《高中数学 选修4—5 》知识点总结(经典版)

《高中数学 选修4—5 》知识点总结(经典版)

《高中数学选修45》知识点总结（经典版）

1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbc

ab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbdacbd

（异向正数可除性）ab0,0cd

⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)⑧（倒数法则）ab02、几个重要不等式①ab2aba，bR,（当且仅当ab时取""号）.变形公式：ab221a1b;ab01a1b

ab222.

②（基本不等式）

ab2ab

a，bR,（当且仅当ab时取到等号）.

ab变形公式：ab2abab.

22用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术几何平均不等式）

abc33abc(a、b、cR)（当且仅当abc时取到等号）.

④abcabbccaa，bR

222（当且仅当abc时取到等号）.⑤abc3abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）.⑥若ab0,则若ab0,则babaabab2（当仅当a=b时取等号）2（当仅当a=b时取等号）

ab333⑦

babmam1anbn，（其中ab0，m0，n0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a0时，xaxaxa或xa;

22xaxaaxa.

22⑨绝对值三角不等式ababab.

3、几个著名不等式①平均不等式：

2a1b1abab2ab222，（a,bR，当且仅当ab时取""号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：

22(ab)abab22ab.ab;22222②幂平均不等式：

a1a2...an2221n(a1a2...an).

2③二维形式的三角不等式：x1y122x2y222(x1x2)(y1y2)22(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).

2222222⑥一般形式的柯西不等式：

(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn).

2222222⑦向量形式的柯西不等式：

k设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数，使k时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和），当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1f(x1x22)f(x1)f(x2)2或f(x1x22)f(x1)f(x2)2.则称

x2),有

f(x)为凸（或凹）函数.

4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如(a12)234(a12);

2②将分子或分母放大（缩小），如

1k21k(k1),

1k21k(k1),22k2kk1k2kk1,1k2kk1(kN,k1)等.

*5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b4ac0)解集的步骤：

2一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)0f(x)g(x)00g(x)g(x)0（时同理）“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵f(x)0f(x)a(a0)2f(x)af(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)g(x)0

f(x)g(x)f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a⑶⑷⑸f(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：f(x)g(x)af(x)g(x)⑴当a1时,af(x)g(x)af(x)g(x)⑵当0a1时,a规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当a1时,logaf(x)0f(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)⑵当0a1时,loga规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：(a0)a⑴定义法：a.

a(a0)⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④

f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)22

规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

a0②当a0时

0.2⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

a0a0②当时0.2⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或

0)表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.

即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：法一：角点法：

如果目标函数zAxBy（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画移定求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.

第二步中最优解的确定方法：

ABzB利用z的几何意义：yx,

zB为直线的纵截距.

①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAxBy;

②“斜率”型：zyx或zybxa;

③“距离”型：zx2y2或zxy;

2222z(xa)(yb)或z(xa)(yb).

22在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

扩展阅读：高中数学高考知识点总结附有经典例题

数学

高一数学必修1知识网络

集合

（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）1（集合与元素2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（子集：若xAxB，则AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。2、任何一个集合是它本身的子集，即AA注关系3、对于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），则A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合与集合定义：ABx/xA且xB交集性质：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定义：ABx/xA或xB并集性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB运算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定义：CUAx/xU且xAA补集性质：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU

函数

映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B为从集合A到集合B的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(x).近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法传统定义：在区间a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间；如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。单调性导数定义：在区间a,b上，若f(x)0，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间；如f(x)0a,b是的递减区间。则f(x)在a,b上递减,最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；函数（2）存在x0I，使得f(x0)M。则称M是函数yf(x)的最大值函数的基本性质最值最小值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。则称N是函数yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性(2)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期（1）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a个单位：yy,xaxyf(xa)平移变换向上平移b个单位：x1x,y1byybf(x)11向下平移b个单位：xx,y11byybf(x)横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1wxyf(wx)伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A倍1函数图象的画法（横坐标不变），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x2x0x2）变换法12y0yf(2x0x)关于点(x0,y0)对称：yy12y0y12y0yxx12x0x2x0x关于直线xx0对称：1yf(2x0x)yy1y1y对称变换xx1xx关于直线yy0对称：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx1关于直线yx对称：yf1(x)yy1附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数ytanx中

xk2(kZ)；余切函数ycotx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据

自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增（减）函数

2、若f(x)为增（减）函数，则f(x)为减（增）函数

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则yf[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则yf[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为

