人教版数学必修四1.4.1~1.5知识点总结+例题

人教版数学必修四1.4.1~1.5知识点总结+例题

Ch1三角函数

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的定义域与值域

正弦函数：y=sinx定义域：R值域：[-1，1]余弦函数：y=cosx定义域：R值域：[-1，1]例1、求下列函数的定义域：

1）y12cosx;2sinx3;1tanx2)y3)ylogsin2x[12cos(x)]2

正弦函数、余弦函数的周期性

sin(x2k)sinx(kZ)

正弦函数、余弦函数具有“周而复始”的变化规律,这可以从正弦线、余弦线、函数的图象的变化规律及诱导公式中得到反映。

即自变量x的值增加2π的整数倍时,函数的值重复出现,数学上用周期性，这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意事项：

(1)定义是对定义域中的每一个x的值来说的，如果只有个别的x值满足f(xT)f(x)，那么不能说T是f(x)的周期.例如：sin(42)sin4,但是sin(32)sinT(2)从等式f(xT)f(x)来看：自变量x本身加的常数才是周期；如：f(2xT)f(2x)的周期不是T，应该写成f(2(x))f(2x)2T其周期应为。2(3)如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如无特别说明，就是最小正周期.(4)并不是所有的周期函数都存在最小正周期。,不是sinx的周期.32(5)周期函数的周期不止一个。(6)正弦函数ysinx,xR,与余弦函数ycosx,xR都是周期函数，2k为周期，最小正周期是2结论：

2一般地，函数yAsin(x),xR或yAcos(x),xR(A、、为常数，且A0，0)的周期是：

例1、求下列函数的周期：1)y3)y3sinx,xR;2)ysin2x,xR;2sin(2x),xR;6

x4)ycos(),xR.231/6

正弦函数、余弦函数的奇偶性

正弦函数的图象

y132P5232P2O2322523x13113xx5,k,kZ对称轴：,,,

222222(,0),(0,0),(,0),(2,0)(k,0)kZ对称中心：

余弦函数的图像

y1PP3235222O2322523x1

kx,0,,2x,kZ对称轴：35对称中心：(结论：

2,0),(,0),(,0),(,0)222(2k,0)kZ1、由ysinx图像关于原点对称，所以为奇函数。正弦函数对称中心坐标为（k,0);对称轴方程为xk,kZ2

2、由ycosx图像关于y轴对称，所以为偶函数。余弦函数对称中心坐标为（k

2,0);对称轴方程为xk,kZ正弦函数、余弦函数的单调性

正弦函数的单调性

ysinx(xR)

增区间为[-2k,2k],kZ，其值从1增至122

3减区间为[22k,22k],kZ，其值从1减至-1余弦函数的单调性

ycosx(xR)

增区间为[-2k,2k],kZ，其值从1增至1减区间为[2k,2k],kZ，其值从1减至-1

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结论：

1、正弦函数在每个闭区间[2k](kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1;223在每一个闭区间[2k,2k]上都是减函数,其值从1减小到1.223当x2k时，ymax1,当x2k时，ymin1222、余弦函数在每个闭区间[2k,2k2](kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2k,2k]上都是减函数,其值从1减小到1.

,2k当x2k时，ymax1,当x2k时，ymin1综合应用

比较大小

1)sin(sin33),sin(cos);882)cos1,cos1,cos,cos;

453253)sin,cos,sin,cos54512单调区间探求

1)y2sin(2x)493)y(tan)sin2x8综合应用

x2)ylog2[cos()]34

1、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x),且在[3，2]上是减函数，，是锐角三角形的两个内角，则（A）A.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin)B.f(sin)f(cos)D.f(cos)f(cos)2、已知函数f(x)logacos(2x),其中a0,a13求：（1）定义域；（2）单调区间；

（3）判断奇偶性；（4）判断周期性，若是求最小正周期。3、求下列函数的值域：1）y32sin2xcosx2)y2cosx13sinx13)y3sinx2

74、（1）求函数ysin2x4sinx的值域；4（2）求函数ycos2xsinx,x[,]的值域。4413（3）当函数ysin2xacosxa的最大值为1，求a的值。225、函数f(x)2sinx，对于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，则x1x2的最小值为_____.

