新人教版高二数学必修5知识点归纳

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高二数学期中考知识点归纳资料

第一章解三角形

1、三角形的性质：

①.A+B+C=,sin(AB)sinC，cos(AB)cosCAB22C2sinAB2cosC2

②.在ABC中,ab＞c,ab＜c;A＞BsinA＞sinB,

A＞BcosA＜cosB,a＞bA＞B

③.若ABC为锐角，则AB＞

2,B+C＞

2,A+C＞

2;

a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b22、正弦定理与余弦定理：①.正弦定理：asinAbsinBcsinC2R(2R为ABC外接圆的直径)

a2RsinA、b2RsinB、c2RsinC（边化角）sinAa2R、sinB12b2R、sinC12c2R（角化边）12acsinB

222面积公式：SABC222absinC2bcsinA22②.余弦定理：abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC

bca2bc222cosA、cosBacb2ac222、cosCabc2ab222（角化边）3、常见的解题方法：（边化角或者角化边）第二章数列

1、数列的定义及数列的通项公式：

①.anf(n)，数列是定义域为N的函数f(n)，当n依次取1，2，时的一列函数值②.an的求法：i.归纳法

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S1,n1ii.an若S00，则an不分段；若S00，则an分段

SnSn1,n2iii.若an1panq，则可设an1mp(anm)解得m,得等比数列anm

Snf(an)iv.若Snf(an)，先求a1，再构造方程组：得到关于an1和an的递推关系式

Sn1f(an1)Sn2an1例如：Sn2an1先求a1，再构造方程组：（下减上）an12an12an

Sn12an112.等差数列：

①定义：an1an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。②通项:ana1(n1)d,d0时，an为关于n的一次函数；

d＞0时，an为单调递增数列；d＜0时，an为单调递减数列。

n(a1an)2n(n1)2③前n项和：Snna1d，

d0时，Sn是关于n的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④性质：i.amanapaq（m+n=p+q）ii.若an为等差数列，则am，amk，am2k，…仍为等差数列。iii.若an为等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，…仍为等差数列。iv若A为a,b的等差中项，则有A3.等比数列：①定义：

an1anq（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

ab2。

n1②通项:ana1q(q=1时为常数列)。

na1,q1③.前n项和,Sna11qnaaq,需特别注意,公比为字母时要讨论.

1n,q11q1q

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④.性质：

i.amanapaqmnpq。

ii.an为等比数列,则am,amk,am2k,仍为等比数列，公比为qk。

iii.an为等比数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n,K仍为等比数列，公比为qn。iv.G为a,b的等比中项,Gab4.数列求和的常用方法:

①.公式法:如an2n3,an3n1

nn12n5，可分别求出3n，2n1和2n5的和，然后把②.分组求和法:如an32三部分加起来即可。

1③.错位相减法:如an3n2，

21111Sn579(3n1)2222123423n1n13n2

2nn1n11111Sn579…＋3n13n2222222123n

n111111两式相减得：Sn52223n2222222，以下略。

④.裂项相消法:如an1nn111n1n1;an1n1nn1n，

an2n12n1111等。

22n12n1⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n个数a1,a2,a3,,an，使这n+2个数成等差数列，求：Sna1a2an，（答案：Sn32n）

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第三章不等式

1.不等式的性质:

①不等式的传递性:ab,bcac

abacbdcd②不等式的可加性:ab,cRacbc,推论:

③不等式的可乘性:ababab0acbc;acbc;acbd0

c0c0cd0n④不等式的可乘方性:ab0anbn0;ab02.一元二次不等式及其解法:

anb0

①.ax2bxc0,ax2bxc0,fxax2bxc注重三者之间的密切联系。如：ax2bxc＞0的解为：＜x＜,则ax2bxc＝0的解为x1,x2；函数fxaxbxc的图像开口向下，且与x轴交于点,0，,0。

2对于函数fxax2bxc，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。②.注意二次函数根的分布及其应用.