11f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶

22函数的和。

零点：对于函数yf（x）,我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,零点与根的关系那么，函数yf(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度；函数与方程(2)求区间(a,b)的中点c;函数的应用(3)计算f(c)；二分法求方程的近似解①若f(c)0,则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)0,则令b（此时零点cx(a,b)）；0③若f(c)f(b)0,则令a（此时零点cx(c,b)）；0(4)判断是否达到精确度：即若a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型mna,n为根指数，a为被开方数根式：nmana分数指数幂arasars(a0,r,sQ)指数的运算rs指数函数rs性质(a)a(a0,r,sQ)(ab)rarbs(a0,b0,rQ)定义：一般地把函数yax(a0且a1)叫做指数函数。指数函数性质：见表1对数：xlogaN,a为底数，N为真数loga(MN)logaMlogaN;基本初等函数logaMlogaMlogaN;.N对数的运算性质nnlogaM;(a0,a1,M0,N0)logaM对数函数logcblogab(a,c0且a,c1,b0)换底公式：logca对数函数定义：一般地把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数性质：见表1定义：一般地，函数yx叫做幂函数，x是自变量，是常数。幂函数性质：见表2

表1定义域值域指数函数yaa0,a1x对数数函数ylogaxa0,a1x0,yRxRy0,图象过定点(0,1)减函数增函数减函数过定点(1,0)增函数x(,0)时，y(1,)x(,0)时，y(0,1)x(0,1)时，y(0,)x(0,1)时，y(,0)x(0,)时，y(0,1)x(0,)时，y(1,)x(1,)时，y(,0)x(1,)时，y(0,)性质ab表2ababab幂函数yx(R)pq00111p为奇数q为奇数奇函数

p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数第一象限性质减函数增函数偶函数（0，1）过定点

高中数学必修2知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：ky2y1(x1x2)

x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程

①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：④截矩式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1xy1ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）

1各式的适用范围○2特殊的方程如：注意：○

平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0xB0yC0（C为常数）

（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：（）过两条直线l1:yy0kxx0，直线过定点x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

，其中直线l2不在直线系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数）（6）两直线平行与垂直

当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。A2xB2yC20方程组无解l1//l2；方程组有无数解l1与l2重合（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，Bx2,y2）则|AB|(x2x1)2(y2y1)2

（9）点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0C

A2B2（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程

（1）标准方程xaybr2，圆心

22a,b，半径为r；

22（2）一般方程x2y2DxEyF0

DE，半径为r1D2E24F当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为,222当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为

dAaBbC，则有dA2B22222rl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

22（2）设直线l:AxByC0，圆C:xaybr2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交

2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：

2①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0yy0r(课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；

当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当dRr时，两圆内含；当d0时，为同心圆。

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相

平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；

平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距

离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个

矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

""""""""""""""""3、空间几何体的直观图斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

"

S直棱柱侧面积chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积1ch"S圆锥侧面积rl

2S正棱台侧面积S圆柱表2rrlS圆锥表rrlS圆台表r2rlRlR2

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

-10-

1(c1c2)h"S圆台侧面积(rR)l

1V柱ShV圆柱Sh2rhV锥ShV圆锥1r2h

331"11"22V台(S"S"SS)hV圆台(SSSS)h(rrRR)h

333

2（4）球体的表面积和体积公式：V球=4R3；S球面=4R34、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面

①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；

②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：Al,Bl,A,Bl（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。符号语言：PABABl,Pl公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。

③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；α∥β

相交有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这．．．．．两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

高一数学必修3公式总结以及例题

1算法初步

秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项

式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

例题：秦九韶算法计算多项式3x64x55x46x37x28x1,当x0.4时,

需要做几次加法和乘法运算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具

有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的

算法…(algorithm)