6、函数f(x)sinx0，f()f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则____.363633/6

37、已知函数f(x)2a[sin(2x)1]b,x[,],是否存在常数a,bQ，使得f(x)的值域为[3，31]？644若存在，求出对应的a,b，若不存在，说明理由。8、已知函数f(x)sin(xA.12B.1C.326)，(0)的图像相邻两对称轴的距离为2，则f(201*)()

D.0sinxa(0x)，下列结论正确的是sinx

(B).有最小值无最大值(D).无最大值无最小值9、设a0，对于函数f(x)(A).有最大值无最小值(C).有最大值有最小值10、已知函数f(x)x2bxc，对任意，R都有f(sin)0且f(2cos)0.(1)求f(1)的值；(2)求证：c0；(3)若f(sin)的最大值是10，求f(x)的表达式.

1.4.3正切函数的性质与图像

周期性：Ttan(x)tanx,xR,xk,kZ2yAtan(x)T

奇偶性：tan(x)tanx,xR,xk,kZ2正切函数是奇函数

正切函数的性质

1.定义域：xxk,kZ23.周期性：T=2.值域：R4.奇偶性：奇函数k6.对称性：对称中心(，；不是轴对称图形0)25.在开区间k,kkZ内递增22例1、求函数ytanx的定义域、周期和单调区间,对称中心，对称轴。3213例2、比较tan317与tan4的大小?1例3、若x,,求函数y2tanx1的最值及相应的x的值.234cosx

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1.5函数y=Asin(x)的图像

对ysin(x)，xR的图像的影响

函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ1时)或伸长(当0

简谐运动的物理量

在物理中，yAsinxBA0,0振幅：A;相位：x;初相：；周期：T21频率：f.T

；(1)在简谐运动中，自变量x表示时间，它是一个非负实数；(2)y表示相对与平衡位置的位移；

(3)振幅A表示离开平衡位置的最大距离:

(4)周期T表示物体往复运动一次所需要的时间；(5)频率f表示物体在单位时间内往复运动的次数。

yAsin(x),xR的图象及其性质的综合应用

yf(x)与yg(x)的图象关于直线xa对称的充要条件f(ax)g(ax)即g(x)f(2ax)关于直线yb对称的充要条件f(x)g(x)2b即g(x)2bf(x)关于点(a,b)对称的充要条件f(ax)g(ax)2b即g(x)2bf(2ax)如图是函数yAsin(x)2的图象(A0，0，)的一部分，则它的振幅，周期、初相分别是()

根据yAsinx的图象确定参数值的方法：1、由最值求A；2、由周期求；3、由特殊点求。

例题

例1.函数f(x)2sin(AT.6，x)的图象过点(0，，则该函数的最小正周期和初相1)为(323C.T6，)

6B.T6，6B.T6，3例2.将最小正周期为的函数f(x)sin(x)0，2的图象向左平移单位后，得到偶函数图像，244则的一个可能的值为__________.

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扩展阅读：人教版高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为k360k36090,k；第二象限角的集合为k36090k360180,k；第三象限角的集合为k360180k360270,k；第四象限角的集合为k360270k360360,k；

终边在x轴上的角的集合为k180,k；终边在y轴上的角的集合为k18090,k；终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、已知是第几象限角，确定

nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上

*一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

n终边所落在的区域．

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr．

1807、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．

1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，S12lr12r．

yr，

29、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是rr22xy0，则sincosxr，tanyxx0．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin，cos，tan．12、同角三角函数的基本关系：1sin2cos1sin1cos,cos1sin；22222yPTvOMAx2sintansintancos,cos．

costansin13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin2sinsin3sinsin，cos2k，coscos，tan2ktank．

．

cos，tantan．

，coscos，tantan4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos，cossin．6sincos，cossin．2222口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图

象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵

坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．函数ysinx0,0的性质：①振幅：；②周期：⑤初相：．

函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值为ymax，则2；③频率：f12；④相位：x；

12ymaxymin，

12ymaxymin，

2x2x1x1x2．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

Ca⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2．

19、向量数乘运算：

abCC⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，点的坐标是

x1x2y1y2,．

1123、平面向量的数量积：⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

若ax,y，则a2xy，或a22xy；设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20；

22ab设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则cosab24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴cos⑶sinx1x2y1y2xy2121xy2222．

coscossinsin；⑵coscoscossinsin；sincoscossin；⑷sinsincoscossin；tantan1tantantantan1tantan（tantan⑸tantan1tantan）；

⑹tan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．

⑵cos2cossin2cos112sin（cos22222cos212．

，sin21cos22）．⑶tan22tan1tan2．

26、sincossin，其中tan

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