初中数学函数知识点归纳

初中数学函数知识点归纳

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初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法

初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

一、一次函数

1.定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。2.图象及其性质（1）形状、直线

k0时，y随x的增大而增大，直线一定过一、三象限（2）

k0时，y随x的增大而减小，直线一定过二、四象限（3）若直线l1：yk1xb1l2：yk2xb2

当k1k2时，l1//l2；当b1b2b时，l1与l2交于(0，b)点。

（4）当b>0时直线与y轴交于原点上方；当b学大教育

(1)是中心对称图形，对中称心是原点（2）对称性：是轴直线yx和yx(2)是轴对称图形，对称k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小（3）

k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大（4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

P（1）应用在u3.应用（2）应用在（3）其它F上SS上t其要点是会进行“数结形合”来解决问题二、二次函数

1.定义：应注意的问题

（1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）（2）二次项指数一定为22.图象：抛物线

3.图象的性质：分五种情况可用表格来说明表达式(1)y=ax2顶点坐标对称轴(0，0)最大（小）值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0，0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x－(h，0)h)2直线x=hy最小=0y最大=0y随x的变化情况随x增大而增大随x增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小直线x=0(y轴)①若a>0，则x=0时，若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=0时，①若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a学大教育

表达式h)2+k顶点坐标对称轴直线x=h最大（小）值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay随x的变化情况随x的增大而增大随x的增大而减小b2a时，①若a>0，则x>b2a(4)y=a(x－(h，k)①若a>0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a0，则x=4acb24ay最小=4acb24ab时，y随x的增大而增大时，②若a2a2a时，y随x的增大而减小b②若a学大教育

一次函数图象和性质

【知识梳理】

1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函数ykxb的图象是经过（3.一次函数ykxb的图象与性质

图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限y随x的增大y随x的增大而y随x的增大y随x的增大性质而而而而

【思想方法】数形结合

k、b的符号k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0b，0）和（0，b）两点的一条直线.k反比例函数图象和性质

【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．2.反比例函数的图象和性质

k的符号k＞0yoxk＜0yox

图像的大致位置经过象限性质

第象限在每一象限内,y随x的增大而第象限在每一象限内,y随x的增大而3．k的几何含义：反比例函数y＝的几何意义，即过双曲线y＝

k(k≠0)中比例系数kxk(k≠0)上任意一点P作x4

x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB

函数学习方法学大教育

的面积为.

【思想方法】数形结合

二次函数图象和性质

【知识梳理】

1.二次函数ya(xh)2k的图像和性质

图象开口对称轴顶点坐标最值增减性

在对称轴左侧在对称轴右侧当x＝时，y有最值y随x的增大而y随x的增大而a＞0yOa＜0x当x＝时，y有最值y随x的增大而y随x的增大而锐角三角函数

【思想方法】

1.常用解题方法设k法2.常用基本图形双直角

【例题精讲】例题1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=

14，则tanB=______;（2）若cosA=，则tanB=______．255

函数学习方法学大教育

例题2.（1）已知：cosα=

23，则锐角α的取值范围是（）A．0°

扩展阅读：初中数学函数板块知识点归纳

初中数学函数板块知识点归纳

一、一次函数：

一次函数ykxb（1）关于x轴对称的图像的解析式为：ykxb（2）关于y轴对称，则直线的解析式为ykxb

1bxkk1b（4）关于直线yx对称，则直线的解析式为yx

kk（3）关于直线y＝x对称，则直线的解析式为y（5）关于原点对称，则直线的解析式为ykxb

（6）直线yk1xa与直线yk2xb互相垂直，则有k1k21

函数图象：

1）正比例函数y＝kx的图象是过原点（0，0）与点（1，k）的一条直线；一次函数y＝kx＋b的图象是过（0，b）平行于y＝kx的一条直线。

理解常数k的几何意义是表示图象与x轴倾斜的程度，一次函数的图像中，k的绝对值越大,直线离横轴就越远，越靠近纵轴，与横轴的夹角越大。b表示图象在y轴上的截距．（b也表示直线与y轴交点的纵坐标）。