1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.2.算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一

个或多个。没有输出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时

间内可以完成，在时间上有一个合理的限度

3.算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:

顺序结构，选择结构，循环结构

流程图：（flowchart）:是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构

的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

注意：1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。

算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构AA

pAYNNppY

BABYN

直到型循环当型循环

Ⅰ.顺序结构（sequencestructure）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转

移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selectionstructure）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临

界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中

的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

Ⅲ.循环结构（cyclestructure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和

当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。

基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudocode），且是使用BASIC语言编写

的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用xy，也可以用xy;

表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.赋值语句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示将y的值赋给x，

其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.

一般格式：“变量表达式”，有时在伪代码的书写时也可以用“xy”，但此时

的“=”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。

注：1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“=”具有计算功能。如：3=a,b+6=a,都是错误的，而a=3*51,a=2a+3都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a=b=c=2,a,b,c=2都是错误的，而a=3是正确的.

例题：将x和y的值交换

pxpxxyxy,同样的如果交换三个变量x,y,z的值:

yzypzpⅡ.输入语句（inputstatement）:Reada,b表示输入的数一次送给a,b

输出语句（outstatement）：Printx,y表示一次输出运算结果x,y注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2.Read语句输入的只能是变量而不是表达式3.Print语句不能起赋值语句，意旨不能在Print语句中用“=”4.Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用“；”隔开.例题：当x等于5时，Print“x=”;x在屏幕上输出的结果是x=5Ⅲ.条件语句（conditionalstatement）：

1.行If语句:IfAThenB注：没有EndIf

2.块If语句：注：①不要忘记结束语句EndIf，当有If语句嵌套使用时，有

几个If，就必须要有几个EndIf②.ElseIf是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

IfAThenIfAThen

BB

ElseElseIfCThen

CD

EndIfEndIf

例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen

Printb

Else注：1.同样的你可以写出求三个数中最小的数。Printc2.也可以类似的求出四个数中最小、大的数

IfEnd

EndIf

Ⅳ.循环语句（cyclestatement）：当事先知道循环次数时用For循环，即使是N次也是已知次数的循环当循环次数不确定时用While循环Do循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.WhileAForIFrom初值to终值Step步长……EndWhileWhile循环EndForFor循环DoWhilepDo……Loop当型Do循环LoopUntilp直到型Do循环说明：1.While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.2.凡是能用While

循环书写的循环都能用For循环书写3.While循环和Do循环可以相互转化4.Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化5.注意临界条件的判定.

135...99的一个算法.（见课本P21）例题：设计计算S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSS1I1WhileI99SSI

I1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSII2EndWhilePrintS

S1S1I1DoSSIII2LoopUntilI100(或者I99)PrintSI1DoII2

SSILoopUntilI99PrintSS1S1I1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopDoWhileI97(或者I99)II2

SSILoopPrintS

PrintS

颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！

高中数学必修4知识点

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

4、已知是第几象限角，确定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再n*从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对

应的标号即为终边所落在的区域．

n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

l6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是．

r1807、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则

11lr，C2rl，Slrr2．

229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是rrx2y20，则sinyxy，cos，tanx0．rrx-18-

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin，cos，tan．12、同角三角函数的基本关系：1sincos1

22ysin21cos2,cos21sin2；2sintancosPTOMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵

坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

1倍（纵坐标不变），得

个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

函数ysinx0,0的性质：

①振幅：；②周期：2；③频率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函

ycosxytanxysinx数性

为ymax，则质

图象定

义域值

域当

x2k

R1,1

R1,1

xxk,k

2R

2k当x2kk时，ymax1；当x2k

k时，ymin1．既无最大值也无最小值

时，ymax1；当

最值

x2k2

，

k时

ymin1．

周

期性奇

偶性

在单

调性

22

奇函数偶函数奇函数

在

2k,2k222k,2kk在k,k

22上是增函数；在k上是增函数．

-20-

k上是增函数；

在

2k,2k

k上是减函数．

32k,2k

22

k上是减函数．

称中

心对

称中心对称中心

k,0k2对

k,0k对

k,0k称2对称轴性

xkk对称轴xkk

2无对称轴

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

C

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2y,1y2．

ab

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①

abCC

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，

a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共

线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所

有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当

xx2y1y2,12时，点的坐标是1．

1123、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a22与b反向时，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

