数学必修5,选修1-1知识点总结

数学必修5,选修1-1知识点总结

必修5知识点总结

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的

sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc外接圆的半径，则有2R．

②sina2R，sinb2R12，sinCc2R12；

③a:b:csin:sin:sinC；3、三角形面积公式：SCbcsinabsinC12acsin．

4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

cab2abcosC．

2225、余弦定理的推论：cos第二章：数列

bca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

1、若三个数a，，b成等差数列，则A称为a与b等差中项，Ad2、等差数列an的首项a1，公差d，则ana1n1ab2

anamnmd，变形：

3、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；

*若an是等差数列，且2npq（n、p、q），则2anapaq；

4、等差数列的前n项和的公式：①Snna1an2；②Snna12nn12d．

5、若a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．Gab

n1nm6、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q．变形：anamq；

*7、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；

*若an是等比数列，且2npq（n、p、q），则anapaq；

na1q18、等比数列an的前n项和的公式：Sna1qnaaq．

11nq11q1qSnSn19、an与Sn的关系：anS1n2n1

第三章：不等式

1、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b4ac201*二次函数yaxbxc2a0的图象有两个相异实数根一元二次方程axbxc02有两个相等实数根a0的根axbxc0一元二次不等式的解集2x1,2b2ax1x2b2a没有实数根x1a0axbxc02x2xxx1或xx2bxx2aRa022xx1xx22、重要不等式：ab2aba,bR

3、基本不等式：若a0，b0，则ab2ab，abab，即ab224、设x、y都为正数，则有

ab2a0,b0；

s42（1）若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．p．

（2）若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2

选修1-1知识点总结

第一章简单逻辑用语

1、原命题：“若p，则q”逆命题：“若q，则p”

否命题：“若p，则q”逆否命题：“若q，则p”

2、四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；3、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

4、逻辑联结词：⑴且:命题形式pq；⑵或：命题形式pq；⑶非：命题形式p.

pqppqpq真真假假真假真假真假假假真真真假假假真真5、⑴全称量词“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题p：xM,p(x)；全称命题p的否定p：xM,p(x)。

⑵存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；特称命题p：xM,p(x)；特称命题p的否定p：xM,p(x)；第二章圆锥曲线一、椭圆

1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭

圆．即：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)。2、椭圆的几何性质：

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xa22ya22yb221ab0xb221ab01a,0、2a,010,a、20,a1b,0、2b,0顶点10,b、20,b轴长焦点焦距短轴的长2b长轴的长2aF1c,0、F2c,022F10,c、F20,c2F1F22ccabcaba22离心率

二、双曲线

e10e11、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．即：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)。2、双曲线的几何性质：

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xa22ya22yb221a0,b0xb221a0,b0顶点轴长焦点焦距1a,0、2a,010,a、20,a虚轴的长2b实轴的长2aF1c,0、F2c,022F10,c、F20,c2F1F22ccabcaba22离心率bae1e1yabx渐近线方程yx5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．（e

2，渐近线方程为yx）三、抛物线

1、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：

标准方程y22pxy22pxp0x22pyp0x22pyp0p0图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点pF,02pF,02pF0,2pF0,2准线方程xp2xp2yp2yp2离心率e1过焦点弦x1x2p(x1x2)py1y2p(y1y2)p弦长公式：|AB|1k2(x1x2)4x1x22第三部分导数及其应用

1、函数fx从x1到x2的平均变化率：

fx2fx1x2x1xx0

f(x0x)f(x0)x2、导数定义：fx在点x0处的导数记作yf(x0)lim；．

x03、函数yfx在点x0处的导数的几何意义是曲线yfx在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．（点斜式方程：yy0k(xx0)）4、常见函数的导数公式：

①C"0；②(xn)"nxn1；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；⑤(ax)"axlna；⑥(ex)"ex；⑦(log5、导数运算法则：fxgx1fxgxax)"1xlna；⑧(lnx)"1x

；；

2fxgxfxgxfxgxfxfxgxfxgxgx02gx3gx．

6、在某个区间a,b内，若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递增；

若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递减．反之，若函数yfx在这个区间内单调递增，则fx0；

7、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：

1如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

2如果在x0附近的左侧

注意：若x0是极值点，则f(x0)0，反之不成立。8、求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤是：

