高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记
1．函数的平均变化率为
f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是
f(x0x)f(x0)y，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫limx0xx0xlim做
yf(x)在
x0处的导数，记作
f"(x0)或
y"|xx0，即
f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的
斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxxxedxeyexylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特别地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特别地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算[f(x)f(x)]dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabab特别地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)cbacbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1
1dxba
ab性质5若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0
ab①推广：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)
aaaabbbb②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx
aac1ckbc1c2b11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
推理与证明知识点
13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的．．．．．．．结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。．．．．14.归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点:①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.类比推理的思维过程
观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到．．特殊的推理。．．19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求．．．证命题正确。
26常见的“结论词”与“反义词”原结论词反义词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个一个也没有至少有两个至多有n-1个至少有n+1个原结论词对任意x不成立p或qp且q反义词存在x使成立对所有的x都成立存在x使不成立p且qp或q27.反证法的思维方法:正难则反．．．．
28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）．．．．．．．．．．．．．．自相矛盾．．．29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取．．．*nnN第一个值时命题成立；(2)假设当n=k(k∈N，且k≥n0)时命题成立，00．．．．证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n．．．．．都正确[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫．．．．虚部，数集Cabi|a,bR叫做复数集。
规定：abicdia=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。
实数(b0)31．数集的关系：复数Z一般虚数(a0)
虚数(b0)纯虚数(a0)32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作z或abi。由模的定义可知：zabia2b235.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进．．行。
②复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。③复数的除法法则：因子
36.共轭复数:两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
abi(abi)(cdi)acbdbcad22i其中cdi叫做实数化22cdi(cdi)(cdi)cdcd(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;
2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR
(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;
2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虚根，则10，2(9)设
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数学选修2-2导数及其应用知识点必记
1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为
f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？
答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？
答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？
答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特别地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特别地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特别地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)
②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？
答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b上的极值；
⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质有哪些？
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1
1dxba
ababbbbb性质5若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0
①推广：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)
aaaa②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx
aac1ckbc1c2b11定积分的取值情况有哪几种？
答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
数学选修2-2推理与证明知识点必记
13.归纳推理的定义是什么？答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。．．．．14.归纳推理的思维过程是什么？答：大致如图：
实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点有哪些？
答：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义是什么？
答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.类比推理的思维过程是什么？答：
观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义是什么？
答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论20.“三段论”可以表示为什么？
答：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？
答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24什么是间接证明？
答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。．．．26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个一个也没有至少有两个至多有n-1个至少有n+1个对任意x不成立p或qp且q反义词存在x使成立p且qp或q对所有的x都成立存在x使不成立27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反．．．．
28.如何归缪矛盾？
答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？．．．nnN答：(1)证明：当n取第一个值时命题成立；00．．．．(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集．．．．
Cabi|a,bR叫做复数集。
规定：abicdia=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。
实数(b0)31．数集的关系有哪些？答：复数Z一般虚数(a0)
虚数(b0)纯虚数(a0)32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.什么是复平面？
答：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对
(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作
z或abi。由模的定义可知：zabia2b2
35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？
答：①复数的加、减法法则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。．．②复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。③复数的除法法则：
abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做实数化因子36.什么是共轭复数？
答：两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;
2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR
(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;
2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虚根，则10，2(9)设
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