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大一高数期末考试试题

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-28 17:57:30 | 移动端:大一高数期末考试试题

大一高数期末考试试题

高数试题

一.填空题(共5小题,每小题4分,共计20分)

11.

lim(ex)xx0x2.2.

11x1x201*exexdxetdtxx2

.3.设函数yy(x)由方程1xy确定,则

tf(t)dtf(x)f(0)1fx1.4.设可导,且,,

则fx.5.微分方程y4y4y0的通解

x0dydx为.

二.选择题(共4小题,每小题4分,共计16分)1.设常数k0,则函数

f(x)lnxxke在(0,)内零点的个数为().

(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2.微分方

程y4y3cos2x的特解形式为().

(A)yAcos2x;(B)yAxcos2x;

(C)yAxcos2xBxsin2x;(D)yAsin2x.3.下列结论不一定成立的是().

*fxdxfxdxc,da,bca(A)若,则必有;(B)若f(x)0在a,b上可fxdx0积,则;(C)若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

abdbaTafxdxfxdx0Ttftdtfx0;(D)若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4.设

xfx1e1x1x23e,则x0是f(x)的().

(A)连续点;(B)可去间断点;(C)

本页满分12分本页得分跳跃间断点;(D)无穷间断点.三.计算题(共5小题,每小题6分,共计30分)

1.计算定积分

20x3exdx

22.2.计算不定积分

xsinxdxcos5x.

xa(tsint),t2处的切线的方程.求摆线ya(1cost),在

F(x)cos(x2t)dt0x,求F(x).

5.设

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn,求n.

四.应用题(共3小题,每小题9分,共计27分)1.求由曲线y过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

x2与该曲线

222.设平面图形D由xy2x与yx所确定,试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.

设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最小?并求最小值.

五.证明题(7分)

t1f(0)=f(1)0,f()1,2设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且试证明至少存

在一点(0,1),使得f()=1.一.填空题(每小题4分,5题共20分):

11.

lim(ex)x0t2xx2e.2.112x01x1x201*exexdx4e.3.设函数yy(x)由方程

xxy1dyedtx确定,则dx12x2tf(t)dtf(x)f(0)1e1.4.设fx可导,且1,,

2x则fxe.5.微分方程y4y4y0的通解为y(C1C2x)e.二.选择

题(每小题4分,4题共16分):1.设常数k0,则函数内零点的个数为(B).

f(x)lnxxk(0,)e在

(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2.微分方程y4y3cos2x的特解形式为(C)

yAcos2xy(A);(B)Axcos2x;

(C)yAxcos2xBxsin2x;(D)yAsin2x3.下列结论不一定成立的是(A)

*(A)(A)若c,da,b,则必有

dcfxdxfxdxabb;

fxdx0a,bf(x)0a(B)(B)若在上可积,则;

(C)(C)若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

aTafxdxfxdx0T;

(D)(D)若可积函数fx为奇函数,则

x0tftdt也为奇函数.4.设

fx1e1x1x23e,则x0是f(x)的(C).

(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三.计算题(每小题6分,5题共30分):1.计算定积分02x3exdx2.

解:

设x2t,则20x3exdx21t12tedttdet0220-------2

2221tetetdt002-------2

2131xsinxe2ete2dx50222cosx--------22.计算不定积分.解:

xsinx111xdxdxxd()4cos5xcos4x4cos4x4cosx--------3x12(tanx1)dtanx44cosx4xa(tsint),x113tanxtanxC44cosx124-----------33.求摆线ya(1cost),在t(a(1),a)2处的切线的方程.解:切点为2-------2

kdyasintdxta(1cost)t21-------2yaxa(1)yx(2)a22.-------2切线方程为即

24.设

F(x)cos(x2t)dt0x,则F(x)2xcosx(2x1)cos(xx).5.设

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn,求n.

1nilnxnln1()ni1n---------2解:

n1i1limlnxnlimln(1)ln(1x)dx0nnnni1--------------2

=

xln(1x)10x01故

2ln21limxnen=

1dx2ln211x------------24e四.应用题(每小题9分,3题共27分)1.求

由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

解:

(x0,y0),则过原点的切线方程为设切点为

xy1x2x02,

(x0,y0)在切线上,带入切线方程,解得切点为x04,y02.-----3由于点

过原点和点(4,2)的切线方程为面积

y22-----------------------------3

s2022(y222y)dy=3-------------------3

2或

s201*2xdx(24122xx2)dx223

222.设平面图形D由xy2x与yx所确定,试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.

解:法一:VV1V2(11y)dy(2y)2dy012212101y12(y1)2dy-------6

01112(y1)32()043--------343法二:V=

102(2x)(2xx2x)dx010

------------------5

2(2x)2xx2dx2(2xx2)dx14(22x)2xx222xx2dx033241221(2xx)210433214122232323-------------4

3.设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最

t小?并求最小值.解:

由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna---------------3

又由t(a)lnlna10得唯一驻点aee2a(lna)------------3

当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.-----2

aee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)1lne11.ee--------------1

五.证明题(7分)

1f(0)=f(1)0,f()1,2设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且试证明至

少存在一点(0,1),使得f()=1.证明:设F(x)f(x)x,F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导,因f(0)=f(1)=0,

有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------2

1111111f()=11]F(=)(-)f=1-=,[,2222又由2,知2在2上F(x)用零点定

理,

11F(1)F()=-022根据,---------------在至少存在一点,使得1F(),=0(,1)(0,1)F(0)=F()=02,由ROLLE中值定理得至少存在一点

(0,)(0,1)使得F()=0即f()1=0,证毕.--------------3

可知

1(,1)2内

扩展阅读:大一高数期末考试题

电卓期末高数模拟考试

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有( ).

(A)f(0)2(B)f(0)1(C)f(0)0(D)f(x)不可导.

2.设(x)1x1x,(x)333x,则当x1时(  ).

(A)(x)与(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小;

(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.

3.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt,其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0,则().

(A)函数F(x)必在x0处取得极大值;(B)函数F(x)必在x0处取得极小值;

(C)函数F(x)在x0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点;(D)函数F(x)在x0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。4.

设f(x)是连续函数,且f(x)x210f(t)dt,则f(x)(x2x2(A)2(B)22(C)x1(D)x2.

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)25.lim(13x)sinxx0.

6.

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx.xdxlim2227.nn(cosncosncos2n1n).

12x2arcsinx1-11x2dx8.2.

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)

9.设函数yy(x)由方程

exysin(xy)1确定,求y(x)以及y(0).求110.x7x(1x7)dx.