1求函数yfx在a,b内的极值；

2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个

是最大值，最小的一个是最小值．

扩展阅读：必修5,选修1-1 全部知识点总结

导数及其应用

一、导数定义

二、常用函数的导数公式：①C0这里C是常数。即常数的导数值为0。

1②(xn)nxn11

特别地：(1x)(x1)x21x(x2)12x212(x)2x

③(sinx)cosx④(cos)sinx⑤(lnx)1x⑥(log111xax)xlogaexlna⑦(ex)e⑧(ax)axlna

三、求导数的四则运算法则及复合函数的求导法则

(uv)uv(uv)uvuv(Cu)Cu(uuvuvv)vyxyuux

四、导数的意义：

①几何意义：kf(x0)表示经过曲线yf(x)上的切点x0,f(x0)的切线的斜率。

②物理意义：vs(t)表示即时速度。av(t)表示加速度。

五、导数的应用：1、求切线的方程

①已知切点时求切线的步骤：求出函数

yf(x)在点xx0的导数，即曲线

yf(x)在切点

x0,f(x0)的切线的斜率；再利用点斜式方程为：yy0f(x0)(xx0)的可得切线的方程。②若未知切点，根据需要，可先设切点坐标为x0,y0，再根据具体问题用待定系数法求解

2、导数与函数的单调性的关系①f(x)0在区间D上恒成立f(x)区间D上为增函数②

f(x)区间D上为增函数f(x)0区间D上恒在成立

单调区间的求解过程：已知yf(x)，先分析yf(x)的定义域；再求导数yf(x)；最后解不等

式

f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间（解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间）。3、求极值、求最值。①注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a)、f(b)和极大值中最大的一个。最

小值是

f(a)、f(b)和极小值中最小的一个。

②由

f(x0)0还不能得到确定当x0为f(x)极值点，还需结合函数的单调性才能作出判断。如0不是

f(x)x3的极值点；

③已知

yf(x)，求函数f(x)极值的步骤：先求导数yf(x)；再由方程f(x)0求出得可疑

点（还应包括不可导点）；最后检查f(x)在可疑点处左右的值的符号，从而确函数f(x)的在方程根左右的区间的单调性，如果左增右减，那么f(x)在这个可疑点处取得极大值，如果左减右增，那么f(x)在这个可

疑点处取得极小值。

数列

一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列；通项公式an；前n项和公式Sn；等差数列；等差中项；等比数列；等比中项二、基本公式：

1、一般数列的通项aS1(n1)n与前n项和Sn的关系：an，若Sa1满足由anSnSn1推nSn1(n2)出的an，则需要统一“合写”；若不满足，则数列的通项应分段表示。

2、等差数列的通项公式：ana1(n1)d、anak(nk)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d0时，an是关于n的一次式；当d0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：S(a1an)2Sn(n1)nnnna12dSn(n1)nnan2d当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d0时（a10），Snna1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式：

akna1qn1anakqn(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)

5、等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1(是关于n的正比例式)；

当q1时，Sa1(1qn)a1anqn1qSn1q

三、有关等差数列的结论1、等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq

2、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2mSm、S3mS2m、S4mS3m、仍为等差数列。

3、Sm、S2m、S3m分别是等差数列{an}的前m项和、前2m项和、前3m项和，则SmS2mS3mm、

2m、3m也成等差数列。

4、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}、{anbn}仍为等差数列。

5、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。6、{an}为等差数列，则{can}(c0)是等比数列。

7.在等差数列{an}中：

①若项数为2n，则

S偶S奇nd

S偶San1奇an②若项数为2n1则，SS奇n1奇S偶an1

Sn，S2n1an1(2n1)偶8、两个等差数列{a}与{banS2n1nn}的前n项和分别为Sn、Tn，则

b

nT2n19、看到形如：

anan1d、a22nan1d、

anan1d、SnSn1d、

S22nSn1d、SnSn1d、

11d、11d、aan1an1annan1SnSn12、SSn1Sn1n2应能从中找出相应的等差数列。

四、有关等比数列的结论1、等比数列{an}中，若mnpq，则amanapaq

2、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2mSm、S3mS2m、S4mS3m、仍为

等比数列。

3、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、anb、1仍为等比数列。nbn4、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。5、{bn}(bn0)是等比数列，则{logcbn}(c0且c1)是等差数列。

6.在等比数列{an}中：

①若项数为2n，则

S偶Sq；②若数为2n1则，

S奇a1奇Sq

偶7、看到形如：

a2nqan1、(an1an)q(anan1)、anan1an1、(an1t)q(ant)、

SnqSn1应能从中找出相应的等差数列。

五、求数列{an}的最大、最小项的方法：

1、比差法：a02n1an0如an2n29n3

02、比商法：

a1n11(a0)如a9n(n1)annn110n3、利用函数的单调性：an)的增减性如annf(n)研究函数f(nn2156

六、在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题1、邻项变号法

①当aa10、d0时，满足m00的项数am使得Sm取最大值.m1②当aam010、d0时，满足的项数am使得m10Sm取最小值.

