高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

．ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”

3、向量的减法：①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点

的向量（a、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向

相反；当0时，a0，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1)若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)若a=(x,y)，则a=(x,y)

(4)若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10(5)若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

若ab，则x1x2y1y三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab=abcos叫做a与b的数量积（或内积）规定0a0ab2向量的投影：bcos=∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影|a|3数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：aaa2|a|25乘法公式成立：

aba2abb222222abababab；

222a2abb

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：abba

②对实数的结合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能（3）ab=0不能

bc

a=0或b=07两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab=x1x2y1y201*向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=（0180）叫做向量a与b的

夹角x1x2y1y2abcos=cosa,b=2222abx1y1x2y200

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0与其它任何非零向量

之间不谈夹角这一问题

0

9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥bab＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质

扩展阅读：高中数学平面向量知识点总结

平面向量知识点总结

第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。一．向量的概念：

1．向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2．向量的表示方法：（1）几何表示法：点射线有向线段具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）（2）字母表示法：AB可表示为a

3.模的概念：向量AB的大小长度称为向量的模。

记作：|AB|模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

1零向量长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的。注意0与0的区别

2单位向量长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。二．向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a∥b∥c规定：0与任一向量平行

2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

abc记作：a=b规定：0=0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

三．向量的加法：

1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）2．三角形法则：

aaCb

a+baba+b

A

ACB强调：B

ab

a+bCA

B1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点

2可以推广到n个向量连加3a00aa

4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则3.加法的交换律和平行四边形法则

1向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：2向量加法的交换律：a+b=b+a

3向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。

四．向量的减法：

1.用“相反向量”定义向量的减法

1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作a2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a)=a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+(a)=0如果a、b互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0

3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：

若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab

3.向量减法做图：AB表示ab。强调：差向量“箭头”指向被减数

总结：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、

相等向量、共线向量

2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)

1.实数与向量的积

实数λ与向量a的积，记作：λa

定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

1|λa|=|λ||a|

2λ>0时λa与a方向相同；λ向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使b=λa

六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平

面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

注意几个问题：1e1、e2必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2这个定理也叫共面向量定理

3λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

第二部分：向量的坐标运算七．向量的坐标表示与坐标运算

1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示

取x轴、y轴上两个单位向量i,j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

记作：a=(x,y)称作向量a的坐标

2．注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的；

2设A(x1,y1)B(x2,y2)则AB=(x2x1,y2y1)3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

4．实数与向量积的坐标运算：已知a=(x,y)实数λ

则λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj

∴λa=(λx,λy)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。八．向量平行的坐标表示

结论：a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1,y2有可能为0，∵b0

∴x2,y2中至少有一个不为2充要条件不能写成

y1y2∵x1,x2有可能为0x1x2abx1y2x2y103从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b0)九．线段的定比分点：

1．线段的定比分点及λ

P1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数λ，

使P1P=λPP2λ叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：

P1PP2P1P2PPP1P2λ>0(内分)(外分)λC

3．注意的几个问题；两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积

a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，

且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。这就得性质2。

4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c。但是ab=bca=c如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|abc=|b||c|cos=|b||OA|cab=bc但acb5在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)OA显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，

而一般a与c不共线。

（二）投影的概念及两个向量的数量积的性质：

1．“投影”的概念：作图BBBOOObbbO(B)aAAAaO1aBO1B1OO

OOO叫做向量b在aO定义：|b|cos方向上的投影。注意：1投影也是一个数量，不是向量。2当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。2．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。3．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1ea=ae=|a|cos2abab=0

3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|。

特别的aa=|a|2或|a|aa4cos=

ab|a||b|5|ab|≤|a||b|

十一.平面向量的数量积的运算律

1.交换律：ab=ba

2.结合律：(a)b=(ab)=a(b)3.分配律：(a+b)c=ac+bc十二.平面向量的数量积的坐标表示

1.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii=1，jj=1，ij=ji=02.ab=x1x2+y1y2

3.长度、角度、垂直的坐标表示

1a=(x,y)|a|2=x2+y2|a|=x2y2

2若A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，则AB=(x1x2)2(y1y2)23cos=

ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

4∵abab=0即x1x2+y1y2=0（注意与向量共线的坐标表示原则）

十三.平移

一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而

导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）一个平移实质上是一个向量二、平移公式：设PP"=(h,k)，即：OP"OPPP"

x"xh∴(x’,y’)=(x,y)+(h,k)∴平移公式

y"yk三、注意：1它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系

2知二求一

3这个公式是坐标系不动，点P(x,y)按向量a=(h,k)平移到点P’(x’,

y’)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a，即：

x"xh。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样y"yk的，

这两个公式作用是一致的。十四.正弦定理

1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等公式即：

abc==它适合于任何三角形。sinAsinBsinCabc===2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC2可以证明3每个等式可视为一个方程：知三求一从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。十五.余弦定理

1．余弦定理语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去

这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2.余弦定理公式：

a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC

4.强调几个问题：

1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等

2知三求一

3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

b2c2a24变形：cosA2bca2b2c2cosC

2ac

a2c2b2cosB2ac三、余弦定理的应用

能解决的问题：1．已知三边求角

2．已知三边和它们的夹角求第三边

友情提示：本文中关于《高中数学平面向量知识点总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学平面向量知识点总结：该篇文章建议您自主创作。

来源：网络整理 免责声明：本文仅限学习分享，如产生版权问题，请联系我们及时删除。

《高中数学平面向量知识点总结》由互联网用户整理提供,转载分享请保留原作者信息,谢谢!
链接地址：http://www.bsmz.net/gongwen/616120.html

• 上一篇：高中历史必修二知识点总结
• 下一篇：小学数学知识点总结