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高中数学必修1、4知识点归纳

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高中数学必修1、4知识点归纳

必修1数学知识点第一章、集合与函数概念

1.1.1、集合

1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个

集合相等。3、常见集合:正整数集合:N*或N,整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.

fx1fx2=…

1.3.2、奇偶性

1、一般地,如果对于函数fx的定义域内任意一个

x,都有fxfx,那么就称函数fx为

偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、一般地,如果对于函数fx的定义域内任意一个

都有fxfx,那么就称函数fx为x,

奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数(Ⅰ) 2.1.1、指数与指数幂的运算

1、一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根。

其中n1,nN.2、当n为奇数时,aa;

当n为偶数时,a3、我们规定:

nnn4、集合的表示方法:列举法、描述法.

1.1.2、集合间的基本关系

1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任

意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作AB.

2、如果集合AB,但存在元素xB,且xA,

则称集合A是集合B的真子集.记作:AB.

.并规定:3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:

空集合是任何集合的子集.

nn4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有2n个子

集.

1.1.3、集合间的基本运算

1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成

的集合,称为集合A与B的并集.记作:AB.2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素

组成的集合,称为A与B的交集.记作:AB.3、全集、补集?CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应

关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应,那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数,记作:yfx,xA.

2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大(小)值

1、注意函数单调性证明的一般格式:

解:任取x1,x2a,b且x1x2,则:

a.

⑴amma

*na0,m,nN⑵an,m1;

1ann0;

4、运算性质:⑴aaasrsrsa0,r,sQ;

⑵ararsa0,r,sQ;

rr⑶ababa0,b0,rQ.

r 2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象:yaxa0,a1

2.2.1、对数与对数运算

-1-

1、axNlogaNx;

2、alogaNa.

3、loga10,logaa1.

4、当a0,a1,M0,N0时:

⑴logaMNlogaMlogaN;

⑵logMalogNlogaMaN;

⑶logaMnnlogaM.

5、换底公式:loglogcbablogca

a0,a1,c0,c1,b0.

6、logab1log

baa0,a1,b0,b1. 2..2.2、对数函数及其性质1、记住图象:ylogaxa0,a1

2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象:

(指大图高,指小图低)

第三章、函数的应用

3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根

函数yfx的图象与x轴有交点

函数yfx有零点.

2、性质:如果函数yfx在区间a,b上的图象

是连续不断的一条曲线,并且有fafb0,

那么,函数yfx在区间a,b内有零点,即存在ca,b,使得fc0,这个c也就是方

程fx0的根.

3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.

3.2.1、几类不同增长的函数模型 3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检验.

必修4数学知识点第一章、三角函数

1.1.1、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合:

2k,kZ.

1.1.2、弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

的角.2、lr.

3、弧长公式:lnR180R.

4、扇形面积公式:SnR236012lR.

1.2.1、任意角的三角函数

1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

Px,y,那么:

-2-

siny,cosx,tanyx.

2、设点Ax0,y0为角终边上任意一点,那么:(设

rxy2020sincos,2cossin.2

x0rsiny0r,cos,tany0x0.

5、诱导公式六:

sincos,23、sin,cos,tan在四个象限的符号和三角

函数线的画法.4、诱导公式一:

sin2ksin,cos2kcos,(其中:kZ)tan2ktan.5、特殊角0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°的三角函数值.643sincostan 1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系:sin2cos21.2、商数关系:tansincos.

1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二:

sinsin,coscos,

tantan.2、诱导公式三:

sinsin,coscos,

tantan.3、诱导公式四:

sinsin,coscos,

tantan.4、诱导公式五:

cossin.2 1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象:

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:

定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

3、会用五点法作图.

1.4.2、正弦、余弦函数的性质

1、周期函数定义:对于函数fx,如果存在一个非

零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有fxTfx,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.

1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象:

2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、

值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 1.5、函数yAsinx的图象

1、能够讲出函数ysinx的图象和函数

yAsinxb的图象之间的平移伸缩变

0时,a的方向与a的方向相反.

换关系.2、对于函数:

yAsinxbA0,0有:振幅A,

2、平面向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba. 2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两

个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2. 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐标运算1、设ax1,y1,bx2,y2,则:⑴abx1x2,y1y2,

⑵abx1x2,y1y2,⑶ax1,y1,⑷a//bx1y2x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2,则:ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,则⑴线段AB中点坐标为

周期Tf1T22,初相,相位x,频率

.

1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量

2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三

个要素:起点、方向、长度.2、向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称

模),记作AB;长度为零的向量叫做零向量;长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行. 2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形法则和平行四边形法则.2、ab≤ab.