如：若方程x22ax80的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有

f(0)＞0且f(1)＜0且f(4)＜0且f(5)＞0

3.不等式的应用：

①基本不等式：

a0,b0,ab2ab,ab2ab,2ab2222ab2当a＞0,b＞0且ab是定值时，a+b有最小值；当a＞0,b＞0且a+b为定值时，ab有最大值。②简单的线性规划:

AxByC0A0表示直线AxByC0的右方区域.AxByC0A0表示直线AxByC0的左方区域

解决简单的线性规划问题的基本步骤是：①.找出所有的线性约束条件。

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②.确立目标函数。

③.画可行域，找最优点，得最优解。

需要注意的是，在目标函数中，x的系数的符号，

当A＞0时，越向右移，函数值越大，当A＜0时，越向左移，函数值越大。

扩展阅读：高中数学必修一至必修五知识点总结人教版

高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

必修1

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

4、集合的分类：（1）．有限集含有有限个元素的集合（2）．无限集含有无限个元素的集合

（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x25}

二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x10}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

-1-

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任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且BA那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

四、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

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3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．

集合C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2)画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4．了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.

补充一：分段函数（参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

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7．函数单调性（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，且n∈N．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根

*

用符号na表示．式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radicalexponent），a叫做被开方数（radicand）．

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成na（a>0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。

注意：当n是奇数时，naa，当n是偶数时，nan|a|a2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

n(a0)a(a0)anam(a0,m,nN*,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

rrrs（1）a〃aa(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）(a0,r,sR)；rrs(ab)aa(a0,r,sR)．（3）

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

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2、指数函数的图象和性质a>1650高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

3注意对数的书写格式．○

两个重要对数：

1常用对数：以10为底的对数lgN；○

2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．○

对数式与指数式的互化

logaNxaxN

对数式指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：（1）loga(M〃N)logaM＋logaN；（2）

logaMlogaM－logaN；（3）logaMnnlogaM(nR)．N注意：换底公式logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）．logca利用换底公式推导下面的结论

n（1）logambnlogab；m（2）logab1．

logba（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）．

1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。注意：○

如：y2log2x，ylog5x都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．52对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．○

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2、对数函数的性质：a>132.520高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数

yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：

1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用○

函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数

有两个零点．

2２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，

二次函数有一个二重零点或二阶零点．

2３）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

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必修2

第一章立体几何初步

1.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

"S直棱柱侧面积ch

S正棱锥侧面积S正棱台侧面积1ch"21(c1c2)h"2

S圆柱侧2rhS圆柱表2rrl

S圆锥侧面积rlS圆锥表rrl

S圆台侧面积(rR)l

S圆台表r2rlRlR2

2.柱体、锥体、台体的体积公式

V柱Sh

1V锥Sh31V台(S"S"SS)h

3V圆柱Shr2h

1V圆锥r2h

311V圆台(S"S"SS)h(r2rRR2)h

333.球体的表面积和体积公式：V求43RS4R23；球面4．空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

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第二章直线与平面的位关系

2.1空间点、直线、平面之间的位关系1平面含义：平面是无限延展的2三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈L

AB∈L=>LααLA∈α

B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB

α符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，C

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈Lβ公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.

Pα

L2.1.2空间中直线与直线之间的位关系1空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b=>a∥cc∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4注意点：

①a"与b"所成的角的大小只由a、b的相互位来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；

2

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.32.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位关系1、直线与平面有三种位关系：

（1）直线在平面内有无数个公共点

（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点

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指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：aβbβ

a∩b=P=>β∥αa∥αb∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.32.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。符号表示：

a∥α

aβ=>a∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥β

α∩γ=a=>a∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质

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2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

PaL

2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A梭lβ

Bα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.32.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：ky2y1(x1x2)（P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；

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(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程

①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1④截矩式：别为a,b。

xy1其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分ab⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）

1各式的适用范围○2特殊的方程如：注意：○

平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（6）两直线平行与垂直当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。AxByC0222方程组无解l1//l2；方程组有无数解l1与l2重合

Bx2,y2）（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，

则|AB|(x2x1)2(y2y1)2（9）点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0C

22AB（10）两平行直线距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为d-14-

C1C2AB高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

第四章圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程

（1）标准方程xaybr2，圆心

22a,b，半径为r；

点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位关系：当(x0a)2(y0b)2>r，点在圆外当(x0a)2(y0b)2=r，点在圆上当(x0a)2(y0b)2高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

当d

Rr时两圆外离，此时有公切线四条；当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当dRr时，两圆内含；当d0时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

必修3

第一章：算法初步

1：算法的概念

（1）算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

（2）算法的特点:

①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

2：程序框图

（1）程序框图基本概念：

①程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

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一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。②构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不起止框可少的。表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法输入、输出框中任何需要输入、输出的位。赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明判断框“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