22若ax,y，则axy，或a2x2y2．

设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y224、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；

⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵

cos2cos2sin22cos2112sin2（

cos2cos212sin21cos22）．⑶tan22tan1tan2．

26、sincos22sin，其中tan．

-23-

，

高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面积公式：SCbcsinabsinCacsin．

222径，则有

4、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．15、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

222222222，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，18、由三个数a，则称为a与b的等差中项．若

bac，则称b为a与c的等差中项．2-24-

19、若等差数列

an的首项是a，公差是d，则a1na1n1d．

；

ana120、通项公式的变形：①anamnmd；②a1ann1d；③dn1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则aman是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；若anapaq．

na1annn1SSnad．22、等差数列的前n项和的公式：①n；②n122*23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则

S2nnanan1，且

S奇anS偶S奇nd，

S偶an1．

*②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

G，b成等比数列，25、在a与b中间插入一个数G，使a，则G称为a与b的等比中项．若Gab，

则称G为a与b的等比中项．

26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通项公式的变形：①n；②1；③mn2qn1an；④a1qnmanam．

*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是*等比数列，且2npq（n、p、q），则an2apaq．

na1q129、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q*30、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则

S偶S奇q．

②SnmSnqnSm．

③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列．

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b4ac

201*

二次函数yaxbxc

2a0的图象

有两个相异实

一元二次方程

数根

有两个相等实

数根

axbxc0

2bx1,22a

a0的根

x1x2

b2a没有实数

根

x1x2

一元

二次不等式的

axbxc0

2xxx或xx

12a0

bxx

2aR

解集

axbx","p":{"h":19.177,"w":17.317,"x":227.441,"y":123.418,"z":

a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22244、极值定理：设x、y都为正数，则有

22s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2个；真子集有21个；非空子集有21个；非空的真子集有22个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

nnnnNf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

MNMNf(x)N|0|f(x)22Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一

个必要而不是充分条件.特别地,方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k19.闭区间上的二次函数的最值

2二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2kk2kk2bb1k2.,或f(k2)0且12a222ab处及区间的两端2a点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若xbbp,q，则f(x)minf(),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2abbp,q，则f(x)minminf(p(2)当a

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0或

mpn2f(m)0f(n)0或；af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p.

m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2.

c0b4ac012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论是不是至少有一个都是不都是至多有一个大于不大于至少有n个小于不小于至多有n个对所有x，存在某x，p或q成立不成立对任何x，不成立存在某x，p且q成立反设词一个也没有至少有两个至多有（n1）个至少有（n1）个p且qp或q

14.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ

互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函

(x1x2)f(x1)f(x2)0数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则

f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数ababx;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.

22a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若f(x)f(xa),

2则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线xab对称.2m(3)函数yf(x)和yf1(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数.k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则f(x)的周

1f(x1)f(x2)或f(xa)期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幂(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a

31．根式的性质

（1）(na)na.

（2）当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|32．有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

a,a0.

a,a0logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga236.设函数f(x)logm(ax2bxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为R,则

a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11)和(,)上ylogax(bx)为减函数.，(2)当ab时,在(0,aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga38.平均增长率的问题

x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p).39.数列的同项公式与前n项的和的关系

2mn.2n1s1,(数列{an}的前n项的和为sna1a2an).ansnsn1,n2

40.等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).n(1b)144．常见三角不等式（1）若x(0,(2)若x(0,2)，则sinxxtanx.

2(3)|sinx||cosx|1.

)，则1sinxcosx2.45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin，tancot1.cos

nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,

47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan.tan()1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=

b定,tan).

a48.二倍角公式

a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2.

1tan249.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()33.

3tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T周期T2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的

.51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面积定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(|OA||OB|)(OAOB).(3)SOAB2（1）S54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).22255.简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10.53.a与b的数量积(或内积)ab=|a||b|cosθ．61.ab的几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2y1y2).

