数学新课程数学标准必修4知识点总结
第一章三角函数(约16课时)1.任意角、弧度
了角任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。2.三角函数
(1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;(2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(
2,的正弦、余
弦、正切),能画出的图象ysinx,ycosx,ytanx,了解三角函数的周期性;
(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2],正切函数在(性质(即单调性、最大和最小值、图象与轴交点)
(4)理解同角三角函数的基本关系式:
,)上的22sin2xcos2x1,sinxtanxcosx(5)结合具体实例,了解yAsin(x)的实际意义;能借助计算器或计
算机画出yAsin(x)的图象,观察参数A,,对函数变化的影
响;
(6)会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现
象的重要函数模型。
第二章平面向量(约12课时)1.平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何意义。2.向量的线性运算
(1)通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;
(2)通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共
线的含义;
(3)了解向量的线性运算性质及其几何意义;3.平面向量的基本定理及其几何意义
(1)了解平面向量的基本定理及其意义;(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;(3)会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
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4.平面向量的数量积
(1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;、(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂
直关系。
5.向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。
第三章三角恒等变换(约8课时)
1.经历用向量的数量积推导出两角关匠余弦公式的过程,进一步体会向量方法
的作用;
2.能从两角差的余弦公式化导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角
的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、
半角公式,但不要求记忆)参考例题
例1海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻0:003:006:00水深/米5.07.55.0时刻9:0012:0015:00水深/米2.55.07.5时刻18:0021:0024:00水深/米5.02.55.0(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出
整点时的水深的近似数值;
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少
要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,
吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
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扩展阅读:新课标数学必修4知识点总结
数学必修4知识小结
第一章《三角函数》
一,任意角与弧度制
1,角的定义:一条射线绕着顶点旋转到另一个位置所成的图形。逆时针方向旋转为正角,顺时针方向旋转为负角,不作任何旋转形成零角。2,角的象限:角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,则角的终边落在哪一个象限,这个角就称为哪一象限的角。第一象限的角2k,2k,kZ,第二象限的角2k,2k,kZ,22332k,kZ,第四象限的角2k,22k,kZ,22第三象限的角2k,3,所有与角终边相同的角的集合:S|2k,kZ
4,弧度制:如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l,那么角的弧度数的绝对值是弧度与角度的互化:180radlr1180rad121801rad
12r其中,r,l分别为扇形的圆心角弧25,弧长公式:lr扇形的面积公式:S扇形=rl度、半径、弧长
强化训练:
1,已知角是第二象限角,试确定角2,
的终边所在的位置22,(1)若角与角的终边关于x轴对称,则与的关系是_____________________
(2)若角与角的终边关于原点对称,则与的关系是_____________________
3,如图所示,试分别表示终边落在阴影区域的角
4,若角是第四象限角,则是第_______象限角
5,在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是_________弧度,扇形面积是__________6,已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角各取多少时,才能使扇形的面积最大?最大面
积为多少?
