三角形知识点总结(完)

三角形知识点总结(完)

三角形

1、三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△≌Rt△）

2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等

②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）

③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）

B判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形

②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】

3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等

②三个角都相等，并且每个角都等于60度

ADAC

PEBD

FC

③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结：①高=

32A

边【即：AD32AB】

B②面积=

4、直角三角形的性质及判定性质：①两锐角互余

②勾股定理

③30°角所对的直角边等于斜边的一半。④斜边中线等于斜边一半

判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形

34边【即：SABC234D

CAB】

2ADCB

②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。”）③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形AD直角边的乘积斜边结论总结：直角三角形斜边上的高=

5、线段的垂直平分线

（1）线段垂直平分线的性质及判定

【即：CDACBCAB】

CB

P性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：①定义法

②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

A

B（2）三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

6、角平分线

（1）角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：①定义法

②在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

O（2）三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线

结论总结：

①如图，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，则BOC9012A

E

BPD

A

②如图,在△ABC中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，则BOC12A

③如图,在△ABC中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则BOC9012A

ABEDC

④如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为D，则EAD

12(CB)

四边形

1、平行四边形的性质及判定性质：①边：对边平行且相等

②角：对角相等

③对角线：互相平分

④对称性：中心对称图形

判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤对角线互相平分的四边形是平行四边行。

B

AOC

D结论总结：①SAOBSBOCSCODSA0D②SABCDABDEBCAF

2、等腰梯形的性质及判定

性质：①边：两地平行，两腰相等

②角：等腰梯形在同一底上的两个角相等③对角线：等腰梯形的两条对角线相等④对称性：轴对称图形

判定：①两腰相等的梯形是等腰梯形

②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

14SABCDBCFD

AEAD

BAC

3、三角形中位线定义及性质

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

4、特殊平行四边形

（1）矩形的性质及判定性质：①边：对边平行且相等

②角：四个角都是直角

③对角线：互相平分且相等

④对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形

判定：①有一个内角是直角的平行四边形是矩形

②对角线相等的平行四边形是矩形

③有三个内角是直角的四边形是矩形

结论总结：解决矩形问题要联想等腰三角形和直角三角形（2）菱形的性质及判定

性质：①边：四条边都相等，对边平行

②角：对角相等

③对角线：对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角④对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形

判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形

③四条边都相等的四边形是菱形

结论总结：①S菱形ABCDACBD2DE

BCA

OBD

CABODC

②解决菱形问题要联想等腰三角形和直角三角形

（3）正方形的性质及判定

性质：①边：四条边都相等，对边平行

②角：四个角都是直角

③对角线：对角线互相平分、垂直且相等，并且每一条对角线平分一组对角④对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形

判定：菱形+矩形=正方形

（4）中点四边形（平行四边形）

中点四边形的形状取决原四边形的对角线的数量关系和位置关系。

原四边形的对角线互相垂直则中点四边形是矩形，原四边形的对角线相等则中点四边形是菱形，原四边形的对角线互相垂直且相等则中点四边形是正方形形

扩展阅读：三角形知识点总结

第一章图形的初步认识

考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点二、平行线1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。

考点三、投影与视图1、投影

投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图

当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

第二章三角形

考点一、三角形

1、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

2、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。3、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。4、三角形的面积

三角形的面积=

1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3、全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。2、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

第三章解直角三角形

考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

a2b2c2

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90°CD2ADBD

AC2ADABCD⊥ABBC2BDAB6、常用关系式

由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC

考点二、锐角三角函数的概念（3~8分）1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①sinAA的对边a

斜边cA的邻边b

斜边c②cosA③tanAA的对边a

A的邻边bA的邻边b

A的对边a④cotA2、一些特殊角的三角函数值三角函数sinα0°030°45°60°90°112222213212cosα132330tanα0333不存在cotα不存在3103、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)，tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)

（2）平方关系：sinAcosA1（3）倒数关系：tanAtan(90°A)=1（4）弦切关系：tanA=

22sinAcosA第四章图形的相似

考点一、比例线段

1、比例的性质（1）基本性质

①a：b=c：dad=bc

②a：b=b：cbac

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）2ab（交换内项）cdacdc（交换外项）bdba

db（同时交换内项和外项）ca（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

acbdbdac（4）合比性质：

acabcdbdbd（5）等比性质：

acemacema(bdfn0)bdfnbdfnb3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

51AB0.618AB2考点二、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。考点三、相似三角形1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

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