高中数学选修2-2知识点总结

高中数学选修2-2知识点总结

数学选修2-2知识点总结

导数及其应用

一．导数概念的引入

1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是

x0limf(x0x)f(x0)，

x我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即

f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

x例1．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：

s)存在函数关系

h(t)4.9t26.5t10

运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？解：根据定义

vh(2)limh(2x)h(2)13.1

x0x即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与

曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)，当点Pn趋近于P时，

xnx0函数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即

klimx0f(xn)f(x0)f(x0)

xnx03.导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,即

f(x)lim二.导数的计算

1.函数yf(x)c的导数2.函数yf(x)x的导数3.函数yf(x)x的导数

2x0f(xx)f(x)

x

4.函数yf(x)1的导数x基本初等函数的导数公式:

1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；2若f(x)x,则f(x)x1;3若f(x)sinx,则f(x)cosx4若f(x)cosx,则f(x)sinx;5若f(x)ax,则f(x)axlna6若f(x)e,则f(x)e

xx1xlna18若f(x)lnx,则f(x)

xx7若f(x)loga,则f(x)导数的运算法则

1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3.[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]2复合函数求导

yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数yf(g(x))g(x)

三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数yf(x)的极值的方法是:

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;

(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；

（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章推理与证明

考点一合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.

类比推理的一般步骤:

(1)找出两类事物的相似性或一致性;

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);

(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某

些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.

(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比

得出的命题越可靠.

考点二演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.

考点三数学归纳法

1.它是一个递推的数学论证方法.

2.步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,

完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且nN)结论都成立。考点三证明1.反证法:2.分析法:3.综合法:

第一章数系的扩充和复数的概念考点一:复数的概念

(1)复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.

(2)分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.

(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部

分叫做虚轴。

(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

考点二：复数的运算

1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则

z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)i

z1(acbd)(adbc)i(z20)z2c2d22,几个重要的结论

(1)|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)(2)zz|z|2|z|2(3)若z为虚数,则|z|z3.运算律(1)zzzmnmn22;(2)(z)zmnmnn;(3)(z1z2)nz1z2n(m,nR)

4.关于虚数单位i的一些固定结论：

（1）i1（2）ii（3）i1（2）ii234nn2in3in40

扩展阅读：高中数学选修2-2知识点总结

导数及其应用

一．导数概念的引入

数学选修2-2知识点总结

1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是

limf(x0x)f(x0)x，

x0我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx，即

0f(x0)=limf(x0x)f(x0)xx0

例1．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：

s)存在函数关系

h(t)4.9t6.5t10

2运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？解：根据定义

vh(2)limh(2x)h(2)xx013.1

即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与

曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)xnx0，当点Pn趋近于P时，函

数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即

klimf(xn)f(x0)xnx0f(x0)

x03.导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,即

f(x)limf(xx)f(x)xx0

二.导数的计算

1.函数yf(x)c的导数2.函数yf(x)x的导数3.函数yf(x)x的导数

4.函数yf(x)1x的导数

基本初等函数的导数公式:

1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；2若f(x)x,则f(x)x1;3若f(x)sinx,则f(x)cosx4若f(x)cosx,则f(x)sinx;5若f(x)ax,则f(x)axlna6若f(x)ex,则f(x)ex

x7若f(x)loga,则f(x)1xlna1x

8若f(x)lnx,则f(x)导数的运算法则

1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]23.[]

复合函数求导

yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数yf(g(x))g(x)

三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数yf(x)的极值的方法是:

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；

（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个

最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章推理与证明

考点一合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.

类比推理的一般步骤:

(1)找出两类事物的相似性或一致性;

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);

(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某

些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.

(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比

得出的命题越可靠.

考点二演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.

考点三数学归纳法

1.它是一个递推的数学论证方法.

2.步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,

完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且nN)结论都成立。考点三证明1.反证法:2.分析法:3.综合法:

第一章数系的扩充和复数的概念考点一:复数的概念

(1)复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.

(2)分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,

叫做纯虚数.

(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部

分叫做虚轴。

(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

考点二：复数的运算

1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则

z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)i

z1z2(acbd)(adbc)icd22(z20)

2,几个重要的结论

2222(1)|z1z2||z1z2|2(|z1||z2|)

(2)zz|z|2|z|2(3)若z为虚数,则|z|z3.运算律

(1)zmznzmn;(2)(z)zmnmnnnn;(3)(z1z2)z1z2(m,nR)

224.关于虚数单位i的一些固定结论：

（1）i1（2）ii（3）i1（2）ii234nn2in3in

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