3：算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

（1）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。A顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所

指定的操作。B（2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行

A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

（3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

①一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

②另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

AAPP成立不成立成立不成立p当型循环结构直到型循环结构

注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含

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条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

4：输入、输出语句和赋值语句（1）输入语句

①输入语句的一般格式图形计算器格式INPUT“提示内容”；变量INPUT“提示内容”，变量②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；④输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；⑤提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。

（2）输出语句

①输出语句的一般格式

图形计算器格

式PRINT“提示内容”Disp“提示内容”，变量；表达式②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达

式是指程序要输出的数据；④输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。

（3）赋值语句

①赋值语句的一般格式图形计算器格式表达式变量变量＝表达式

②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；④赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；⑤对于一个变量可以多次赋值。

注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

5：条件语句

（1）条件语句的一般格式有两种：①IFTHENELSE语句；②IFTHEN语句。

①IFTHENELSE语句IFTHENELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。IF条件否

THEN满足条件？

语句1是图1图2ELSE语句2语句1

语句2

ENDIF

分析：在IFTHENELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。

高中数学必修1至必修","p":{"h":13.499,"w":40.5,"x":358.995,"y":65.623,"z":8}高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

①用较大的数m除以较小的数n得到一个商约数；若

S0和一个余数R0；②若R0＝0，则n为m，n的最大公

R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；③若R1＝0，则R1为m，n的最大

公约数；若

R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；……依次计算直至RnRn1即为所求的最大公约数。

＝0，此时所得到的

（2）更相减损术

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译为：①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。②以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

（3）辗转相除法与更相减损术的区别：

①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

8：秦九韶算法与排序（1）秦九韶算法概念：

nn-1

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0求值问题

nn-1n-1n-2n-2n-3

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0=(anx+an-1x+….+a1)x+a0=((anx+an-1x+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。（2）两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序①直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位．将该位以及以后的元素向后推移一个位，将读入的新数填入空出的位中．（由于算法简单，可以举例说明）

②冒泡排序

基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

9：进位制

（1）概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数

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第二章：统计

1：简单随机抽样（1）总体和样本

①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．

④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：

，，，

研究，我们称它

为样本．其中个体的个数称为样本容量．

（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

（3）简单随机抽样常用的方法：

①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。（4）抽签法:

①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样

（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

3：分层抽样

（1）分层抽样（类型抽样）：

先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

两种方法：

①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。

（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：

①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。

（3）分层的比例问题：抽样比=

样本容量各层样本容量

个体容量各层个体容量高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

①按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。

②不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。类别共同点各自特点相互关系适用范围简单抽样过从总体中逐个抽取总体中的随机抽样程中每个个个体数较少系统体被抽取的将总体均匀分成几部分，按再起时部分抽样时总体中的机会相等抽样事先确定的规则在各部分抽取采用简单随机抽样个数较多分成经总体分成几层，分层进行各层抽样时采用简总体由差抽样抽取单随机抽样异明显的几部分组成4：用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）样本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)2（2）样本标准差：ss

n用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。

（3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个）。（4）中位数：在样本数据中，累计频率为1.5时所对应的样本数据值（只有一个）。注意：

①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍

③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x3s,x3s)的应用；

“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理5:用样本的频率分布估计总体分布1：频率分布表与频率分布直方图

频率分布表盒频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况。

具体步骤如下：

第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差.

第二步：决定组距和组数：组距与组数的确定没有固定标准，需要尝试、选择，力求有合适的组数，以能把数据的规律较清楚地呈现为准.太多或太少都不好，不利对数据规律的发现.组数应与样本的容量有关，样本容量越大组数越多.一般来说，容量不超过100的组数在5至12之间.组距应最好“取整”，它与极差有关.

组距注意：组数的“取舍”不依据四舍五入，而是当极差不是整数时，组数=［

组距极差组距］+1.

②频率分布折线图：连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点，就得到频率分布折线图。

③总体密度曲线：总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比，它能给我们提供更加精细的信息。

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2：茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是指从茎旁边生长出来的数。

例：例如：为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为","p":{"h":15.84,"w":63.011,"x":624.03,"y":110.953,"z":22},"ps":null,高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版

频率/组距0.070.060.050.040.030.020.010频率/组距富宁一中

连接频率直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.如图2－2－4所示.

