数学必修二第一章知识点总结+习题

数学必修二第一章知识点总结+习题

第一章空间几何体

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。(2)简单组合体的构成形式：

一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。

简单组合体

练习1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）ABCD

2、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱

"""""AD"

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似。

(3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

练习2．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。

3.空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。（1）定义：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

练习3．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个()

A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对

主视图左视图俯视图

练习4．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．

""""""""""

练习5．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;

图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

图（1）图（2）

练习6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为：

56

22A.24cm，12cmB.15cm，12cmC.24cm，36cm4、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.

斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系x"O"y"，使x"O"y"=45（或135），注意它们确定的平面表示水平平面；

00

2222③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持

‘

不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；

用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

练习7．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．．．A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆

练习8．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．20‘

2B．

1222C．D．12225、空间几何体的表面积与体积r

lrlAS侧＝2πrlB⑴圆柱侧面积；S侧面2rl⑵圆锥侧面积：S侧面rl

AlVθlr12hlB图中：扇形的半径长为l，圆心角为θ，弧AB的长AB=2πr

圆锥的侧面展开图是扇形，扇形面积S扇形弧长半径Lθl(注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角π为弧度角，例如60°弧度，3ππ45°弧度，90°弧度等等)42

O1r

hO2Rl⑶圆台侧面积：S侧面rlRl练习9．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3B.23C.33D.43说明：正三棱锥是锥体中底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。正三棱锥的性质：1．底面是等边三角形。2．侧面是三个全等的等腰三角形。3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。6体积公式：

V柱体Sh1V锥体Sh31V台体hS上S上S下S下3

练习10．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1:VA.1:3B.1:1C.2:1D.3:1

练习11．在△ABC中，AB2,BC1.5,ABC1200,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）

A.

9753B.C.D.2222

练习12．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）

A．

3355R3B．R3C．R3D．R3248248练习13．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，

EF//AB,EF3,且EF与平面ABCD的距离为2，2EDAFCB则该多面体的体积为（）

A．

915Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．22练习14．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，

圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．37.球的表面积和体积S球4R，V球243R.3练习15．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。练习16．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）

A．25B．50C．125D．都不对练习17．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）

A．3:1B．3:2C．2:3D．3:3

练习18（如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积

扩展阅读：数学必修2第一章知识点小结及典型习题

数学必修2知识点小结

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1、棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母表示，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且

相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

注意理解正三棱椎，正四面体、直棱柱的结构特征

3、棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转所成的面所围成的旋转体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图

是一个矩形。

5、圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。6、圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。7、球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图

1、定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

""""""""""""""""2、画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3、空间几何体的直观图斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。③平行于z轴的平行的线段仍然与z平行且长度不变

S直2=4、平面图形面积与其直观图面积的关系：S平45用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

根据三视图画空间几何体的直观图，注意先画俯视图。1.3空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

"S直棱柱侧面积chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积1ch"S圆锥侧面积rl

2S正棱台侧面积1(rR)l(c1c2)h"S圆台侧面积222Srlr圆柱的表面积圆锥的表面积S2rl2r圆台的表面积SrlrRlR球的表面积S4R（二）空间几何体的体积

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

柱体的体积VS底hV圆柱Shrh锥体的体积V2222

1S底hV圆锥1r2h33台体的体积V（S上13S上S下S下)h

114V圆台(S"S"SS)h(r2rRR2)h球体的体积VR3

3专项练习：

1、已知一个几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体的侧面积为_____cm2

2、一组合体三视图如右，正视图中正方形边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为（）A.23B.

3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

4、如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.。A2D

4

C5434344C.23+D.

2733B55、直角三角形三边长分别是3cm、绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想4cm、5cm，象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.

6、棱长都是1的三棱锥的表面积为，体积为。7、(1)等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球___S正方体；

(2)一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为_________厘米.

8、正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．

9、如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．

A．2＋2

B．

1＋22C．

2＋22D．1＋

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