63.两向量的夹角公式

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.线段的定比分公式

是实数，且PP设P12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1PP2，则

x1x2xOPOP21OP1yy12y111t（）.(1t)OPOPtOP12167.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

G(x1x2x3y1y2y3,).3368.点的平移公式

"""xxhxxh"OPOPPP.""yykyyk""注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).

"""69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为

"""yf(xh)k.

(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k.

""(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为

""

f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

222OABC（1）为的外心OAOBOC.

（2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.

（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

12s.4推广已知x,yR，则有(xy)2(xy)22xy（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.

2273.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与axbxc2同号，则其解集在两根之外；如果a与axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

2xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式当a>0时，有

xax2aaxa.

2xax2a2xa或xa.

75.无理不等式（1）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0（2）f(x)g(x)g(x)0.或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0（3）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]276.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直线的五种方程

k（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,

A1B1C1；A2B2C2②l1l2A；1A2B1B20①l1||l280.夹角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

(1)tan|

A1B2A2B1|.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是.

281.l1到l2的角公式

kk1(1)tan2.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A).1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直线l1l2时，直线l1到l2的角是.

2(2)tan|82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

AB84.AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域

设曲线C:(A，则1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20）

d|Ax0By0C|22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

（1）圆的标准方程(xa)(yb)r.

22（2）圆的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

22222

xarcos.

ybrsin（4）圆的直径式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

（3）圆的参数方程87.圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,

λ是待定的系数．

(2)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

22(3)过圆C1:x2y2D1xE1yF与圆:CxyD2xE2yF20的交点的圆系02122方程是x2y2D1xE1yF(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的系数．188.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种若d(ax0)2(by0)2，则

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:

dr相离0;dr相切0;dr相交0.

AaBbC其中d.

22AB90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线;0dr1r2内含无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆xyDxEyF0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

22D(x0x)E(y0y)F0.22D(x0x)E(y0y)F0表示过两个切点的切点弦当(x0,y0)圆外时,x0xy0y22x0xy0y方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条

切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x2y2r2．

2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr;

②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2.xacosx2y292.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsinx2y293.椭圆221(ab0)焦半径公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc94．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部ab95.椭圆的切线方程

22x0y01.a2b222x0y01.a2b2xxyyx2y2(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2（2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y222222（3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是AaBbc.

abx2y296.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc97.双曲线的内外部

x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y021.2ab22x0y021.2abx2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

aababxyx2y2b(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaabx2y2x2y20，(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，

abab焦点在y轴上）.

99.双曲线的切线方程

xxyyx2y2(1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2（2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21.2abx2y222222（3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是AaBbc.

ab100.抛物线y22px的焦半径公式

p抛物线y22px(p0)焦半径CFx0.

2pp过焦点弦长CDx1x2x1x2p.

222y2101.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中

2py22px.

b24acb2(a0)的图象是抛物线：102.二次函数yaxbxca(x)（1）顶点坐标

2a4ab4acb2b4acb214acb21,)；,)；为(（2）焦点的坐标为(（3）准线方程是y.2a4a2a4a4a2103.抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0).点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0).(2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0).点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0).(3)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0).点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0).点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的外部x22py(p0).104.抛物线的切线方程

(1)抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

（2）过抛物线y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).（3）抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC.105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

2222222f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y221,其中kmax{a2,b2}.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2akbkkmin{a2,b2}时,表示椭圆;当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1x2)2(y1y2)2或

（弦端点

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2ykxb2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程消去y得到axbxc0，0,为直线AB的

F(x,y)0倾斜角，k为直线的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.2222ABAB2108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x，用y0y代y2，用

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中

222点方程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB，

或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.

119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、C、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByACOD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby．

z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

"已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点在l上

"的射影B，则

""AB|AB|cos〈a，e〉=ae

122.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；(4)ab＝a1b1a2b2a3b3；123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则124．空间的线线平行或垂直

ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).

rr设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则

x1x2rrrrrraPbab(b0)y1y2；

zz21rrrrabab0x1x2y1y2z1z20.