例2：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下

甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51.

上述的数据可以用下图来表示，中间数字表示得分的十位数，两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数.

54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.5体重甲乙085136445123587691613389854051

图2－2－5

通常把这样的图叫做茎叶图.请根据上图对两名运动员的成绩进行比较.

从这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是25.因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.

用茎叶图表示有两个突出的优点:其一，从统计图上没有信息的损失，所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；其二，茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示.但茎叶图只能表示两位的整数，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有两个记录表示得那么直观，清晰.

6：变量间的相关关系：自变量取值一定时因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系交相关关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。

（1）回归直线：根据变量的数据作出散点图，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线方程。如果这些点散布在从左下角到右上角的区域，我们就成这两个变量呈正相关；若从左上角到右下角的区域，则称这两个变量呈负相关。

设已经得到具有线性相关关系的一组数据：

xyx1y1。。。。。。xnyn

是待定的系数。

所要求的回归直线方程为：ybxa，其中，

（2）回归直线过的样本中心点(x,y)

xyx1y1。。。。。。xnyn

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第三章：概率

1：随机事件的概率及概率的意义

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)nA为事件A出现的概率：对于给定的n随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

nA（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n，

它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

2：概率的基本性质

（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（3）若A∩B为不可能事件，即A∩B=，那么称事件A与事件B互斥；

（4）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（5）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)（6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；④事件A发生B不发生；⑤事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件

（1）基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，它是试验中不能再分的最简单的随机事件。

（2）基本事件的特点：①任何两个基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和。

4：古典概型：

（1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种模型满足两个条件：①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；

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②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式p(A)A所包含的基本事件的个数

总的基本事件个数5：几何概型

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：p(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）；

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出

现的可能性相等．

注意：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位无关，值域该区域的大小有关。如果随即事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但他不是必然事件。

综上可得：必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。

概率为1的事件不一定为必然事件；概率为0的事件不一定为不可能事件。

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必修4

第一章三角函数（初等函数二）

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

4、已知是第几象限角，确定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正n*半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是终边所落在nl．r1807、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，

C2rl，S11lrr2．229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是

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rrx2y20，则sinyxy，cos，tanx0．rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限

余弦为正．

11、三角函数线：sin，cos，tan．

12、同角三角函数的基本关系：1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sintancossinsintancos,cos．

tan13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

，5sincoscossin．

22，6sincoscossin．

22口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍

（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍

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（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

函数ysinx0,0的性质：①振幅：；②周期：2；③频率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值为ymax，则12yy12ymaxmin，ymaxmin，2x2x1x1x2．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性函质数ysinxycosxytanx图象定义域RRxxk2,k值域1,11,1R当当x2kkx2k2k时，时，ymax1；当最y1；当x2k值2x2k既无最大值也无最max小值时，kk时，ymin1．ymin1．周22期性奇偶奇函数偶函数奇函数性在在在2k,2k2k,2kk上单22k2,k2调性是增函数；在k上是增函数；2k,2kk上是增函在数．

-29-

高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中32k,2k22k上是减函数．k上是减函数．对称中心对称性对称中心,0kk2k,0k对称轴xk对称中心k,0k2对称轴2kxkk无对称轴

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：

Ca

①交换律：abba；

②结合律：abcabc；

③a00aa．

-30-

b

abCC高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，

a0．

abab⑵运算律：①aa；②aaa；③．

⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向

量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的

一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当

xx2y1y2,12时，点的坐标是1．

1123、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与

22b反向时，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

22若ax,y，则axy，或a2x2y2．

-31-

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设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则

x1x2y1y2abcos22abx12y12x2y2

．

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22⑶tan22tan．21tan22sin，其中tan26、sincos

．

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必修5第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc．

sinsinsinCsinsinsinC（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和

一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：

C当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：

a当a高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

第二章数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版

*②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶a富宁一中

n，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：

an1q（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位an上的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

G，b成等比数列，19、在a与b中间插入一个数G，使a，则G称为a与b的等比中项．若Gab，

则称G为a与b的等比中项．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

20、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1．

n1nmaaqaaq21、通项公式的变形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．aa1m*22、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是*等比数列，且2npq（n、p、q），则an2apaq．

23、等比数列

anna1q1的前n项和的公式：①Sna11qnaaq．②

1nq11q1qsna1a2an

24、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：ans1a1(n1)

snsn1(n2)[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差{an}前n项和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以为零也可不为零→为等差的充要条件22→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．