设f(x)xxe,  x0 求11.2xx2,0x113f(x)dx.

)

1012.设函数f(x)连续,,且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax,A为常数.求

1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足

四、解答题(本大题10分)

14.已知上半平面内一曲线yy(x)(x0),过点(0,1),且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)

15.过坐标原点作曲线ylnx的切线,该切线与曲线ylnx及x轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)

16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减,证明对任意的q[0,1],

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17.设函数f(x)在0,上连续,且0xf(x)dx0,0f(x)cosxdx0.

证明:在0,内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.(提

F(x)示:设

0f(x)dx)

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

1cosx2 ()ce635..6.2x.7.2.8..

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9.解:方程两边求导

xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0,y(0)77x6dxdu10.解:ux  1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C7711.解:130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd 

4

12.解:由f(0)0,知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2

AAA22,g(x)在x0处连续。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnxdxx13.解:

yexdx2(exdx2lnxdxC)

11xlnxxCx293

111y(1)C,0yxlnxx399,

四、解答题(本大题10分)14.解:由已知且

将此方程关于x求导得y2yy

02特征方程:rr20

y2ydxyx

解出特征根:r11,r22.其通解为

yC1exC2e2x

代入初始条件y(0)y(0)1,得

21yexe2x33故所求曲线方程为:

五、解答题(本大题10分)

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015.解:(1)根据题意,先设切点为(x0,lnx0),切线方程:

1yxxe0e由于切线过原点,解出,从而切线方程为:

1则平面图形面积

A(eyey)dy01e12

(2)三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1,则

曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)

q1qqVV1V2(5e212e3)

116.证明:0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有:

q0

f(x)dxqf(x)dx00证毕。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0证:构造辅助函数:。其满足在[0,]上连续,在(0,)上可导。F(x)f(x),且F(0)F()0

0由题设,有

f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000,有0,由积分中值定理,存在(0,),使F()sin0即F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理,知存在

1(0,)和2(,),使F(1)0及F(2)0,即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0

高等数学I解答

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)

(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

x,x1.当xx0时,都是无穷小,则当xx0时(D)不一定是

无穷小.(A)(C)

xx

ln1(x)(x)

1xa22(B)xx

2(x)(D)(x)

sinxlimxasina2.极限(A)1

的值是(C).(B)e

(C)ecota(D)etana

sinxe2ax1x0f(x)xax0在x0处连续,则a=(D).3.

(C)e(D)1

f(ah)f(a2h)limf(x)h0h4.设在点xa处可导,那么(A).(A)3f(a)(B)2f(a)

1f(a)f(a)(C)(D)3(A)1

(B)0

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)ln(xa)lna1lim(a0)x5.极限x0的值是a.exyylnxcos2x确定函数y(x),则导函数y

y2sin2xyexyx.xyxelnx7.直线l过点M(1,2,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行,则直

x1y2z3111.线l的方程为

6.由

8.求函数y2xln(4x)的单调递增区间为(-,0)和(1,+).

三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)

2(1x)ex9.计算极限x0.

lim1x(1x)ee1ln(1x)xeelimelimx0x0xxx22解:x0|a|3|b|26|a10.已知:,,ab30,求b|。ab512cos,sin1cos21313abab72lim解:

x1x1ln(1x)1x

11.设f(x)在[a,b]上连续,且

xxF(x)(xt)f(t)dtax[a,b],试求出F(x)。

解:

F(x)xf(t)dttf(t)dtaa

xxF(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dtaaF(x)f(x)

cosxxdx.3sinx12.求

cosx12xdxxdsinx32解:sinx1111xsin2xsin2xdxxsin2xcotxC2222

四、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)

22dxxx2113.求

3.

令 1tx原式12321tdt11(2)dtt11t2

21t62xy1x2的极值与拐点.14.求函数

解:函数的定义域(-,+)

1232arcsint32124x(3x2)2(1x)(1x)yy2322(1x)(1x)

令y0得x=1,x=-1

12

y(1)0x=1是极大值点,y(1)0x=-1是极小值点

12

极大值y(1)1,极小值y(1)1

令y0得x3=0,x4=3,x5=-3x(-,-3)-(-3,0)+(0,3)-(3,+)+y33故拐点(-3,-2),(0,0)(3,2)

x3y24与y3xx所围成的平面图形的面积.15.求由曲线

x3解:3xx2, x312x4x20,4

x(x6)(x2)0,  x16, x20,  x32.

2x3x322S(3xx)dx(3xx)dx6404x432x3032x3x42(x)6(x)016232316

114524733

216.设抛物线y4x上有两点A(1,3),B(3,5),在弧AB上,求一点P(x,y)使ABP的面积最大.

0解:

AB连线方程:y2x10  AB45点P到AB的距离ABP的面积2xy15x22x35 (1x3)   S(x)1245x22x352(x22x3)

   S(x)4x4 当x1  S(x)0   S(x)40当x1时S(x)取得极大值也是最大值

此时y3  所求点为(1,3)

另解:由于ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x20,4x0),使f(x0)2x053

312, 解得x01,所求C点为(1,3)

六、证明题(本大题4分)

17.设x0,试证e2x(1x)1x.

证明:设f(x)e2x(1x)(1x),x0

f(x)e2x(12x)1,f(x)4xe2x,x0,f(x)0,因此f(x)在(0,+)内递减。

在(0,+)内,f(x)f(0)0,f(x)在(0,+)内递减,在(0,+)内,f(x)f(0),即e2x(1x)(1x)0亦即当x>0时,e2x(1x)1x。

高等数学IA

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)(本大题有4小题,每小题4分,共16分)18.函数

ln(x1)x1,x1f(x)tanx,0x12xsinx,x0的全体连续点的集合是()

(A)(-,+)(B)(-,1)(1,+)

(C)(-,0)(0,

+)

(D)(-,0)(0,1)(1,+)

x219.

设limx(1x1axb)0,则常数a,b的值所组成的数组(a,b)为((A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1)(D)(1,-1)20.

设在[0,1]上f(x)二阶可导且f(x)0,则()

(A)f(0)f(1)f(1)f(0)

(B)f(0)f(1)f(0)f(1)

)(C)f(1)f(0)f(1)f(0)

2

3(D)f(1)f(0)f(1)f(0)

42M2221.

则()

(A)M

二填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

sinxcos4xdx,N1x22(sinxcosx)dxP(x22sin3xcos4x)dx21.设x1d(xarctanx1)()

f(x)dxsinxc,f2.设则

(n)(x)dx()

x4yz52mn6p,与xoy平面,yoz平面都平行,3.直线方程

那么m,n,p的值各为()

4.

