大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳

大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳

1．（3分）若a1,3,2,b5,1,4,则ab

2.（3分）曲面

x2y2z214在点(1,2,3)处的法线方程为

yy2y0的通解为

为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表达式为

3.（3分）微分方程

4.（3分）设

f(x)是以2an(n0,1,2,),bn

(n1,2,).

1.（4分）级数

(1)n1n1n2为().

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定2.（4分）设曲面

x2y2R2与x2z2R2(R0)所围成的空间立体的体积为V,若该立体在第一卦限部分的体

积是

V1,则（）.

:V14:1(B)V:V16:1(C)V:V18:1(D)V:V116:1

(A)V3.（4分）二重积分

f(x,y)d在极坐标系下的面积元素为（）.

D(A)ddxdy(B)drdrd(C)ddrd(D)dr2sindrd

4.（4分）若可微函数

zf(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值，,则下列结论中正确的是().

(A)

数大于零(B)f(x0,y)在yy0处的导数等于零f(x0,y)在yy0处的导

导数小于零(D)f(x0,y)在yy0处的导数不存在f(x0,y)在yy0处的

(C)

1.（6分）设

f(x,y)exy(y21)arctanxy,求fx(x,1).

f(x,y)由方程ezxyz0所确定，求dz.

2.

（6分）设z1.（6分）计算二重积分

(xD2y2x)d,其中D是由直线y2,yx及y2x所围成的闭区域.

2.（6分）将函数

f(x)ln(2x)展开为麦克劳林级数.

3.（6分）在斜边边长为定数l的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.1.（6分）计算曲线积分

Lx2y2ds,其中L为x2y2a2(a0),yx及x轴在第一象限内所围成的扇形

的整个边界.

2.（6分）求曲面积分

Ixdydzydzdx(z22z)dxdy,其中为锥面zx2y2(z1)的下侧.

1.（6分）计算曲线积分

132(xy2y)dxxx3dy,其中c是由直线x1,yx,y2x所围成的三角形c的正向边界.

2.（6分）判别级数

11的敛散性.tannnn13.（6分）求幂级数

(1)n1n1(x1)nn的收敛半径和收敛区间.

1.（6分）求微分方程

yy4xex在初始条件yx00,yx01下的特解.

2.（6分）设曲线积分

[f(x)eLx]sinydxf(x)cosydy与路径无关,其中f(x)有一阶连续的导数,且

f(0)0,求f(x).

评分标准

一、1.

10;2.

x1y2z3;1233.

yC1exC2e2x.

4.an1f(x)cosnxdx,bnf(x)sinnxdx;;

1二、1C;2C;3B;4B.三、1解xf(x,1)e,

fx(x,1)ex.

z2

解方程两边求微分得edzyzdxxzdyxydz0,分3

dzyzdxxzdy3分ezxy四、1解画图1分

2y原式

dyy(x2y2x)dx2分02

2193y3y2dy2分024813.1分62

n1x2x3x4xnx)x(1)(1x解ln(1234n11),2分xxln(2x)ln21ln2ln11分22xxxx22xx2n2ln2(1)(11),

2234n122

分

234n1xx2x3x4xn1nln2(1)(2x2).234n12223242(n1)21分

3解设周长和两个直角边分别为z,则

x,y,

zxyl,l2x2y2.1分y)xyl(l2x2y2),1分作辅助函数为F(x,由拉格朗日乘数法，

Fx12x0,Fy12y0,2分222lxy.22解之得唯一可能的极值点2l,2l.由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点处取得，既当两个直角边分别为

22l,l，斜边为l时，周长最大.22

2分

五、1解画图1分原式=

OAx2y2dsABx2y2dsBOx2y2ds3分a2

422a0xdx0adt02x2dx1分

a2a2a2242

14a2.1分2解画图1分补充平面

21:z1(x2y1)取上侧.1分由高斯公式可得

I(z22z)dxdyydzdx(z22z)dxdy

xdydzydzdxxdydz11(112z2)dxdydz2分1dxdyx2y21211

0d0rdrr2zdz1分32.1分六、1解画图1分由格林公式得

[(x21)(x22)]dxdy3分D121112.2分2解由比较判别法的极限形式1分1tan1limnnn11,2分n24

而级数

12收敛,所以原级数收敛.3分n1n3解

lian1nma1,2分nR1,1分又当

x11时原级数收敛,当x11时原级数发散,

2分

所以原级数的收敛区间为(2,0].1分七、1解特征方程为r210,

特征值是r11,r21,1分所以齐此方程的通解为

yCx1eC2ex.1分因为

1是特征方程的单根，故可设特解为y*x(axb)ex,

1分利用待定系数法可得a1,b1,1分于是原方程的通解为

yC1exC2ex(x2x)ex.1分将初始条件代入上式得所求特解为

yexex(x2x)ex.