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附：几种常见的数列的思想方法：

1、等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列（指数型函数）数列等差数列（等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例题：1、等差数列{an}中anm,amn，(nm)则anm.分析：因为{an}是等差数列，所以an是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(nm,anm)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即得anm0（图像如上），这里利用等差

数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例题：2、等差数列{an}中，a125，前n项和为Sn，若S9S17，n为何值时Sn最大？分析：等差数列前n项和Sn可以看成关于n的二次函数Sn时为二次函数）前n项和公式对应函数通项公式对应函数（时为一次函数）d2dn(a1)n利用二次函数的性质求n的值.22anmnnm，mn(nm)md2dn(a1)n22是抛物线f(n)-36-

d2dn(a1)n上的离散点，根据题意，S9S17，高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

则因为欲求Sn最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为x时，Sn最大。

例题：3递增数列{an}，对任意正整数n，ann2n恒成立，求

91713，即当n132分析：1)构造一次函数，由数列{an}递增得到：an1an0对于一切

恒成立，所以(2n1)对一切

恒成立，即

恒成立，设f(n)(2n1)，则只需求出f(n)的最大值即可，显然f(n)有最大值f(1)3，所以的取值范围是：3。

2)构造二次函数，

看成函数

，它的定义域是

，因为是

递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数

f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位。从对应图像上看，对称轴

的左侧，也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得

在

2、如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数

111列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242

3、两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

4.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证

anan1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

5.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

最大值.(2)当a10时，满足注意转化思想的应用。

am0的项数m使得sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,

am10附：数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于阶乘的数列等。

例题：已知数列{an}的通项为an=

c其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含

anan11,求这个数列的前n项和Sn.

n(n1)解：观察后发现：an=

11nn1sna1a2an

11111(1)()()

223nn111n13.错位相减法:适用于anbn其中{an}是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。例题：已知数列{an}的通项公式为ann2n，求这个数列的前n项之和sn。解：由题设得：

sna1a2a3an

=122232n2

即sn=122232n2①把①式两边同乘2后得

123n123n2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

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sn1222232nn2n12(12n)2n2n11

2n12n2n1(1n)2n12sn(n1)2n12

4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=

n(n1)22）1+3+5+...+(2n-1)=n23）1323n312n(n1)2

4）122232n216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n11n1

n(n2)12(1n1n2)6）

1111pqqp(pq)(pq)

第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法

-39-

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穿根法（零点分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.0二次函数00yax2bxc（a0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)bx1x22axxx或xx12bxx2aRxx1xx2对于a0(或高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

式组axbc在解-c高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

(4).一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设ax+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax+bx+c,那么：

222

y0①若两根都大于0，即0,0，则有0

0

o对称轴x=xb2ay0b②若两根都小于0，即0,0，则有0

2af(0)0

对称轴x=b2ayox③若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0

④若两根在两实数m,n之间，即mn，

yox0bmnom则有2af(m)0f(n)0

⑤若两个根在三个实数之间，即mtn，yX=b2anxf(m)0则有f(t)0

f(n)0常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位上的参数

omtX=nxb2a高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

例如：若方程x22(m1)xm22m30有两个正实数根，求m的取值范围。

0解：由①型得004(m1)24(m22m3)02(m1)0m22m30m1m1m1,或m3m3

所以方程有两个正实数根时，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。解：因为有两个不同的根，所以由

2255220(1)4(m1)0m2221m12f(1)011m101m15、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．9、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．（一）由B确定：

①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线

xyC0下方的区域．

②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线

xyC0上方的区域．

（二）由A的符号来确定：

先把x的系数A化为正后，看不等号方向：

①若是“>”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“高中数学必修1至必修5知识点总结（复习专用）人教版富宁一中

例题：画出不等式组2xy50所表示的平面区域。解：略

y3x52yx5010、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．11、设a、b是两个正数，则

ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．2abab．212、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即13、常用的基本不等式：

a2b2①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22214、极值定理：设x、y都为正数，则有：

22s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．⑵若xyp（积为定值），则当xy4时，和xy取得最小值2p．

例题：已知x51，求函数f(x)4x2的最大值。44x5解：x

5，4x50由原式可以化为：41111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54xf(x)4x552当54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）时取到“=”号54x2也就是说当x1时有f(x)max2

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