()

三解答题(本大题有3小题,每小题8分,共24分)

i1xlimnni2ein211lim22x0sinxx1.计算

12xcos,x0f(x)xx0试讨论f(x)的可导性,并在可导处求出f(x)x2.设

3.设函数yf(x)在(,)连续,在x0时二阶可导,且其导函数f(x)的图形如图

所示,给出

f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐点。

yxaObcd四解答题(本大题有4小题,每小题9分,共36分)1.求不定积分

e(x22dx)x1x

lnxdx2.计算定积分

1e3.已知直线

l2的平面方程。

l1:xyz1123l2:x1y2z3254,求过直线l1且平行于直线

812yax4.过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为5,确定

抛物线方程中的a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)

21.设F(x)(x1)f(x),其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)0,试证明存在

(12)使得F()0。

x2.

f(x)(tt2)sin2ntdt(x0)0(1)求f(x)的最大值点;

f(x)(2)证明:

1(2n2)(2n3)

一、单项选择题BDBC.

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

x1(4arctanx1)dxx15.dy2.

6.7.

nncos(x)dxsin(x)cf(x)dx22.m2,p6,n0.

(n)1(e1)28..

三、解答题(本大题有3小题,每小题8分,共24分)

11lim(22)9.(8分)计算极限x0sinxx.

11x2sin2xlim(22)lim22x0xsinx解:x0sinxx

xsinxxsinxlimx0x3x

1cosx12lim2x03x3

12xcos,x0f(x)xx0,试讨论f(x)的可导性,并在可导处求出x10.(8分)设

f(x).11x0,f(x)2xcossinxx;当x0,f(x)1解:当

1x2cos0x0xx0f"(0)lim0f"(0)lim1x0x0xx

11x02xcossinfxxxx01故f(x)在x=0处不可导。

11.(8分)设函数yf(x)在(,)连续,在x0时二阶可导,且其导函数

f(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐

点.yxaO

解:极大值点:xaxd极小值点:xb拐点(0,f(0)),(c,f(c))

bcd四解答题(本大题有4小题,每小题9分,共36分)

(x2)2dx212.(9分)求不定积分x(x1).

413()dx2x(x1)x1解:原式=

=

4lnx13lnx1cx1

13.(9分)计算定积分

1e1elnxdx.

e1解:原式=

lnxdx1e1elnxdx

exlnxx1xlnxx122e

xyz1x1y2z3l2:123,254,求过直线l1且平行于14.(9分)已知直线

直线l2的平面方程.n解:s1s2(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)

l1:取直线l1上一点M1(0,0,1)于是所求平面方程为7x2y(z1)0215.(9分)过原点的抛物线yax(a0)及y=0,x=1所围成的平面图形绕x

81轴一周的体积为5.求a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.

5222xV(ax)dxa50解:

110a25

a2由已知得

58125故a=9抛物线为:y9x

1绕y轴一周所成的旋转体体积:

V2x9x2dx180x441092

五综合题(每小题4分,共8分)

2F(x)(x1)f(x),16.(4分)设其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)0.

证明:存在(12)使得F()0。

证明:由f(x)在[1,2]上二阶可导,故F(x)在[1,2]二阶可导,因f(2)=0,故F(1)=F(2)=0

在[1,2]上用罗尔定理,至少有一点x0,(1x02)使F(x0)0

F(x)2(x1)f(x)(x1)2f(x)17.(4分).

得F(1)0

在[1,x0]上对F(x)用罗尔定理,至少有点(1x02)F()0

解:(1)x1为f(x)的最大值点。

f(x)(xx2)sin2nx,当0x1,f(x)(xx2)sin2nx0;当x1,f(x)(xx2)sin2nx0。f(1)为极大值,也为最大值。(2)

f(x)(tt2)sin2ntdtf(1)01100x

1(2n2)(2n3)

f(1)(tt2)sin2ntdt(tt2)t2ndt高等数学上B(07)解答

一、填空题:(共24分,每小题4分)

dy222ysin[sin(x)]1.,则dx2xcos[sin(x)]cosx。

adx1x22.已知,a=__1______。

e2lnxdx12e。3.ex4.ye过原点的切线方程为yex。x5.已知f(x)e,则396.a2,b2

32时,点(1,3)是曲线yaxbx的拐点。

f"(lnx)dxx=xc。

二、计算下列各题:(共36分,每小题6分)

cosx1.求y(sinx)的导数。解:y(e2.求解:cosxlnsinx)ecosxlnsinx(sinxlnsinxcotxcosx)

sinlnxdx。

sinlnxdxxsinlnxcoslnxdxxsinlnxxcoslnxsinlnxdx

1(xsinlnxxcoslnx)C2x5x21dx3.求。

解:

x51d(x21)5dxdxdx2222x1x1x1

22x15ln|xx1|C

xx0e,f(x)kx0在点x0处可导,则k为何值?x1,4.设

xkf(0)limlimxk1x0xx0解:

ex1f(0)lim1x0xk1

111lim()222222nn1n2nn。5.求极限

解:

111lim()222222nn1n2nnn1limnk1n2k2n11limnk1k2n12n

10dx1x=

2121ln(x1x)|0ln(12)

x2yz102xyz0xyz106.求过点(2,2,0)且与两直线和xyz0平行的平面

方程。

解:两直线的方向向量分别为s1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1),平面的法向量

n(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)。

平面方程为xyz0。

三、解答下列各题:(共28分,每小题7分)

xRcostd2y21.设yRsint,求dx。

dycott解:dx

d2y11(cott)t2RsintRsin3tdx02.求在[1,2]上的最大值和最小值。

解:F(x)x(x1)0,x0,x1

11F(0)0,F(1)t(t1)dt,061252F(1)t(t1)dt,F(2)t(t1)dt0063

25最大值为3,最小值为6。

223.设yy(x)由方程x(1y)ln(x2y)0确定,求y"(0)。

22解:方程x(1y)ln(x2y)0两边同时对x求导

F(x)t(t1)dtx

(1y2)2xyyx0,y2x2y0x22y

12代入上式

58

22yxy4.求由与x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

y"(0)解:

V(yy4)dy01

310

四、证明题:(共12分,每小题6分)

1.证明过双曲线xy1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明:双曲线xy1上任何一点(x,y)的切线方程为