2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、规定:实数与向量a的积是一个向量,这种运

算叫做向量的数乘.记作:a,它的长度和方向规定如下:⑴aa,

x1x22,y1y22,

3⑵△ABC的重心坐标为

x1x2x33,y1y2y3.

2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、ababcos.

2、a在b方向上的投影为:acos.3、aa.

22⑵当0时,a的方向与a的方向相同;当

4、a

-4-

a2.5、abab0.

2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设ax1,y1,bx2,y2,则:

⑴abx1x2y1y2⑵ax221y1

⑶abx1x2y1y202、设Ax1,y1,Bx2,y2,则:

ABx222x1y2y1.

2.5.1、平面几何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换

3.1.1、两角差的余弦公式

1、coscoscossinsin2、记住15°的三角函数值:sincostan2126462423 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、coscoscossinsin2、sinsincoscossin3、sinsincoscossin4、tantantan1tantan.5、tantantan1tantan.

3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos,变形:sincos12sin2.

2、cos2cos2sin2

2cos2112sin2,

变形1:cos21cos22,

变形2:sin21cos22.

3、tan22tan.1tan2 3.2、简单的三角恒等变换注意切化弦、平方降次.

扩展阅读:高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.

第一象限角的集合为k360k36090,k第二象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、已知是第几象限角,确定

nnn所在象限的方法:先把各象限均分n等

*份,再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为

终边所落在的区域.

lr5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是1807、弧度制与角度制的换算公式:2360,1,157.3.180.

8、若扇形的圆心角为为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则lr,C2rl,S12lr12r.

29、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是x,y,它与原点的距离是rrxy022,则sinyr,cosxr,tanyxx0.

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.

11、三角函数线:sin,cos,tan.12、同角三角函数的基本关系:1sincos1

22yPTsin1cos,cos1sin2222;2sincostan

OvMAxsinsintancos,cos.

tan13、三角函数的诱导公式:

1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.

口诀:函数名称不变,符号看象限.

5sincos2cos2,cossin2.

6sin,cossin2.

口诀:奇变偶不变,符号看象限.

14、函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩

短)到原来的

1倍(纵坐标不变),得到函数ysinx的图象;再将函数

ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),

得到函数ysinx的图象.

函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx1倍(纵坐标不变),

的图象上所有点向左(右)平移

个单位

长度,得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点

的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数ysinx的图象.

函数ysinx0,0的性质:

①振幅:;②周期:.

2;③频率:f12;④相位:x;⑤初相:

函数ysinx,当xx1时,取得最小值为ymin;当xx2时,取得最大值为ymax,则12ymaxymin,12ymaxymin,

2x2x1x1x2.

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函ycosx

性质

数ysinxytanx

图象

定义域值域

RR

xxk,k

2R1,1

当x2k21,1

k当x2kk时,

ymax1;当x2k

最值

时,ymax1;当

x2k

既无最大值也无最小值

2

1.

k时,ymin1.

k时,ymin2周

期性奇奇函数偶性单

调在2k,2k

22性

2

偶函数奇函数

在2k,2kk上是

增函

-3-在k2,k数;在

k上是增函数;在2k,2k

32k,2k22k上是增函数.

k上是减函数.

k上是减函数.

对称中心k,0k对

对称轴称

性xkk

2对称中心

对称中心

k,0k

2k,0k2对称轴xkk

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度.

零向量:长度为0的向量.

单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:ababab.

⑷运算性质:①交换律:abba;②结合律:abcabc;③

a00aa.

⑸坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.

Ca

18、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.设、两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则x1x2y,1y2

b.

abCC

19、向量数乘运算:

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.

①aa;

②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0.

⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.

⑶坐标运算:设ax,y,则ax,yx,y.

20、向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.

设ax1,y1,bx2,y2,其中b0,则当且仅当x1y2x2y10时,向量a、bb0共线.

21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a1e12e2.(不共线的向量e1、e2作为

这一平面内所有向量的一组基底)

22、分点坐标公式:设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x1,y1,x2,y2,xx2y1y2当12时,点的坐标是1,.

1123、平面向量的数量积:

⑴ababcosa0,b0,0180.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:设a和b都是非零向量,则①abab0.②当a与b同向时,abab;22当a与b反向时,abab;aaaa或aaa.③abab.

⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.

⑷坐标运算:设两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2.

若ax,y,则a222xy,或axy.

22设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y20.

设a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a与b的夹角,则

abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222.

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;

⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan1tantantantan1tantan(tantantan1tantan);

⑹tan(tantantan1tantan).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴sin22sincos.⑵

2cos2cossin2cos112sin1cos222222(cos2cos212,

sin).

⑶tan22tan1tan2.

26、sincossin,其中tan22.

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