2、利用Sn（d0时，Sn是关于n的二次函数）进行配方

七、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。

2、错位相减法：利用等比数列前n项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。

3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。常见裂项有：1n(nk)1k(1n1nk)、1nkn1k(nkn)

4、倒序相加法：利用等差数列前n项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。八、由数列递推关系式求通项公式。1、形如an1anf(n)型（用累加法）

2、形如an1cand(c1)型（阶差法、参数法）

。3、递推关系中既含有an，又含有Sn型（统一为仅含有项或仅含有和的关系，然后再作处理，依据是

aS1(n1)n2)）SnSn1(n例：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a112（1）求证：{1S}是等差数列；（2）求an的表达式n九、有关的思想方法

1、从方程的思想上看：利用通项公式和前n项和公式及等差数列的五个量：a1、d、an、n、Sn（等比数列的五个量：a1、q、an、n、Sn）中的三个量可求其余两个量，即“知三求二”，基本能解决数列的常规考题。

2、从函数的思想上看：等差、等比数列的通项公式、求和公式都可以看作是n的函数，所以等差、等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

an3、从分类讨论的思想上看：用等比数列求和公式应分为S1(1q)n1q(q1)及Snna1(q1)；

已知Sn求an时，也要进行分类。

4、在解数列问题时，应注意观察题目中给出条件中“下标”的特点，有时可以更简便的计算

5、在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决。解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的。特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错。

不等式

一、不等式的基本性质：1、反对称性：若ab，则ba

2、传递性：若ab，bc，则ac

3、加法单调性：若ab，c为任意实数，则acbc

4、乘法单调性：若ab，c0为任意实数，则acbc若ab，c0为任意实数，则acbc

5、不等式相加（指同向不等式）：若ab，cd，则acbd6、不等式相减（指异向不等式）：若ab，cd，则acbd7、不等式相乘：若ab0，cd0，则acbd

8、不等式相除：若ab0，0cd，则abcd

9、乘方法则：若ab0，nN且n1，则anbn

10、开方法则：若ab0，nN且n1，则nanb11、倒数法则：若ab0且ab，则

1a1b二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。1、若a、b0，则

ab2ab（当且仅当ab时取等号）①基本变形：

aba2b2ab22；abc33abc

例：（1）函数

y4x924x(x12)的最小值。

（2）若正数x,y满足x2y1，则

1x1y的最小值。三、绝对值不等式：|a||b||ab||a||b|注意：上述等号“＝”成立的条件；

变式：如果a、b、c为实数，则|ac||ab||bc|，当且仅当(ab)(bc)0时取等号四、不等式的解法：1、一元一次不等式：

①axb(a0)：⑴若a0，则xba；⑵若a0，则xba；

②axb(a0)：⑴若a0，则xba；⑵若a0，则x

ba；

2、一元二次不等式：

注重二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三个二次之间的联系。能根据二次函数的图象解一元二次不等式；会解简单的含参数的不等式，要应用分类讨论的的思想；对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

3、绝对值不等式：若a0，则|x|aaxa；|x|axa或xa；

4、高次不等式的解法：（穿根法：最高次为正时从右上角开始、最高次为负时从右下角始；奇过偶不过）5、分式不等式的解法：（通常变形为整式不等式，也可考虑用穿根法）6、指数不等式和对数不等式（利用函数的单调性）6、解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)比较两个根的大小,设根为x1、x2（或更多）但含参数，要分x1x2、x1x2、x1x2讨论。

五、二元一次不等式组与简单线性规划

1、了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。（直线定界、原点定域）2、利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：

①作出可行解、可行域，将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集；②作出目标函数的等值线；

③求出最终结果，在可行域内平行移动目标等值线，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解。

3、能从实际情境中抽象简单的二元线性规划问题，并加以解决，其步骤为：①认真分析并掌握实际问题的背景，收集有关数据；②将影响问题的各项主要因素作为决策量，设为未知数；③根据问题特点，写出约束条件；