Yy1(Xx)2x

1(0,y),(2x,0)x切线与x轴、y轴的交点为

1sx(y)2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为

2.设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续,证明:至少存在一点使得

bf()g(x)dxg()f(x)dxab

证明:令

F(x)g(x)dxf(x)dxxabx

F(a)F(b)0,由Rolle定理,存在一点[a,b],使F()0,即

f()g(x)dxg()f(x)dxa

高等数学上解答(07)

一、单项选择题(每小题4分,共16分)

|sinx|(x)是A。1.f(x)xcosxe(A)奇函数;(B)周期函数;(C)有界函数;(D)单调函数

22.当x0时,f(x)(1cosx)ln(12x)与B是同阶无穷小量。(A)x;(B)x;(C)x;(D)x

x2yz03.直线xy2z0与平面xyz1的位置关系是C。

(A)直线在平面内;(B)平行;(C)垂直;(D)相交但不垂直。

4.设有三非零向量a,b,c。若ab0,ac0,则bcA。(A)0;(B)-1;(C)1;(D)3

3452二、填空题(每小题4分,共16分)

1.曲线ylnx上一点P的切线经过原点(0,0),点P的坐标为(e,1)。

tanxx1lim2xx0x(e1)3。2.

y2e6xyx10确定隐函数yy(x),则y(0)0。3.方程

2yx、x1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为4.曲线

5。

三、解下列各题(每小题6分,共30分)1.已知(x)tsin2fxttlim(t),求f(x)。

tsin2f(x)lim(x)tesin2x解:tt

f(x)esin2xsin2x

2.求不定积分[ln(lnx)1lnx]dx。解:[ln(lnx)1lnx]dxln(lnx)dx1lnxdx

xln(lnx)11lnxdxlnxdx

xln(lnx)C

13.计算定积分1x2(sinx21x41x)dx。

1解:1x2(sinx1x41x2)dx11(x21x2)dx11x2sinx1x4dx11(x21x2)dx0

xsint220sin2tcos2tdt

8

1sin4.求不定积分x1cosxdx。

解:1sinx1cosxdx11cosxdxsinx1cosxdx1xdcosx2sec22dx1cosxxtan2ln|1cosx|C

5.已知f(lnx)x,且f(1)e1,求f(x)。

解:令lnxt,f(t)et

f(x)exCf(1)e1,f(x)ex1

四、(8分)设f(x)对任意x有f(x1)2f(x),且

f0)(12。求f)1(解:由f(x1)2f(x),f(1)2f(0)

f(1)limf(x)f(1)x1x1xt1f(t1)f(1)limt0t

。2f(t)2f(0)tt0

2f(0)1

22(x1)lnx(x1)x1五、(8分)证明:当时,。

lim证明:只需证明(x1)lnxx1。

令f(x)(x1)lnxx1

10x,f(x)在[1,)单调递增。

22f(1)0,当x1时,f(x)0。即(x1)lnx(x1)。

f(x)lnx六、(8分)

已知

F(x)(x2t2)f(t)dt0x2,f(x)连续,且当x0时,F(x)与x

为等价无穷小量。求f(0)。

F(x)lim21解:x0x

F(x)(x2t2)f(t)dtx2f(t)dtt2f(t)dt000xx00xxxx

F(x)2xf(t)dtx2f(x)x2f(x)2xf(t)dt2xf(t)dtF(x)0lim2lim2f(0)2x0x0xx

1f(0)2

七、(8分)

2设有曲线y4x(0x1)和直线yc(0c4)。记它们与y轴所围图形的面积为A1,它们与直线x1所围图形的面积为A2。问c为何值

时,可使AA1A2最小?并求出A的最小值。解:

AA1A2c04yydy(1)dyc22

A(c)c1

令A(c)c10,得c1。

A(1)1102,c1为最小值点。

4yydy(1)dy10212

八、设f(x)在(a,b)内的点x0处取得最大值,且|f(x)|K(axb)。

minA证明:|f(a)||f(b)|K(ba)

证明:f(x0)在[a,x0]对f(x)应用拉格朗日定理

f(x0)f(a)f(1)(x0a)(a1x0)f(a)f(1)(ax0),|f(a)|K(x0a)

在[x0,b]对f(x)应用拉格朗日定理

f(b)f(x0)f(2)(bx0)(x02b)

f(b)f(2)(bx0),|f(b)|K(bx0)

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)(本大题分5小题,每小题2分,共10分)

1、

ex1设Ixdx,则Ie1(A) ln(ex1)c  (B) ln(ex1)c;(C) 2ln(ex1)xc;(D) x2ln(ex1)c.2、

答()

nlimeee1n2nn1ne(A)1 (B)e (C)e (D)e23、

          答(  )

1的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)(  )(式中01)1x(1)n1n1n1(A) x   (B) x(n1)(1x)n1(n1)(1x)n1f(x)(1)n1n1(C) x     (D)  xn1n2n2(1x)(1x)                     答 (  )4、

设f(x)在x0的某邻域内连续,且f(0)0,limf(x)2,则点x0x01cosx(A) 是f(x)的极大值点     (B) 是f(x)的极小值点(C) 不是f(x)的驻点      (D) 是f(x)的驻点但不是极值点                           答 (  )

5、

曲线yx22x4上点M0(0,4)处的切线M0T与曲线y22(x1)所围成的平面图形的面积A214913(A)    (B)   (C)   (D) 49412

答()

二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题,每小题3分,共15分)

1设 yln1tan(x),则y____x1、

2、

用切线法求方程x32x25x10在(1,0)内的近似根时,选x0并相应求得下一个近似值x1则x0,x1分别为__________________

x1y1z12与x1y1z相交于一点,3、设空间两直线1则。

sinxe2ax1,当x0f(x),在x0处连续,则a___________.xa     ,当x04、

5、0三、解答下列各题(本大题4分)

bxdx_________________,其中b是实数.