2）两个函数当k相同，表示两条直线平行，当两个函数的b相同（k不相同）表示两条直线与y轴交于同一点）直线y＝kx，y＝kx＋b所在位置与k、b的符号有直接的关系。k＞0，直线必过一、三象限；k＜0，直线必过二、四象限。

b＞0，直线与y轴正半轴相交；b＝0，直线过原点；b＜0，直线与y轴负半轴相交。直线y＝kx＋b（k≠0）的位置与k、b符号的示意图如下：

注意：一次函数图象是直线，所以可称直线y＝kx＋b．直线y＝kx＋b均可由直线y＝kx平移而得。4.函数性质：k＞0时y随x增大而增大；k＜0时y随x增大而减小。5.凡是一次函数均可设为y＝kx＋b（k≠0），这儿的k、b是待定系数。由已知条件列待定系数的方程、方程组，可解出k、b的值。

6.要理解两条直线的交点坐标，就是这两条直线解析式组成的方程组的解。

了解一次函数图象与x轴交点的坐标是令y＝0，与y轴交点坐标是令x＝0，求解得出交点的坐标。7.点在函数图像上，则点的坐标应满足该函数关系式，即把坐标代入函数关系式后两边相等；反之，若一个点的坐标满足函数关系式，则这个点必在函数图像上。8、两直线的位置关系

若直线L1和L2的解析式分别为yk1xb1和yk2xb2，则它们的位置关系可由其系数确定：（1）当k1k2时，直线L1和L2相交（两直线有且只有一个交点）（2）当k1k2，且b1b2时，直线L1和L2平行（两直线没有交点）（3）当k1k2，且b1b2时，直线L1和L2重合（两直线有无数个交点）注意：在（1）中，可通过解方程组二、二次函数：

1、抛物线yax2bxc①关于x轴对称的图像的解析式为：yax2bxc②关于y轴对称的图像的解析式为：yax2bxc③关于原点对称的图像的解析式为：yax2bxc

抛物线yax2bxc的图像恒在x轴上方的条件是：a0,0，图像恒在x轴下方的条件是：

yk1xb1。求出交点坐标。

yk2xb2a0,0

a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a

当图像的开口向上时，函数有最小值；当图像的开口向下时，函数有最大值，其对应的数值可用

b4acb2,)，一般来说，抛物线顶点的纵顶点坐标公式来表示，二次函数的顶点坐标公式为(2a4a坐标就是函数的最大（或最小）值。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由

b24ac决定，Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ

＜0时，抛物线与x轴没有交点。如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设yax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设yax2k

5、abc的符号，看x1时，对应点的位置；abc的符号，看x1时，对应点的位置。

2yaxbxc(a0)与y轴的交点为（0，c）。6、抛物线

三、反比例函数：反比例函数解析式为yk反比例函数的图像为双曲线。从反比例函数的解析式可以得出，在x反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为k。

当K＞0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数（即y随x的增大而减小）当K＜0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数（即y随x的增大而增大）.对于双曲线ykk，若在分母上加减任意一个实数(即y（x±m）m为常数)，就相当于将双曲xx线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

注意：双曲线离原点越远k的绝对值越大；双曲线离原点越近k的绝对值越小

反比例函数与一次函数交点的坐标，就是两个函数解析式联立方程组的解，联

立后方程组可转化成一元二次方程，通过解方程求解，如果0，则两个图像没有交点，如果

0，则两个图像有两个交点。

反比例函数专项训练一、选择题：1.反比例函数y6的图象位于（）xA．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D．第一、二象限2.已知反比例函数

y=a(a≠0)的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数

xy=-ax+a的图象不经过（）．．．

Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限

3.已知反比例函数y=

2，下列结论中，不正确的是（）．．．xA．图象必经过点(1，2)B．y随x的增大而减少C．图象在第一、三象限内4.若反比例函数yA.-1

D．若x1，则y2

k1的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是()xB.3

C.0

D.-3

5.反比例函数yk(k＞0)的部分图象如图所示，A、B是图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴x于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2的大小关系为（）A．S1＞S2B。S1=S2C。S1＜S2D。无法确定

k26.对于反比例函数y(k0)，下列说法不正确的是()

xA.它的图象分布在第一、三象限B.点（k，k）在它的图象上C.它的图象是中心对称图形D.

y随x的增大而增大

7.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度

也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当V10m时，气体的密度是（）A．5kg/m3

AA

Oｘ

B

8题图8.如图,一次函数ｙ1=ｘ－1与反比例函数ｙ2=

的ｘ的取值范围是（）

A.ｘ＞2B.ｘ＞2或－1＜ｘ＜0C.－1＜ｘ＜2D.ｘ＞2或ｘ＜－19.函数y

3

B．2kg/m3C．100kg/m3

D，1kg/m3ｙ2的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2x1k的图象与直线yx没有交点，那么k的取值范围是()x