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12-数学必修4知识小结
二,任意角的三角函数1,三角函数的第一定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y则siny,cosx,tanyx2,三角函数的第二定义:设是一个任意角,在角的终边上任取一点P(x,y),令OPr则sinyxy,cos,tanrrx113,三角函数线:有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线,余弦线,正切线,合称三角函数线。
4,同角三角函数关系平方关系:sincos1商数关系:22PPTMOAT2OM4A264-1-1sintan(k,kZ)cos25,sina与cos,sina与cos的大小关系
角的终边在阴影部分内,则sincos
角的终边在阴影部分外,则sincos
角的终边在阴影部分内,则sincos
角的终边在阴影部分外,则sincos
强化训练
1,已知角的终边上有一点P3a,4a,分别求sin,cos,tan的值2,已知cos0,tan0,试判断角所在的象限
3,在0,2内,使sincos成立的的取值范围是_____________4,化简:12sin5cos5_____________5,已知sin1,且角为钝角,求cos,tan的值36,已知tan2,求sin,cos的值
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12-数学必修4知识小结
7,已知tan2,求下列各式的值
1)
sin2cos222)sin3cossin2cos
3cos4sin8,已知sincos7,0,求1)sincos2)sincos3)tan54
三,三角函数的诱导公式
公式一:sin2ksin,cos2kcos,tan2ktan公式二:sin+-sin,cos+-cos,tan+tan公式三:sinsin,coscos,tantan公式四:sinsin,coscos,tantan公式五:sincos,cossin
22公式六:sin+cos,cos+-sin
22诱导公式的规律:奇变偶不变,符号看象限。
k,kZ的三角函数值可化为角的三角函数值。(当k为奇数时,函数名改变;当k2k,kZ所在象为偶数时,函数名不变。角的函数值前面加上视为锐角时,原函数值在2意思是:限内的符号。)
强化训练:
1,求下列各三角函数的值(1)sin(945)(2)tan35331(3)3sin1200coscos585tan346的值2,(1)已知sin15,求sin233(2)已知cos3,已知
4m,求sin的值631tan322,求cos2sincos2sin2的值
1tan武汉市第十五中学高一数学组
12-数学必修4知识小结
四,三角函数的图像和性质
1,正弦函数:ysinx的性质
1)定义域为R,值域为1,12)最小正周期为23)单调性单调增区间4)奇偶性奇函数
5)对称性对称轴:直线x2,余弦函数:ycosx的性质
1)定义域为R,值域为1,12)最小正周期为2
3)单调性单调增区间2k,2k,kZ,单调减区间2k,2k,kZ4)奇偶性偶函数
5)对称性对称轴:直线xk,kZ,对称中心:点3,正切函数:ytanx,x1)定义域为x|xR,x32k,2k,kZ,单调减区间2k,2k,kZ
22222k,kZ,对称中心:点k,0,kZ
k,0,kZ22k,kZ的性质
k,kZ,值域为R2)最小正周期为23)单调性单调增区间4)奇偶性奇函数
k,k,kZ,
22k,0,kZ215)对称性对称中心:点4,三角函数的图像变换三种基本变换:
1)周期变换:ysinysinx0,纵坐标不变,横坐标变为原来的
。2)相位变换:ysinysin(x),向左0或向右0平移个单位。“加左减右”3)振幅变换:ysinyAsinxA0,横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍。
ysinyAsin(x)0,A0,三个参数不同,所以要经过三个基本变换,每一个基
本变换改变一个参数。变换的步骤一般是先进行相位变换,再进行周期变换,最后进行振幅变换。
5,已知三角函数图像求三角函数yAsin(x),A0,0解析式
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12-数学必修4知识小结
由最大(最小)值求出A,由周期求出,由特殊点的坐标代入求出。(注意,取零点时要注意是第一零点还是第二零点。)
相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期;相邻的两个最值点的间距为半个周期;相邻的两个对称中心的间距为半个周期;最高点和与之相邻的对称中心的间距为四分之一个周期
强化训练:
1,函数y2sin(1x)的周期,振幅,初相分别是_______,________,_______242,函数ycos(2xA.x2)的图象的一条对称轴方程是()
2B.x4C.x8D.x
3,要得到函数y=sin(2x-
)的图象,只要将函数y=sin2x的图象()3A.向左平行移动个单位B.向左平行移动个单位
36C.向右平行移动个单位D.向右平行移动个单位
365,,则值域是()664,若函数ycos2x2sinx的定义域为xA.,2B.2,2C.5,函数ycos(6,函数y177,D.2,444x)的单调递增区间是_______________________234-2o-4y4x2lg12sinx的定义域为__________________7,如图是函数yAsin(x)(A0,0,2)的图象的
6x一部分。则函数的解析式是___________
18,函数y2sin(x)由y=sinx(xR)的图象怎样变换得到的?