设平面与两个向量a3ij和bij4k平行,证明:向量c2i6jk与平面垂直。

四、解答下列各题(本大题8分)

讨论积分10五、解答下列各题(本大题11分)

dx的敛散性.px

dxxn导出计算积分In六、解答下列各题

(本大题4分)

x12的递推公式,其中n为自然数。

x2yz50l1:z100求过P0(4,2,3)与平面:xyz100平行且与直线垂

直的直线方程。

七、解答下列各题(本大题6分)

计算极限lim八、解答下列各题(本大题7分)

e1x01xsinxcos2xxtanx

e试求In(lnx)dx的递推公式(n为自然数),并计算积分(lnx)3dx.1n九、解答下列各题

(本大题8分)十、解答下列各题(本大题5分)

设f(x)在(a,b)内可微,但无界,试证明f(x)在(a,b)内无界。设lim(x)u0,limf(u)f(u0),证明:limf(x)f(u0)xx0uu0xx0。

十一、解答下列各题(本大题4分)十二、解答下列各题(本大题5分)

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高

124,cos135,求A,B重量为p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上,如图。设所受的拉力f1,f2。

cosAOBp十三、解答下列各题

(本大题6分)

  一质点,沿抛物线yx(10x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为xtt(t的单位是秒,x的单位是米),求该质点的纵坐标在点M(8,6)处的变化速率.十四、解答下列各题(本大题7分)

设曲线xy,x2y2及y0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;

、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)(本大题分5小题,每小题2分,共10分)

1、C2、答:B3、C10分4、(B)5、C

二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题,每小题3分,共15分)

(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

112)sec(x)2xx12(1tan(x))x1、

(1

2、x00

10分5分10分

x153、4

4、-1

b22,b00 ,b0b25、2,b0

三、解答下列各题

(本大题4分)

ijknab310{4,12,2}平面法向量114nn2与cc平行从而平面与c

垂直。

四、解答下列各题(本大题8分)

  当p1时,1dx10xplimdx0xplim(101p11xp1)  lim101p(11p1)1,1pp1,p1当p1时,1dx1dx0xp0xlim0lnx1

1dx0xp当p1时收敛,当p1时发散.五、解答下列各题(本大题11分)

解:法一In1xn1dx21

2

x1xn1(n1)x21xn2dx

4分8分10分10分

5分

7分10分

3分

x211x2xn1(n1)xn2x21dxx21xn1(n1)1dxxn2x21dx(n1)xnx21

x21xn1(n1)In2(n1)In

故In2x21(n1)xn1nn1In

1x2                I11lnxxcIx21(n1)xn12nn1In2(n2) I0ln1x2nxc法二令xtant  dxsec2tdtIsec2tdtsectntanntsecttanntdt

dsecttann1tsectsec3ttann1t(n1)tann2tdtsectsec3tann1t(n1)ttann2tdt(n1)secttanntdt x21xn1(n1)(In2In)In2nn1Ix21n(n1)xn1Ix212nn(n1)xn1n1In2(n2)

ln1x2I11

xxc

I0ln1x2xc.

六、解答下列各题(本大题4分)

的法向量为n{111,,}7分

10分3分

5分

7分

10分

ijkS1121{2,1,0}l1的方向向量为

001

3分所求直线方向向量为

SnS1{1,2,3}

7分

从而所求直线方程为

x4y2z123310分

七、解答下列各题(本大题6分)

原式lim1xsinxcos22xx0xtanx(1xsinxcos2x)

1xsinxsin222lim(x0xtanxxxtanx)12(14)52

八、解答下列各题

(本大题7分)

Ine1(lnx)ndx xlnnxene11(lnx)n1dx

enIn1

于是 I)e(1)nn!enenen(n1dx

1

enen(n1)e(1)n1n(n1)2e(1)nn!(e1)

所以 e1(lnx)3dxe3e6e6(e1)   62e九、解答下列各题(本大题8分)

证明:反证设f(x)在(a,b)内有界,即M0则x(a,b)有f(x)M

取x0(a,b)则对x(a,b),xx0在以x0与x为端点的区间上f(x)满足拉格朗日中值定理的条件,则至少存在介于x0与x之间,使  f(x)f(x0)f()(xx0)

即f(x)f(x0)f()(ba)   f(x0)M(ba)记为K

3分7分10分4分

7分

10分2分

5分

8分

即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾,故假设不正确,即f(x)在(a,b)内无界.

十、解答下列各题(本大题5分)

由ulimuf(u)f(u0)0任给0,存在0

使当uu0时,恒有f(u)f(u0)又limxx(x)u0,取1,存在00使当0xx0时,(x)u0故当0xx0时,就有f(x)f(u0)成立因此limxxf(x)f(u0)0

十一、解答下列各题(本大题4分)

设内接圆柱体的高为h,则圆柱体的底面半径rR2(h2)2h(R2h2其体积为   V4)  0h2R

   V(R234h2)唯一驻点 h233R  V32h0

故h233R时,圆柱体体积最大

十二、解答下列各题

(本大题5分)

按点O受力平衡,应有

12413f15f2p(4分)f1cosf2cosp5ff(8分)1sinf2sin0,即13135f20

解得f3956p,f251256p

(10分)

十三、解答下列各题

(本大题6分)

当 x8时,t4

10分

4分

8分

10分

4分

8分10分

2分3dxt23(米/秒)2dtt4t4

14分

dydx(102x)x8dtdtx(t)3

答:质点的纵坐标在M(8,16)处的变化率为18(米/秒)

十四、解答下列各题(本大题7分)

18(米/秒)10分

解:(1)   x120y x2y2 交点(11,).21   Sxdx2x2dx21xx   (2x2arcsin)3221

3分

1132241,461201*分

8分

(2) Vxx4dx(2x2)dx54222().315

2(21)3(221)10分

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1、

lim(1cosx)2secx(  )x2、

14             答(  )A.e2  B.e2  C.4  D.  设f(x),g(x)在x0的某去心邻域内可导,g(x)0且limf(x)limg(x)0,xx0xx0则(I)limxx0f(x)f(x)A与(Ⅱ)limA关系是:xx0g(x)g(x)(A) (Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B) (Ⅰ)是(Ⅱ)的必要但非充分条件(C) (Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D) (Ⅰ)不是(Ⅱ)的充分条件,也不是必要条件                   答( )3、

设f(x)在a,b连续,F(x)f(x)dt (axb),则F(x)是f(x)的ax (A).原函数一般表示式        (B).一个原函数 (C).在a,b上的积分与一个常数之差 (D).在a,b上的定积分4、

                        答(  )

x若已知x0时,F(x)(x2t2)f(t)dt的导数与x2是等价无穷小,则f(0)01(A)1   (B) 2(C) 1 (D) 12                答(  )二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1x_______1、yxe的铅直渐近线是__________2

tan2、3

2xdx__________.