④根据问题特点，写出目标函数，并求出最优解或其他要求的解。

解三角形

一、正弦定理：

asinAbsinBcsinC2R（R为三角形外接圆半径）

变式1：（边化角）a2RsinA、b2RsinB、c2RsinC

变式2：（角化边）sinAa2R、sinBb2R、sinCC2R

变式3：（求三角形面积）S12ah111a2bcsinA2absinC2acsinB

22c22bccosAcosAb2c2a2二、余弦定理：ab2bc

三、解三形的类型：SSS（先用余弦定理求角）、SAS（先用余弦定理求第三边）

AAS（先用正弦定理求边）、ASA（用正弦定理求边）

SSA（有可能出现无解、一解、二解，可用正弦定理，也可用余弦定理）

四、在ABC中有下列常见知识：

1、等边对等角、等角对等边、大边对大角、大角对大边2、

A、B、C成等差数列的充要条件是B60

3、sin(AB)sinC、cos(AB)cosC、cosAB2sinCABC2、sin2cos2

4、给定

A、B的正弦值或余弦值，则C的正弦值或余弦值有解的充要条件是：cosAcosB0，证明

如下：

C有解AB有解

0AB0ABcosAcos(B)cosAcosB0

五、解三形应用的有关名词、术语：仰角和俯角、方位角、坡角、坡比

六、解三形应用要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和解决一些与测量和几何计算有关的实际问题（可以参见必修五中的例题）

解析几何

一、直线

1、直线的倾斜角与斜率k（关系如右图）：直线的倾斜角一定存在，范围是[0,)，但斜率不一定存在。

直线的倾斜角与斜率k的变化关系：当倾斜角是锐角时，斜率k随着倾斜角的增大而增大。当是钝角时，k随着倾斜角的增大而增大。

斜率的求法：依据直线方程化为斜截式

ykxb；依据倾斜角

ktan；依据两点的坐标ky2y1x

2x12、直线方程的几种形式，要求能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。注意各类方程适应的范围；注意截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形；在用待定系数法求直线方程时，不要忘记斜率不存在的特殊情形。点斜式：

yy0k(xx0)斜截式：ykxb两点式：

yy1xx1xyy截距式：12y1x2x1ab特殊形式：xx0yy0一般形式：AxByC0

3、两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）①已知两直线l1：

yk1xb1、l2：yk2xb2

l1//l2k1k2、b1b2l1l2k1k21

②已知两直线l1：

A1xB1yC10、l2：A2xB2yC20或lA11//l2A1B2A2B1且A1C2A2C1（可用AB1C1B来记忆）

22C2l1l2A1A2B1B20

4、点到直线的距离公式。d|Ax0By0C|C2|A2B2两平行直线的距离：d|C1A2B2

5、直线系方程：①直线ykxb（其中k为参数，b为常数）表示过定点(0,b)的直线系，但不包括y轴（即x0）②直线

yy0k(xx0)（其中k为参数）表示经过定点M(x0,y0)的直线系，但不包括

y轴（即

x0）

③直线

ykxb（其中k为常数，b为参数）表示斜率k的平行直线系

④若已知直线l:AxByC0，与l平行的直线系为：AxBym0（m为参数，且mC）⑤若已知直线l:AxByC0，与l垂直的直线系为：BxAyn0（n为参数）

⑥经过两直线l:A2211xB1yC10（A1B10）

、l2:A2xB2yC20（

A222B20）交点的直线系为：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0（其中为实数）

，但是，方程不包括直线l2二、圆

1、圆的方程：见课本

2、点和圆：位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。三、椭圆1、定义：

第一定义：平面内一动点到两个定点F1、F2的距离的和等于定长2a（2a|F1F2|2c）的点的轨迹

叫做椭圆，其中F1、F2称为椭圆的焦点，F1、F2的距离称为焦距。（注：当

|PF1||PF2|2a|F1F2|2c时，P点轨迹为线段F1F2；当|PF1||PF2|2a|F1F2|2c时，P点无轨迹。）

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离之比是常数e，当0e1时动点的轨迹叫做椭圆，

点F称为椭圆的焦点，直线l称为椭圆的准线。2、图象、方程、性质（见课本）

3、若P为椭圆上任一点，则依定义有：|PF|PF1||PF1||PF2|2a和

d2|e1d24、共焦点(c,0)、(c,0)的椭圆系的方程为：x2y2kkc21（kc2，c为焦半径）、有相同离心率的标准椭圆系的方程为：x2y27a2b2（0）

x28、Fy21、F2为椭圆a2b21的左右焦点，M为椭圆上一点，且F1MF2，则F1MF2的面积

为SF1MF2b2tan2

四、双曲线1、定义：

第一定义：平面内一动点到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于定长2a（2a|F1F2|2c）的