A、k1B、k1C、k1D、k110.若A(a，b)，B(a2，c)两点均在函数y

A．bc

B．bc

1

的图象上，且a0，则b与c的大小关系为（）x

D．无法判断

C．bc

二、填空题：

1.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3）则m的值为．2.如图：若点A在反比例函数y则k．

3.如图，在反比例函数y

O

123题图

k(k0)的图象上，AMx轴于点M，△AMO的面积为3，xy

yP1

2xP2

P3

P44

x32

（x0）的图象上，有点P2，，P2，P13，P4，它们的横坐标依次为1，x

3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为

S1，S2，S3，则S1S2S3．

4.如图，在平面直角坐标系中，函数y

k

，2)，B(m，n)，（x0，常数k0）的图象经过点A(1x

（m1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．若△ABC的面积为2，则点B的坐标为．

yA(1，2)

B(m，n)CxO

（4题图）

5题图5.两个反比例函数yykxy1xkk1和y在第一象限内的图象如图所示，点P在y的图象上，PC⊥xxxxk11轴于点C，交y的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y的图象于点B，当点P在y的

xxx图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是

6.如图，一次函数y1x2的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB2k3的中位线，PC的延长线交反比例函数y(k0)的图象于Q，SOQC，则k的值和Q点

x2的坐标分别为_________________________.

yyAOMQOBCPAxPN8题图

yx(6题图)O10题图

x7.在平面直角坐标系xoy中，直线yx向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数

yk

的图象的一个交点为A(a，2)，则k的值等于．x

8.如图，半径为5的⊙P与轴交于点M（0，－4），N（0，－10），函数y则k＝．

k(x0)的图像过点P，x1的图象上，则当x1、x2满足______时，y1＞y2.2x10.反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，它们的解析式可能分别

是（）．9.若A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数ykk,ykx2x(B)y,ykx2xxxkk22（C）y,ykxx（D）y,ykxx

xx（A）y三、解答题：

1.若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝

k的图象都经过点（1，1）．（1）求反比例函数的解析式；2x（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．

2.如图，一次函数ykxb的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OB5．且点B横坐标是点B纵坐标的2倍．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A横坐标为m，△ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

二次函数训练题

一、选择题(每题3分，共15分)1、抛物线yBOyAx

12x6x21的顶点坐标是（）2A（6,3）B（6,3）C(6,3)D（6,3）2、过（1,0）、（3,0）、（1,2）三点的抛物线的顶点是（）

A（1,2）B（1,142）C（1,5）D（2,）

333、在函数yx,y1,yx21,y(x1)2中，其图象是轴对称图形并且对称轴是坐标轴x的共有（）

A4个B3个C2个D1个

24、已知函数yaxb的图象经过第一、二、三象限，那么yaxbx1的图象大致为图中的

（）

5、无论m为任何实数，二次函数yx2(2m)xm的图象总过的点是（）A（1,3）B（1,0）C（1,3）D（1,0）二、填空题（每题3分。共15分）

6、若点P（1,a）和Q（1,b）都在抛物线yx21的上，则线段PQ的长是7、函数yax2ax3x1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为8、直线yx2与抛物线yx22x的交点坐标为

9、已知抛物线的对称轴是x1，它与x轴交点间的距离等于4，它在y轴上的截距是6，则它的解析式是10、一次函数y5xb与二次函数yx23x5的图象只有一个交点，则b的值为三、解答题（每题10分，共30分）

11、已知抛物线y2x23xm（m为常数）与x轴交于A、B两点，且线段AB的长为

求m的值；（2）若该抛物线的顶点为P，求ABP的面积

12、已知抛物线与x轴的交点坐标是A(1,0)，B（m,0），且经过第四象限内的点C（1,n），

而mn1,mn12，求此抛物线的解析式。

213、已知抛物线yaxbxc，其顶点在x轴上方，它与y轴交于点A及点B(6,0)，又已知

1，（1）2方程axbxc0的两根的平方和等于40，（1）求抛物线的解析式；（2）试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方，且使SPABSCAB。如果存在，求出P点坐标；如果不存在，说明理由。

8

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