设f(x)为以T为周期的连续周期函数,则f(x)在a,aT(a0)上的定积分与f(x)在0,T上的定积分的大小关系是______________

xy2z7354、直线1与平面3xy9z170的交点为

三、解答下列各题

(本大题共2小题,总计12分)1、(本小题6分)2、(本小题6分)

写出f(x)ln(1x)x1带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.

x2y2z216指出锥面4被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题,总计24分)1、(本小题1分)求 xdx.2、(本小题2分)

40

计算(xx)dx.3、(本小题5分)

求求44、(本小题5分)

lnxdx.x1lnx

.x(1x)

tanx2dx15、(本小题11分)

设 y(x)(2x)五、解答下列各题

(本大题共2小题,总计14分)1、(本小题7分)

01,(x1)求dy.2

试证:F(t)ln(t22tcosx1)dx为偶函数.2、(本小题7分)

试证:对角线向量是A3,4,1,B2,3,6的平行四边形是菱形,并计算其边长。

六、解答下列各题

(本大题共3小题,总计20分)1、(本小题6分)2、(本小题6分)

在抛物线yx2找出到直线3xk4y2的距离为最短的点

设曲线的方程为yf(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y6x,且在曲线上的(0,2)点处的曲线的切线的方程为2x3y6,求此曲线的方程.3、(本小题8分)

经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格,消费者剩余定义为需求曲线与直线pp0间的面积(右图区域),生产者剩余定义为供曲线与直线pp0间的面积(右图区域).已知需求曲线方程p(x)10000.4x2,供给曲线方程为p(x)42x.求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题

(本大题共2小题,总计6分)1、(本小题1分)

设f(x)在xx0处连续,g(x)在x0处不连续,2、(本小题5分)

xx0试判定F(x)f(x)g(x)在x0处的连续性.

xx0xx0

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1、D10分2、答 (B)3、B4、B

二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1、x0

2、tanxxc.3、=4、(2,4,3)三、解答下列各题

(本大题共2小题,总计12分)1、(本小题6分)

10分10分10分

若limf(x),limg(x)A,试判定limf(x)g(x)是否为无穷大?10分

x2x3xnf(x)xRn(x)23n11n1Rn(x)x,介于0与x之间n1n1(1)

2、(本小题6分)

2x2y02z416yy0用yy0所截得的曲线为故y00时为一对相交直线

7分10分

4分

y00时为双曲线10分

四、解答下列各题

(本大题共5小题,总计24分)1、(本小题1分)

23xdxx2c.3

310分

2、(本小题2分)

x2224原式(x)023403

7分10分3、(本小题5分)

lnxx1lnxdx

lnx1lnxd(lnx)

1lnxd(1lnx)d(1lnx)1lnx

23(1lnx)3221lnxc.

4、(本小题5分)

令 xt

原式22t1t2(1t)dt

22111(tt1)dt2lntln(t1)2

1

2ln435、(本小题11分)

dyy(x)dx

 (2x)tan2x2sec2x1x2ln(2x)2xtan2dx

五、解答下列各题

(本大题共2小题,总计14分)1、(本小题7分)

F(t)0ln(t22tcosx1)dx令 xu

F(t)0ln(t22tcosu1)du

0lnt(22tcosx1)dx

F(t)

2、(本小题7分)

因为AB32(4)3(1)(6)0,故AB

因此这个平行四边形的对角线是垂直的,于是它是菱形。(6分)边长=05.|A|205.|B|2

21232(4)2(1)212232(621/22

1/22)3分7分10分

4分6分8分10分2分

10分

2分

6分8分10分

523

(10分)

六、解答下列各题

(本大题共3小题,总计20分)1、(本小题6分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为d3x4x2291615(4x23x2)

d15(8x3)唯一驻点 x38d850

故当x38时,d最小即点38,964到直线3x4y20的距离最短

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

yydx3x2c      (1)又由2x3y6得y23x2y(0,2)23   代入(1)得

y3x223

y(3x22)dxx3233xc

再将(0,2)代入得c2,yx323x2.

3、(本小题8分)

p10000.4x2p42x,解出x20.均衡点p840.

消费者剩余200(10000.4x2)840dx    2133.33生产者剩余201*4042xdx

8400

4分

8分10分3分

5分

10分3分

6分

10分

七、解答下列各题

(本大题共2小题,总计6分)1、(本小题1分)

F(x)f(x)g(x)在x0处必不连续

若F(x)在x0处连续,则g(x)F(x)f(x)在x0处也连续,矛盾!

2、(本小题5分)

答:不一定.若A0,lim1xxx)1g(x)00f(

limxxf(x)g(x)0但若A0则等式可能不成立

例如lim1x1x1,xlimx(x1)201

但lim1(x1)2x1x10

b1、极限limx0(1xa)x  (a0,b0)的值为

b(A)1. (B)lnba (C)ea. (D)bea              答(  )2、

3lim(x01cosx)cosxA.e3  B.8  C.1  D.               答(  )3、

  设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)f(b)(Ⅱ)在(a,b)内f(x)0则:(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件                    答 ( )4、

4分

10分

4分6分

10分

若x0,f(x0)为连续曲线,yf(x)上的凹弧与凸弧分界点,则(  )(A) (x0,f(x0))必为曲线的拐点(B) (x0,f(x0))必定为曲线的驻点(C) x0为f(x)的极值点(D) x0必定不是f(x)的极值点                    答(  )5、

一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度r为杆上一点到O点的距离,角速度为,则总动能1,r

二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分3小题,每小题3分,共9分)

1111(A) 2L2  (B) 2L2  (C) 2L2  (D) 2L22345

答()

(3x1、2、

23)dxx0_______________.

设f(x)t(t1)dt,则f(x)的单调减少的区间是__________3、对于的值,讨论级数n1(1)当时,级数收敛(2)当时,级数发散三、解答下列各题

(本大题共3小题,总计13分)1、(本小题4分)2、(本小题4分)

级数

(nn1)

验证f(x)x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性

nn12n1是否收敛,是否绝对收敛?3、(本小题5分)

1n1010n

3x,22时,fxx。设fx是以2为周期的函数,当又设Sx是fx的

以2为周期的Fourier级数之和函数。试写出Sx在,内的表达式。

四、解答下列各题

(本大题共5小题,总计23分)1、(本小题2分)

2、(本小题2分)3、(本小题4分)

x312x16求极限 lim3x22x9x212x4

求(ex1)3exdx.求214、(本小题7分)

5、(本小题8分)

x21dx.x

求xdx.试将函数

五、解答下列各题(本大题5分)

y1x2在点x00处展开成泰勒级数。

如果幂级数n0在x2处条件收敛,那么该级数的收敛半径是多少试证之.六、解答下列各题

(本大题共2小题,总计16分)1、(本小题7分)

anxn如图要围成三间长都为y,宽都为x的长方形屋围,其墙的总长度为a,问x,y各等于多少时,所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题9分)七、解答下列各题(本大题6分)

求由曲线ye2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

八、解答下列各题(本大题6分)

xchx,x0,设 f(x),试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f(x)ln(1x),x0

计算limx0九、解答下列各题

(本大题12分)

b(ab)dt,(a0,b.0).ln(1t)dt

02x0tt设函数f(x)在a,b上有连续导数(a0),又设xrcos,f(x)rsin.试证明:2f(x)dxr2()dbf(b)af(a),a其中arctan

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中)

f(a)f(b),arctan.ab(本大题分5小题,每小题2分,共10分)

1、答:C2、B

3、答  (B)4、(A)5、

C因dE12(dm)v2  121rdr(r)2  122rdr EL1022rdr 12L24二、填空题(将正确答案填在横线上)

(本大题分3小题,每小题3分,共9分)

x9x3971、275x5x7c.

