大一高数第一章复习总结及相关习题

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第一章函数与极限习题课

一、主要内容

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一）函数

1.函数的定义函数的分类

2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数

5.基本初等函数6.复合函数7.初等函数

8.双曲函数与反双曲函数（二）极限

1、极限的定义：\"N\"定义\"\"定义\"X\"定义单侧极限极限存在的条件2、无穷小与无穷大

无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限4、求极限的常用方法

a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；g.利用重要极限

5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限

(1)limsinx1x0x某过程limsin1;

1x(2)1xlim(1)exx1lim(1x)x0e

某过程

7、无穷小的比较

8、等价无穷小的替换性质

9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续

1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性

lim(1)e.2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类

3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性

4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题例当x1时,

242n求lim(1x)(1x)(1x)(1x).n解将分子、分母同乘以因子(1-x),则

n(1x)(1x)(1x2)(1x4)(1x2)原式limn1x

2242n(1x)(1x)(1x)(1x)limn1x

n22n2n11(1x)(1x)1xn1.(当x1时,limx20.)limlimnn1xn1x1x1例1tanxx3求lim().x01sinx111tanxtanxsinx33xx解原式lim[1(1)]lim[1]x0x01sinx1sinx

1tanxsinx1limsinx(1cosx)1limsinx1cosx1lim3x0x0xx2(1sinx)cosx211sinxx3x0(1sinx)cosxx

原式e2.p(x)x3例xx2p(x)lim1,求p(x).x0x

p(x)x32,解limxx2

可设p(x)x32x2axb(其中a,b为待定系数)

p(x)又lim1,

x0x32p(x)x2xaxb~x(x0)

从而得b0,a1.故p(x)x32x2x

x1,x1例6讨论f(x)的连续性.x

cos,x12将f(x)改写成解1x,x1xf(x)cos,1x12x1,x1

设p(x)是多项式,且lim2,显然f(x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.当x1时,

x1limf(x)lim(1x)2.x1x1x1x1limf(x)limf(x)coslimf(x)xlim1x20.故f(x)在x1间断.当x1时,x1limf(x)limcosx1x20.f(x)limf(x)limf(x)lim(x1)limx1x1x1x1

故f(x)在x1连续.f(x)在(,1)(1,)连续.

[0,1]上连续,且f(0)f(1),例设f(x)在闭区间1证明必有一点[0,1]使得f()f().211令F(x)f(x)f(x),则F(x)在[0,]上连续.证明22111F(0)f()f(0),F()f(1)f(),222讨论:1f(0)f(0);若F(0)0,则0,211111若F()0,则,f()f();222221若F(0)0,F()0,则2例证

即xn单调减，有下界

xn存在故由单调有界原理得limn1a设x10,证明xn1(xn)有极限(a0)2xn1ax(x)an1n显然xn02xn21aax1nxn1xn(xn)02xn2xn1a1aA(A)设limxnA，则A0在xn1(xn)两边取极限得n2A2xn解得Aa,Aa（舍去）12sinxxcos例求xlimx0(1cosx)ln(1x)

解sinx1xcos101xx原式limx0ln(1x)212(1cosx)x例求

令ux1则x1u解3n(1u1)(1u1)(1u1)由(1u)1~u得Ilimu0un1111uuu1

lim23n1nu0n!u

(x1)(3x1)(nx1)limx1(x1)n1xxxcoscos,(x0)例.求极限2nn222

xxxxcoscos2cosn2sinn

2222解原式limnx2sin

2n

xxxxcoscoscos2sinn1n12422limnx22sin2nx

nsinxsinx2limlimnnxxnsinx2sinnn22

limcossinxxxxc设lim例4，求cxxcxc2ccxx2c2c2c2climxc11limlim1xxcxc解一xxcxxc

e2c42c2ln2得cln2

x解二c1xxxceclime2climxcxxcexc1x

limnn1例证明n

n(n1)2n(n1)22nhn1hn证首先nn1记nn1hnn(1hn)1nhn2!2!

220hn

nlimhn0limnn1由夹逼定理知nn

xb例确定a,b的值，使f(x)有无穷(xa)(x1)

间断点x0,，有可去间断点x解因f(x)在x=0处为无穷间断，即limf(x)x0

xa1(xa)(x1)lim0limlimx0xbx0f(x)x0xb

又x=1为可去间断，故limf(x)存在例解

x1a0,b01blim(xb)lim[f(x)(xa)(x1)]limf(x)lim(xa)(x1)0x1x1x1x1b11f(x)sin2x12,求limf(x)x0x0e3x11f(x)sin2x1由lim23xx0e1而lim(e3x1)0lim(1f(x)sin2x1)已知limx0x0limx0x01f(x)sin2x13x(e1)201*xe1f(x)sin2x0lim1f(x)sin2x1limx0从而由等价无穷小的代换性质得

1f(x)sin2x1sin2x1f(x)sin2x12limf(x)2limlim3x3x02xx0x0e13xsin2xf(x)存在，且limf(x)6由lim1limx0x0x02xnn1例利用介值定理证明，当n为奇数时，方程a0xa1x至少有一实根

证令f(x)axnaxn1axa0,01n1n

an1anf(x)a1limlim(a)a000xxnxxxn1xn

故由函数极限的保号性质可知

an1xan0,(a00)又n是奇数，所以

x)nX00,使当|x|X0时f(n与a0同号，亦即，当|x|X0时，f(x)与a0x同号xf(2X0)f(2X0)0a(2X)n与a(2X)n异号0000

即a0xna1xn1an1xan0至少有一实根

和差化积积化和差

sinθ+sinφ=2sin*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαsinβ=*cos(α+β)-cos(α-β)+\/2sinθ-sinφ=2cos*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαcosβ=*cos(α+β)+cos(α-β)+\/2cosθ+cosφ=2cos*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαcosβ=*sin(α+β)+sin(α-β)+\/2cosθ-cosφ=-2sin*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαsinβ=*sin(α+β)-sin(α-β)+\/2

而f(x)在[2X0,2X0]上连续故由零点定理知(2X0,2X0)，使f()

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