125.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb22推论(a1b1a2b2a3b3)2(aaa)(b12b2b3)，此即三维柯西不等式.

212122222323.

126.四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.

2ACBDrrcos|cosa,b|

rr|x1x2y1y2z1z2||ab|r=r222222|a||b|x1y1z1x2y2z2rroob所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（其中（090）为异面直线a,128.直线AB与平面所成角

ABm(m为平面的法向量).arcsin|AB||m|129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则

127．异面直线所成角

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地,当ACB90时,有

sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角

""分别是1、2,A、B为ABO的两个内角，则

tan21tan22(sin2A"sin2B")tan2.

特别地,当AOB90时,有

sin21sin22sin2.131.二面角l的平面角

mnmnarccos或arccos（m，n为平面，的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.

133.三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sinsin2sin21sin222sin1sin2cos;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

2

222dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1).

135.点Q到直线l距离

122Ph(|a||b|)(ab)(点在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

|a|136.异面直线间的距离

|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间d|n|的距离).

137.点B到平面的距离

|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.d|n|138.异面直线上两点距离公式

dh2m2n22mncos.222"dhmn2mncosEA,AF.dh2m2n22mncos（EAA"F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，

"A"Em,AFn,EFd).

139.三个向量和的平方公式

2222(abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为

1、2、3,则有

2l2l12l2l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理

S"S.

cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧c1l.②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

-47-

"

VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E

1的关系：EnF；

21（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：EmV.

2146.球的半径是R，则

4R3,32其表面积S4R．

其体积V147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

66a,外接球的半径为a.1241V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3149.分类计数原理（加法原理）Nm1m2mn.150.分步计数原理（乘法原理）Nm1m2mn.151.排列数公式

m=n(n1)(nm1)=Ann！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！注:规定0!1.152.排列恒等式

mm1(1）An;(nm1)AnnmAn1;nmmm1（3）AnnAn1;

（2）Anmnn1n（4）nAnAn1An;mmm1（5）An.AmA1nn(6)1!22!33!nn!(n1)!1.153.组合数公式

Cmn=

Anmn(n1)(nm1)n！*

==(∈N，mN，且mn).nm12mm！(nm)！Am154.组合数的两个性质

mnm(1)Cn=Cn;mm1m(2)Cn+Cn=Cn1.0注:规定Cn1.

155.组合恒等式

nm1m1Cn;mnmmCn（2）Cn1;nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）Cnm（4）

Cr0rrnrn=2;

nrr1（5）CCrr1Crr2CnCn1.

012rn(6)CnCnCnCnCn2n.135024(7)CnCnCnCnCnCn2n1.123n(8)Cn2Cn3CnnCnn2n1.r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn.021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

156.排列数与组合数的关系

mm.Anm！Cn157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”

mm1m11m1①某（特）元必在某位有An②某（特）元不在某位有AnAn1（补集思想）An1An11种；

m1m1（着眼位置）An1Am1An1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

kmk①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.

nk1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An此类问题常用捆绑k1Ak种.注：

法；

③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不

hk能挨近的所有排列数有AhAh1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn1当nm1时，无解；当nm1时，有nCm1种排法.

Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmn.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共

有NCmnCmnnCmn2nC2nCn数共有

(mn)!.(n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法

nnnnnnnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn.Nmm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共

nmn1n2有NCpCpCnm!n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，，nm件，且n1，n2，，nm这m个数中分别有a、b、c、个相等，

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，n2，，nmp!件无记号的m堆，且n1，n2，，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，n2，，nm件无记号的m堆，且n1，n2，，nm这m个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数

p!有N.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、丙，等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，时，则无论n1，n2，，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

则其分配方法数有Nnmn1n2NCpCpCnn1...mnmn1n2CpCp...Cn1nmm!p!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)n![1111(1)n].2!3!4!n!推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!(1)C(nm)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCmn![11224(1)p(1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2++xnm的解的个数

(1)方程x1+x2++xnm（n,mN）的正整数解有Cm1个.(2)方程x1+x2++xnm（n,mN）的非负整数解有Cnm1个.

-50-

n1n

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