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第二章《平面向量》
一,向量的基本概念
1,向量的定义:既有大小又有方向的量,叫做向量。2,向量的表示:
1)字母表示:a,AB
2)几何表示:可以用有向线段表示向量,但有向线段不是向量。3,向量的基本概念
1)模:向量的大小,也就是向量的长度,也称为模,记作a
2)零向量:长度为0的向量3)单位向量:长度为1的向量
4)共线向量:方向相同或相反的非零向量为共线向量,也称平行向量,记作a//b。
5)相等向量:长度相等且方向相同的向量称为相等向量。6)相反向量:长度相等且方向相反的向量称为相反向量。
强化训练
1,下列说法正确的是()
(A)长度相等的向量就是相等向量(B)共线向量就是在一条直线上的向量(C)零向量的长度是0(D)方向相同或相反的向量是平行向量
A2,如图,三角形ABC的三边均不相等,E,F,D分别为AC,AB,BC的中点
1)写出EF与共线的向量2)写出所有与EF模相等的向量
FEBD二,平面的线性运算1,向量的加法1)加法法则
(1)平行四边形法则:共起点(2)三角形法则:首尾相连
CCD
BABACABACADABBCAC
2)相关结论
(1)ababab(2)abba(3)abcabc
2,向量的减法
减法法则三角形法则:共起点。
CABACCB
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12-6
AB数学必修4知识小结
3,数乘运算
1)定义:规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记做a。
长度与方向规定如下:(1)aa(2)当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反
2)相关结论:
(1)aa(2)aaa(3)abab
(4)00
3)向量共线定理:a为非零向量,则a//bba(为唯一确定的实数)
4)三点共线问题:若A、B、C三点共线AB//AC或AB//BC
推论:若OAmOBnOC,则A、B、C三点共线mn1
强化训练:
1,在平行四边形ABCD中OAa,OBb,OCc,ODd,则下列运算正确的是()
(A)abcd0(B)abcd0(C)abcd0(D)abcd0
2,化简下列各式,结果为零向量的个数为________个
1)ABBCCA2)ABACBDCD3)OAODAD4)NQQPMNMP
DFCEA3,如图,已知平行四边形ABCD的边BC,CD的中点分别为E,F,且AEa,AFb,试用a,b表示BC,CD
B4,设P是三角形ABC所在平面内的一点,BCBA2BP,则()
(A)PAPB0(B)PBPC0(C)PCPA0(D)PAPBPC0
15,在三角形ABC中,已知D是AB边上的一点,若AD2DB,CDCACB,则_____
36,已知两非零向量a,b,设OAab,OBa2b,OCa3b,判断A,B,C的位置关系
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12-数学必修4知识小结
三,平面向量基本定理及坐标表示1,平面向量基本定理
1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意
向量a,有且只有一对实数,,使ae1e2
2)基底:不共线的两个向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
两个向量成为基底的唯一限制是不共线。任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。3)向量共线定理的推论:
若a1e11e2,b2e12e2,则a//b1221(交叉相乘,积相等)4)向量的夹角:作OAa,OBb,则AOB叫做向量a与b的夹角。
显然0,180,当0时,a,b同向;当180时,a,b反向,当90时,称a,
b垂直,记作ab。
2,平面向量的正交分解及坐标表示
1)正交分解:把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量,叫做平面向量的正交分解。
2)坐标表示:取分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平面内的一个向
量a,则axiyj。我们将有序数对x,y叫做向量a的坐标,记作a=x,y。
3)向量的坐标运算
若a=x1,y1,b=x2,y2,则
abx1x2,y1y2,abx1x2,y1y2,ax1,y1
4)向量平行的坐标表示
若a=x1,y1,b=x2,y2,则a//bx1y2x2y10
强化训练
1,设e1,e2为两个不共线的向量,若ae1e2与b(2e13e2)共线,则_____
2,在三角形ABC中,设ABa,ACb,点D在线段BC上,且BD3DC,则把AD用a,b表示为。
3,ABCD的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D的坐标是____________4,已知ΔABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足PAPBPCAB,则点P与ΔABC的关系是:()