点的轨迹叫做双曲线，其中F1、F2称为双曲线的焦点，F1、F2的距离称为焦距。（注：当2a2c时，P点轨迹为线段F1F2上向外方向的两条射线；当2a2c时，P点无轨迹。定义中的“绝对值”不可忽略，否

则只可能是双曲线的一支。）

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离之比是常数e，当e1时动点的轨迹叫做双曲线，

点F称为双曲线的焦点，直线l称为双曲线的准线。（一个双曲线有两个焦点及它们各自对应的准线。）

2、图象、方程、性质（见课本）

3、等轴双曲线：实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，即ab。

x2y2ay2aax2方程为：221或2a21，离心率为e2，渐近线为yx

4、共轭双曲线：若双曲线C1以另外一个双曲线C2的实轴为虚轴，虚轴为实轴，则称C1和C2为共轭双曲线。x2y2双曲线x2y2a2b21和双曲线a2b21互为共轭双曲线。（共轭双曲线有相同的渐近线）

5、若P为双曲线上任一点，则依定义有：

|PF|PF1||PF1||PF2|2a和

d2|e1d26、共焦点(c,0)、(c,0)的双曲线系的方程为：x2y2kkc21（0kc2，c为焦半径）

、双曲线x2y2ab1的渐近线可由x2y27b22a2b20整理得：yax

8、共渐近线的双曲线方程：以xyx2y2ab0为渐近线的双曲线可设为a2b2（0）9、F为双曲线x2y21、F2a2b21的焦点，M为双曲线上一点，且F1MF2，则F1MF2的面积

为SF1MF2b2cot2

五、抛物线

1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等（或者距离之比是常数e，且e1）的点的轨迹叫

做抛物线，点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。（抛物线、椭圆、双曲线这三种曲线的内在联

系是一个动点与一个定点F和一条定直线l的距离之比是常数e，当0e1时，曲线为椭圆，当e1时，

曲线为抛物线，当e1时，曲线为双曲线。）

2、抛物线的方程、图象、性质（见课本）3、过抛物线y22px（p0）的焦点为F，过焦点的一条直线和抛物线交于两点

A(x1,y1)、B(x2,y2)，

且直线

AB的倾斜角为，则有以下结论：

①y2p2、③

11y2p、②x1x24|FA|1|FB|2p；过焦点的弦长：x1x2p④|AB|x|AB|2p1x2p、sin2（当90时，|AB|min2p，这时的弦AB叫抛物线的

通径）⑤以

AB为直径的圆与准线相切、焦点F对

A、B在准线上射影的张角为90

4、过点(2p,0)的直线l与抛物线y22px（p0）交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则OAOB，

反之亦成立

七、直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥曲线的交点问题（代数法、几何法）2、直线截圆锥曲线的弦长问题

直线

ykxb和圆锥曲线f(x,y)0交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则可利用两点间距离

公式

d(x2x1)2(y2y1)2来计算弦长，因已知直线

l的斜率

k时，公式变形为

d1k2x2x1或d11k2y2y1；

3、中点弦问题(点差法)

例：（1）过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，若弦恰被Q平分，求AB所在直线方程。

4、对称问题例：已知抛物线

yx2，若抛物线上总存在两个不同的点M和N关于直线l:ykx92对称，求实数k的取值范围。

八、求动点轨迹方程的方法与技巧

1、定义法：对于给出的问题，当已知条件或者适当的变换后适合圆锥曲线定义时，就可直接写出圆锥曲线的方程，这种建立曲线轨迹方程的方法称为定义法。例：一动圆与两x2y21和x2y28x120都外切，求动圆的圆心轨迹方程

2、直接法：若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生联系，这时，设曲线上动点坐标为(x,y)后，

就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何的或代数的基本公式、定理等列出含有x、

y的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。（步骤：①恰当地建立直角

坐标系；②设动点P(x,y)为轨迹上任一点；③问题中的几何关系；④用动点坐标P(x,y)表示问题中的几何

关系，列出等式；⑤化简、整理得轨迹方程。如果含参数，需讨论。）九、解析几何中的注意点：

1、会在任何条件下求出直线方程；注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解2、注重运用数形结合思想研究平面图形的性质

3、在圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离，|PF1|ed1。注意要掌握好焦半径公式。

4、当涉及直线与圆锥曲线的交点问题时，通常先设所交点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，联立直线方程和圆锥曲线方程，消元之后化为一元二次方程ax2bxc0，运用韦达定理：xbc1x2a、x1x2a，

多采用整体消元，突出解几“设而不解”的的技巧。5、要重视平面向量与解几的结合。

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