1分

2解由所给条件可知

[f(x)ex]cosyf(x)cosy,1分

即

f(x)f(x)ex.1分用常数变易法可得通解为

f(x)Cex1ex2,2分将初始条件代入上式得C12,1分所求函

f(x)1x12e2ex.数为5

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《高等数学》（下）期末考试2

一、填空题（共12分）

1．（3分）若a1,3,2,b5,1,4,则ab.2.（3分）曲面x2y2z214在点(1,2,3)处的法线方程为

.3.（3分）微分方程yy2y0的通解为.4.（3分）设f(x)是以2为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表达式为an(n0,1,2,),bn(n1,2,).二、选择题（共16分）1.（4分）级数(1)nn11为().n2(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定

2.（4分）设曲面x2y2R2与x2z2R2(R0)所围成的空间立体的体积为V,若该立体在第一卦限部分的体积是V1,则（）.

(A)V:V14:1(B)V:V16:1(C)V:V18:1(D)V:V116:13.（4分）二重积分f(x,y)d在极坐标系下的面积元素为（）.

D(A)ddxdy(B)drdrd(C)ddrd(D)dr2sindrd4.（4分）若可微函数zf(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值，,则下列结论中正确的是().(A)f(x0,y)在yy0处的导数大于零(B)f(x0,y)在yy0处的导数等于零(C)f(x0,y)在yy0处的导数小于零(D)f(x0,y)在yy0处的导数不存在三、计算题（共12分）

1.（6分）设f(x,y)exy(y21)arctanxy,求fx(x,1).2.（6分）设zf(x,y)由方程ezxyz0所确定，求dz.四、计算题（共18分）

1.（6分）计算二重积分(x2y2x)d,其中D是由直线y2,yx及

Dy2x所围成的闭区域.

2.（6分）将函数f(x)ln(2x)展开为麦克劳林级数.

3.（6分）在斜边边长为定数l的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.

五、计算题（共12分）1.（6分）计算曲线积分Lx2y2ds,其中L为x2y2a2(a0),yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

2.（6分）求曲面积分Ixdydzydzdx(z22z)dxdy,其中为锥面

zx2y2(z1)的下侧.

六、计算题（共18分）

1321.（6分）计算曲线积分(xy2y)dxxx3dy,其中c是由直线cx1,yx,y2x所围成的三角形的正向边界.

112.（6分）判别级数tan的敛散性.

nn1n3.（6分）求幂级数(1)n1n1(x1)n的收敛半径和收敛区间.n七、计算题（共12分）

1.（6分）求微分方程yy4xex在初始条件yx00,yx01下的

特解.

2.（6分）设曲线积分[f(x)ex]sinydxf(x)cosydy与路径无关,

L其中f(x)有一阶连续的导数,且f(0)0,求f(x).评分标准

一、1.10;2.

x1y2z3;1233.yC1exC2e2x.4.an1f(x)cosnxdx,bn1f(x)sinnxdx;;

二、1C;2C;3B;4B.

x三、1解f(x,1)e,2分

fx(x,1)ex.4分2解方程两边求微分得ezdzyzdxxzdyxydz0,3分dzyzdxxzdy3分zexy四、1解画图1分

原式20dyy(x2y2x)dx2分

2y

2193y3y2dy2分024813.1分62

x2x3x41x)x解ln(234x1(1)n1nn(1x1),2分

xxln(2x)ln21ln2ln11分

xxxx22xx2n2ln2(1)(11),

2234n122分

234n1xx2x3x4xn1nln2(1)(2x2).234n12223242(n1)21分

3解设周长和两个直角边分别为z,x,y,

则zxyl,l2x2y2.1分

作辅助函数为F(x,y)xyl(l2x2y2),1分由拉格朗日乘数法，

Fx12x0,Fy12y0,2分222lxy.22解之得唯一可能的极值点2l,2l.由问题本身的性质可知最大值一定存在，

并在该点处取得，既当两个直角边分别为

22l,l，斜边为l时，周长最大.222分

五、1解画图1分原式=

OAx2y2ds402ABx2y2ds2a2BOx2y2ds3分

a0xdxadt02x2dx1分

a2a2a221a2.1分42解画图1分

补充平面1:z1(x2y21)取上侧.1分由高斯公式可得

I1xdydzydzdx(z22z)dxdyxdydzydzdx(z22z)dxdy

1(112z2)dxdydzx2y211dxdy2分

20drdr2zdz1分

0r113.1分2六、1解画图1分由格林公式得

[(x21)(x22)]dxdy3分

D1111.2分222解由比较判别法的极限形式1分

11tann1,2分limnn1n2而级数

1收敛,所以原级数收敛.3分2n1n3解limnan1,2分1anR1,1分又当x11时原级数收敛,当x11时原级数发散,

2分所以原级数的收敛区间为(2,0].1分七、1解特征方程为r210,

特征值是r11,r21,1分所以齐此方程的通解为yC1exC2ex.1分因为1是特征方程的单根，故可设特解为y*x(axb)ex,1分

利用待定系数法可得a1,b1,1分

于是原方程的通解为yC1exC2ex(x2x)ex.1分将初始条件代入上式得所求特解为yexex(x2x)ex.

1分

2解由所给条件可知

[f(x)ex]cosyf(x)cosy,1分

即f(x)f(x)ex.1分

1用常数变易法可得通解为f(x)Cexex,2分

21将初始条件代入上式得C,1分

2所求函数为f(x)1x1xee.1分22

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