2、

(0,1) (答0,1不扣分)

3、1时收敛

1时发散

三、解答下列各题

(本大题共3小题,总计13分)1、(本小题4分)

证明:f(x)x2在[2,3]上连续,在(2,3)可导即f(x)在[2,3]上满足拉格朗日中值定理的条件

又f"(x)2x令f"()2f(4)f(2)426

得到(2,3)内有解3即存在3,使f"()f(4)f(2)42

这就验证了拉格朗日中值定理对函数f(x)x2在[2,3]上的正确性

2、(本小题4分)

u1nn1n10n10n2记

10n10n

10分10分10分

10分10分

4分

8分

10分……6分

故原级数绝对收敛,从而收敛……10分3、(本小题5分)对

un1110由于unnfxx,2x32作周期为2的延拓,fx在,内

的表达式为

x2,x,fx2x,x0,x,02x,fx满足Fourier级数收敛的充分条件。故

x2,x2,Sx,xx,2,x0x,02,x,分)

注:只要写出Sx的表达式即可得10分。四、解答下列各题

(本大题共5小题,总计23分)1、(本小题2分)

解:原式lim3x212x26x218x12

   lim6xx212x18

   2

2、(本小题2分)

(ex1)3exdx

(ex1)3d(ex1)

14(ex1)4c.

3、(本小题4分)

令 xsect

原式30tan2tdt(3分)

(5分)

(10

5分8分10分5分10分4分

3

0(se2ct1)dt(tantt)30

334、(本小题7分)

x2c1  xxdx20,2x2c2 x0.

由原函数的连续性,得x2x2xlimo(2c1)xlimo(2c2)  c1c2  令c1c2c

x2c, xxdx20,xx2x2c, x02c.

5、(本小题8分)

因为

1x21x1x1x101xx0

x0……3分

1n1xnx1,1而1xn0……5分

1n1nx0,2x0所以

x1xxxn00n0x0

1n1nxxn10x21xn1x0,2x0

n00……10

五、解答下列各题(本大题5分)

由题意,知:

x2时,级数绝对收敛;……4分当

x2时,级数不可能收敛.……8分故收敛半径是2.……10分六、解答下列各题

6分8分10分

5分

10分(本大题共2小题,总计16分)1、(本小题7分)

如图 4y6xa  ya432x总面积为A3xy3x(a342x)dA3adx49x  当xa12时,dAdx0  d2Adx290

故当xa12时,A取得唯一极大值也是最大值

此时  ya3a4a2128故当xa12,ya8时,所求总面积最大

2、(本小题9分)

解:y2e2x.  设切点(t0,e2t0),切线y2e2t0x,  ye2t0,1y2e2t  t0t002切线y2ex,   切点(12,e)

1s2e2xdx1122e

12e2x12114e4e.七、解答下列各题

(本大题6分)

f(0)1,f(00)xlim00ln(1x)0f(00)xlim00coshx1f(x)在x0处不连续,故不可导sinhx,xf(x)0,11x,x0,

八、解答下列各题

(本大题6分)

limaxbx原式x02ln(12x)

3分6分8分

10分3分6分8分10分3分5分

10分5分

axlnabxlnblimx0412x

1aln4b

九、解答下列各题(本大题12分)

10分

因为r2x2f2(x),arctanbf(x)xf(x)f(x),ddx22xxf(x)

4分6分

于是 r2()dxf(x)f(x)dxaxf(x)dxf(x)dxaabb

baxf(x)baf(x)dxf(x)dxab8分

bf(b)af(a)2f(x)dxabb

10分

所以 2f(x)dxr2()dbf(b)af(a)a一、一、填空

1.

cosx,x0x2f(x)(a0)aax,x0x1.设当a=时,

x=0是f(x)的连续点。

解:

aax1x0x2a故a1时x0是连续点,a1时x0是间断点。

dy设方程xyarctany0确定了yy(x),求dx=。2.

y1y21y0y221yy解:1acos2xbcos4xlimx43.x0=A,则a=,b=,A=。

解:要使极限存在,分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小,于是有1+a+b=0,用一次罗必达法则分子仍为无穷小,有a+4b=0解出:a=-4/3b=1/3代入求得极限A=8/3

f(0)limlimx4.函数yx2的极小值点为。

1xxx2y21xln2y2(2ln2x(ln2))在驻点处y’’>0,故ln2解:驻点,驻点为极小值点。

12cosx1x0x5.设f(x)=xlnx在x0处可导,且f’(x0)=2,则f(x0)=。解:f(x)lnx1,由f(x0)2知x0e,于是有f(x0)e.

6.设limx0fxf01,x2则f(x)在x=0取得(填极大值或极小值)。

解:

limfxf0fxf0=-1,由极限的保号性有0,有fxf0022x0xx即在x0的某邻域内有fxf0,由极值定义知x0是极大值点。 二、

1x1x0函数f(x)x0,x0是否连续?是否可导?并求f(x)的导函数。解:当x>0及xd2ydx2x2。

y1sint11yt0切线方程:y1x21cost22sin0cos011yx241cos03

x2时y1,t0ysintcost1解:

四、四、试确定a,b,c的值,使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点,且在

x=0处有极大值为1,并求此函数的极小值。解:

y3x22axb,y00b0,y(0)1,c1.y6x2a,y(1)62a0,a3.yx33x21,y3x26x3x(x2)y0时,驻点:  x10,x22,y060.极小值y(2)3。

1cost3五、五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数,求有最大面积的直角三角

形。

解:设所给直角边为x,斜边与其之和为L,则

1x2xLxx2L22Lx22LL3x12xsL2Lx22L2Lx2L22LxL令s0x这是唯一驻点,且最大值存在,故3L2Ls为最大面积,此时x边与斜边夹角为3363六、六、证明不等式:,e.slnx1lnx则f(x)0(xe)xx2ln()ln()f(x)在(a,)上单减,f()f(),  即 证:令f(x)ln()ln()lnln.

