随机变量及其分布知识点：

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn

X取每一个值xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列

4、分布列性质①pi≥0,i=1，2，；②p1+p2++pn=1．5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：

期望方差两点分布Eξ=pDξ=pq，q=1-p超几何分布服从参数为N,M,n的超几何分布EnMD（X）=np（1-p）*（N-n）/（N-1）N（不要求）二项分布，ξ～B（n,p）Eξ=npDξ=qEξ=npq，（q=1-p）几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)1pDqp2

其中0

从上表看到,正态总体在(2,2)以外取值的概率只有4.6%,在(3,3)以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

考点：1、概率的求解

2、期望的求解3、正态分布概念

★★★1．(本小题满分12分)某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要

1xyn其中b1x2n(x2)考点：无

xySP(xx)(yy),

aybxSS(xx)2x21，每次考科目B成绩合格的概率均为。假设他在这32项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X。(1)求X的分布列和均值；

参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。

★★★2（本小题满分12分）

济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，

0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

（1）求=0对应的事件的概率；（2）求的分布列及数学期望。★★★3.袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。

（1）随机从中取出2个球，表示其中红球的个数，求的分布列及均值。

（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖100元，第二个奖200元，，第k个奖k100元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。

第三章统计案例知识点：

1、独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数列联表为：x1x2总计

y1aca+c

y2bdb+d

总计a+bc+da+b+c+d

若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方）K2=n(ad-bc)2

/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。K2≤3.841时，X与Y无关；K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关2、回归分析

abx回归直线方程y

扩展阅读：高中数学选修2-1知识点、考点、附典型例题

高二数学选修2－1

第一章：命题与逻辑结构知识点：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题真真真真假假假真真假假假

四种命题的真假性之间的关系：

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

逆否命题

真真真假

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、当p、q都是真命题时，pq是真命题；q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．

考点：1、充要条件的判定

2、命题之间的关系

典型例题：

★1．下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是A．ab1B．ab1

C．a2b2

n

D．a3b3

★2．已知命题P：n∈N，2＞1000，则P为A．n∈N，2n≤1000B．n∈N，2n＞1000

C．n∈N，2≤1000

n

D．n∈N，2＜1000

n

★３．"x1"是"|x|1"的

A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

第二章：圆锥曲线知识点：

1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

xa22

ya22标准方程

yb221ab0

xb221ab0

范围

axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a1b,0、2b,0

顶点

10,b、20,b

轴长焦点焦距对称性离心率

短轴的长2b长轴的长2a

F1c,0、F2c,0

22F10,c、F20,c

2F1F22ccab

关于x轴、y轴、原点对称

eca1ba220e1

准线方程

xa2cya2c

3、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为

d2，则

F1d1F2d2e．

4、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

xa22

ya22yb221a0,b0

xb221a0,b0

范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率

xa或xa，yR

ya或ya，xR

1a,0、2a,010,a、20,a

虚轴的长2b实轴的长2a

F1c,0、F2c,0

22F10,c、F20,c

2F1F22ccab

关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

eca1ba22e1

a2准线方程

xa2cba

x

ycab

x

渐近线方程yy6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

7、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

8、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．10、抛物线的几何性质：

y22pxy22pxx22pyx22py

标准方程

图形

p0p0p0p0

顶点

0,0

y轴

对称轴x轴

焦点

pF,02pF,0

2pF0,

2pF0,

2准线方程xp2xp2yp2yp2

离心率e1

范围x0x0

y0y0

考点：1、圆锥曲线方程的求解

2、直线与圆锥曲线综合性问题

3、圆锥曲线的离心率问题

典型例题：

★★1．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，

则该双曲线的离心率的取值范围为

A．(0,2)

2222B．(1,2)C．(22,1)D．(2，)

★★★2．设椭圆

xayb1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2。点P(a,b)满足

|PF2||F1F2|.（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)2(y交于M，N两点，且|MN|58|AB|，求椭圆的方程。

23)16相

第三章：空间向量知识点：

1、空间向量的概念：

1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示

向量的方向．

，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）

4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、空间向量的加法和减法：

它遵循平行1求两个向量和的运算称为向量的加法，

四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已

知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方

法，称为向量加法的平行四边形法则．

2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角

形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．

3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与

a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．

4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：abab；结合律：aa．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在

实数，使ab．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使

或对空间任一定点，有或若四点，，xyC；xyC；

，C共面，则xyzCxyz1．

9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．

10、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作ab．

2aa11、已知两个非零向量和b，则abcosa,b称为，b的数量积，记作ab．即

ababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．

12、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．13若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；aba与b同向2，aaa，a2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab．

abaa；

14量数乘积的运算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数

组x,y,z，使得pxaybzc．

16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，

a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以

构成空间的一个基底．

17、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正

方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的

起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组

x,y,z，使得

px1ey2e．把zex，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记3作px,y,z．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．18、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．

6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．

7aaax1y1z1．

x1x2y1y2z1z2xyz212121222ab8cosa,babxyz222222．

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则dx2x12y2y12z2z12．

19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．

20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线

l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样

点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．

21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点

，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．

22、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．

ba23、若空间不重合两条直线a，的方向向量分别为，b，则a//ba//b，abRababab0．

24、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//

anan0，aaa//nan．

25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//bab，abab0．

26、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有

abcoscos．

ab27、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角

ln为，则有sincos．

ln28、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其

n1n2补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cos．

n1n229、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

30、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离

n为dcos,n．n31、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到

n平面的距离为dcos,n．n考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直

2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直

3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题

典型例题：

★★1．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角

的余弦值为。

★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.

（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．★★★3.如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，

AB//CD，AC//ED，AE//BC，ABC45,AB22,BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面PCD平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥PACDE的体积。

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