A、P在ΔABC内部B、P在ΔABC外部
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12-数学必修4知识小结
C、P在直线AB上D、P在ΔABC的AC边的一个三等分点上5,两点P(4,-9),Q(-2,3),y轴与直线PQ交于M且PMMQ则为___________
6,如图,直线PQ经过ΔABC的重心G,分别与AB,AC交于P,Q两点,A11设APmAB,AQnAC,则_____
mn7,如图,ΔABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,试用
PQGBCAAB,AC表示CE
B8,若向量a(1,2),b(x,1),,当a2b与2ab平行时,则x=______
DEC9,如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是BC,DC的
中点,G为BF,DE的交点,若ABa,ADb,试以DFCa,b表示DE,BF,CG
四,平面向量的数量积
AGEBb,1,数量积的定义:两个非零向量a,b,我们把数量abcos叫做向量a与b的数量积,记作a其中是向量a,b的夹角。特别地,我们把acos叫做a在b方向上的投影。
b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积。2,数量积的几何意义:数量积a3,运算律:
b=ab3)abc=acbcb=ba2)ab=a1)a4,相关结论:
22a02)abab03)aa4)abab1)05)ab22222a2abb6)ababab
5,数量积的坐标表示:
若a=x1,y1,b=x2,y2,则abx1x2y1y2
6,坐标运算的相关结论
221)若a=x,y,则axy2)若a=x1,y1,b=x2,y2,则abx1x2y1y20
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12-数学必修4知识小结
ab3)cosabx1x2y1y2xy2121x2y222
7,向量与三角形的“四心”
已知点P是三角形所在平面内的一点,
1)若PAPBPC0,则点P是三角形ABC的重心;
2)若PAPBPBPCPCPA,则点P是三角形ABC的垂心;
2223)若PAPBPC,则点P是三角形ABC的外心;;
4)令ABc,BCa,CAb,若aPAbPBcPC0,则点P是三角形ABC的内心。
强化训练
121,若等边三角形ABC的边长是23,平面内一点M满足CMCBCA,则MAMB_____。
63,b2,ab7,则a与b的夹角的余弦值为_________________2,若a13,a(2,1),b(3,4),则向量a在向量b方向上的投影为___________________4,若向量a(1,2),b(x,1),当a2b与2ab垂直时,求x.5,已知ab2,8,ab8,16,求ab及a与b的夹角的余弦。
6,已知||a4,|b|3,(2a-3b)(2ab)61,
(1)求ab的值;(2)求a与b的夹角;(3)求ab的值.
7,设a、b是两个不共线的单位向量,且a与b夹角为120,那么实数x为何值时|axb|的值最
小?
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第三章三角恒等变换
一,两角和与差的公式
和角公式:sinsincoscossin
coscoscossinsin
tantantan
1tantan差角公式:sinsincoscossin
coscoscossinsin
tantantan
1tantana2b2sinx(tanb,且的象限由a,b的符号确定)aasinxbcosx辅助角公式:
二,二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式:sin22sincos
cos2cos2sin22cos2112sin2
2tan
1tan21cos21cos222降幂公式:sin,cos
22tan2
强化训练
1,若cos(1),,,则cos________33362,化简:1sin6___________
11,sincos,则sin()________323123,sin,则cos2=___________4,已知,且cos241353,已知cossin5,在三角形ABC中,A6,已知cos4,cosB10,则sinC_________10113,cos,且0,(1)求tan2的值;(2)求7142武汉市第十五中学高一数学组
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7,已知向量acosx3,sinx,bcosx,sinx3,fxa求函数fx的b,x2,3,
单调增区间。8,已知函数fx131cos2xsinxcosx,xR,该函数的图象可由ysinxxR的图224象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
9,求函数fx2sinxcosxsinxcosx2的最大(最小)值.
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