2limnf.nn七、七、y=f(x)与y=sin(x)在原点相切,求极限

解:f(0)sin(0)0.f(0)sinxx0cos01,当x0时f(x)与x是等价无穷小,2f2/n2  limnflim2nnn2/n八、

证明:(1)至少有一点ξ∈(1/2,1),使得f(ξ)=ξ;

八、设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.(2)R,存在(0,),使得f’()-[f()-]=1证:(1)令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续,在(0,1)可导,F(1/2)=f(1/2)-1/2>0

F(1)=f(1)-1=0-1解:

x0limxlimex0xxlnxex0limxlnxelnxx01xlim1limxx01ex21

d2y|xy2x0eexy0yy(x)dx2.函数由方程确定,求。

exeyxy0exeyyyxy0xyy2解:eeyeyyyxy0

d2y|22x0x0,y0y1dx又,,得。

3.求定积分

11221x2dx2x。

xst1x22222dxcottdt(csct1)dt122x24444.求过点(3,1,2)且与平面x2z1和y3z2平行的直线方程。

ijs10k2(2,3,1)x3y1z223,。

解:

0131sinx,0xf(x)2x(x)f(t)dt0,其它05.设,求。

解:x0,

(x)f(t)dt00xx

1x1(x)f(t)dtsintdt(1cosx)02020x,xx1(x)f(t)dtsintdt0dt10x,20

四、(7分)长为l的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问

这两段铁丝各为多长时,正方形的面积与圆的面积之和最小?

解:设正方形的边长为x,则正方形的面积与圆的面积之和为

(l4x2)S(x)x4。l4xl4l4lS(x)2x20x,l4。所以两段铁丝分别为44时,正方,

形的面积与圆的面积之和最小。

2五、解答下列各题(每小题4分,共12分)

221.设曲线y1x(0x1),x轴以及y轴所围区域被曲线yax(a0)分成面积相等的两部分,求a。解:由

1a10(1xax)dx221a10axdx211a1(1x2)dx,a3

x2xf(t)dt102.设函数f(x)在[0,1]上连续,且0f(x)1。判断方程在

(0,1)内有几个实根?并证明你的结论。

解:

F(F(x)02x01xf(t)dt1,F(x)在

[0,1]上连续,

d1x()0,所以F(x)在(0,1)内有一个零点。又

F(x)2f(x)2110,F(x)在[0,1]上是单调递增的,所以F(x)在(0,1)内有唯一零点,即

0)F1,(f1)x2xf(t)dt10x在(0,1)内有唯一实根。

120f(1)2xf(x)dx03、设函数f(x)在[0,1]上可导,且,求证在(0,1)内至少存

f()f()。在一点,使得

f(1)2解:F(x)xf(x),F(x)在[0,1]上可导。由

1f(1)2cf(c)02使得,即f(1)cf(c)。由Roll定理,存在(c,1)(0,1),使

f()f()。得F()0,即

1201c[0,]xf(x)dx02,,存在

高等数学第一学期半期试题解答(05)

一.1.

一.(共20分)试解下列各题:

x1x1x1x1,(x1)求dy设yy12。

11x1x1dx2x12x1

dydx。

解:2.

x1x12dy设方程xyarctany0确定了yy(x),求1y2yy2

x3ax2x4A.。则a=4,A=-63.设limx1x114.函数yx2x的极小值点。

ln2xcosx2,x05.设f(x)aax(a0)

,x0xy1y021y解:aax1x0x2a

故a1时x0是连续点,a1时x0是间断点。解:f(0)limlim12cosx1x0x22二.二.(10分)若yf(x)是奇函数且x=0在可导,

是什么类型的间断点?说明理由。

解:由f(x)是奇函数,且在x0可导,知f(x)在x0点连续,f(0)f(0)故f(0)0f(x)f0limF(x)limf0存在,故为第一类间断点可去。x0x0x0三.三.(共20分)求下列极限

F(x)f(x)x在x=0

1

1x.

1xxlimx21(3x31x1x2)1x;解

11:原式=

332ln333limlimxx211xx2ln32limln3(3x3x)ln32x

2.x0lim(12x)x22x112x2x2ln12x;解:原式=x0lim2x4x12x224

xt2sintd2y设曲线方程为ytcost,求此曲线在x=2的点处的切线方程,及dx2。3.

1sint11解:x2时y1,t0yyt0切线方程:y1x21cost22

sintcost1y1cost322(x1)lnxx1x0四.四.(10分)证明:当时,。

11x1证明:当x1时,令f(x)lnx在[1,x]上用拉氏中值定理有lnxx1x11x1同乘以x21有x21lnxx12其中1x即lnxx1111x当0x1时,令f(x)lnx在[x,1]上用拉氏中值定理有lnx1xx11x1同乘以x21有x21lnxx12其中x1即lnxx1当x1时等式成立。x2五.五.(10分)求内接于椭圆a三角形之面积的最大值。解:

2y2b21,且底边与x轴平行的等腰设底边方程为:ytbt0,t22a三角形面积Abt2a12bb设zbtb2t222bt2b2t22z2btbt2z的最大值点也是A的最大值点。2tbt2btb2t2令z0得tb(舍去)tb2bbzb20即t为唯一极大值点,2233ab4亦即为所求面积之最大值点。最大值为A

nn1x2x1在(0,1)上必有六.(10分)证明:方程xxlimxn唯一的实根xn(n>2),并求n。证:

六.

设f(x)xnxn1x2x1其在[0,1]上连续。f(0)1,f(1)n1由n2知函数在端点异号。由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点(0,1)使f()0.又fnxn12x10知函数f(x)单调增加,故在(0,1)上有唯一实根。由xnxnxn1n1nn1xnxn1n22xn1xn1xn115151因此0xn1故由极限存在准则知其有极限,设极限22nxn1xnx1由方程有1两边n取极限01解出x01xn1x021acos2xbcos4x七.七.(10分)确定常数a、b,使极限lim存在,

x0x4并求出其值。

解:要使极限存在,分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小,于是有1+a+b=0,用一次罗必达法则分子仍为无穷小,有a+4b=0解出:a=-4/3b=1/3代入求得极限为8/3

八.八.(10分)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,且f(a)=f(b)=0,

证明:对R,ca,b,使得fcfc。

证明:构造函数F(x)=e-xf(x)则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微F(a)=F(b)=0由罗尔定理R,ca,b,使得Fc0,而Fxexfxexfx即有R,ca,b,使得fcfc证毕。知xn是单调下降数列,而x

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