数学必修5知识点总结

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高中数学必修5知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

asinbsinacsinC2R．

2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面积公式：SCbcsinabsinCacsin．

222，sinb，sinCc；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

4、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

222cab2abcosC．5、余弦定理的推论：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90为直角三角形；②若a2b2c2，则C90为锐角三角形；③若a2b2c2，则C90为钝角三角形．

第二章：数列

1.数列的有关概念：

（1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集

{1,2,3,,n}上的函数。（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如:an2n1。

（3）递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）

可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。如:a11,a22,anan1an2(n2)。

2．数列的表示方法：

（1）列举法：如1，3，5，7，9，…（2）图象法：用（n,an）孤立点表示。（3）解析法：用通项公式表示。（4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：常数列:an2n有穷数列按单调性递增数列:an2n1,an2按项数2无穷数列递减数列:ann1摆动数列:a(1)n2nn4．数列{an}及前n项和之间的关系:

n1)S1,(Sna1a2a3anannSnSn1,(22)

5．等差数列与等比数列对比小结：一、定义等差数列anan1d(n2)等比数列anan1q(n2)1．ana1n1danamnmd,nm1．ana1qn1anamqnn12dnm,(nm)二、公式2．Snna1an2na12．Snna1q1a11qnaanq11q1qq11．a,b,c成等差2bac，1．a,b,c成等比b2ac，称b为a与c的等差中项称b为a与c的等比中项*三、性质2．若mnpq（m、，2．若mnpq（m、n、p、q*），n、p、q）则amanapaq则amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为anknb，列两个方程求解；

2②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为ananbnc，列三个方程求解；

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为anaqnb，q为相除后的常数，列两个方程求解；

2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为an1and形式，可用等差数列的通项公式代入求解；②若化简后为an1anf(n),形式，可用叠加法求解；

③若化简后为an1anq形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为an1kanb形式，则可化为(an1x)k(anx)，从而新数列{anx}是等比数列，用等比数列求解{anx}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式：

①a1S1②anSnSn1③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

ak0a10①若，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足

d0ak10ak0a10②若，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足

d0a0k1三、数列求和的方法：

①叠加法；②错位相减法；③分式时，裂项相消法；④一项内含有多部分的，分组求和法；四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为ad和ad类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；

a②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和类型，这样可以相乘约掉。

q

第三章：不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

2

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．4、一元二次不等式解法：

（1）化成标准式：ax2bxc0,(a0)；（2）求出对应的一元二次方程的根；（3）画出对应的二次函数的图象；（4）根据不等号方向取出相应的解集。附：二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

000判别式b24ac

二次函数yax2bxc

a0的图象

有两个相异实数根

一元二次方程ax2bxc0

有两个相等实数根

x1x2b2a

a0的根

axbxc0

2x1,2b2a

没有实数根

x1一元二次不等式的解集

x2a0

axbxc0

2xxx1或xx2

bxx

2aRa0

xx1xx2

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线

xyC0下方的区域．

②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上方的区域．

10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．

3

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．☆☆☆线性规划问题：

1）．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2）．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3）．解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证。两类主要的目标函数的几何意义:

①zaxby-----直线的截距；②z(xa)2(yb)2-----两点的距离或圆的半径；

11、设a、b是两个正数，则

ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．

ab2ab．

12、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即

13、常用的基本不等式：注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。①ab2aba,bR；

22②abab222a,bR；

2222ababab③ab；④a0,b022214、均值定理的应用：设x、y都为正数，则有

a,bR．

s42⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．p．

⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值

扩展阅读：高中数学必修5知识点总结(精品)

必修5知识点总结

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq．22、等差数列的前n项和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：

an1anq（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上

的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，

22则称G为a与b的等比中项．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q．

27、通项公式的变形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比

数列，且2npq（n、p、q*），则anapaq．

na1q129、等比数列an的前n项和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{an}前n项和Sndddd22AnBnna1n→

222可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若

为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列前n项和公式通项公式(a1d2)n利用二次函数的性质求n的值.

对应函数（时为一次函数）（指数型函数）对应函数（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列分析：因为

中，，则.

是等差数列，所以是关于n的一次函数，

一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，

所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列

中，

，前n项和为

，若

，n为何值时

最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，

是抛物线=上的离散点，根据题意，，

则因为欲求最大。

最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，

例题：3递增数列，对任意正整数n，

递增得到：

恒成立，设

恒成立，求

恒成立，即，则只需求出。

，因为是递的最大值即

分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然

有最大值

对一切

对于一切

，所以看成函数

的取值范围是：

构造二次函数，，它的定义域是

增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧

在

也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前

n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证anan1(anan1)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d把①式两边同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零点分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“

由图可看出不等式x23x26x80的解集为：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例题：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数yax22

000bxc有两相异实根x1,x2(x1x2)（a0）的图象一元二次方程ax2有两相等实根x1x2b2abxc0a0的根2无实根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2对于a0(或

f(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例题：求解不等式：解：略例题：求不等式

xx11

1的解集。

3.含绝对值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集为：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集为：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函数图像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)则有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图11292由图像可知原不等式的解集为：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax2+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若两根都大于0，即0,0，则有0

0o对称轴x=b2ax

0b0②若两根都小于0，即0,0，则有2af(0)0y

11

对称轴x=b2aox

③若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0

④若两根在两实数m,n之间，即mn，

0bnm则有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若两个根在三个实数之间，即mtn，

yf(m)0则有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

例如：若方程x2(m1)xm2m30有两个正实数根，求m的取值范围。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有两个正实数根时，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。

55220m(1)4(m1)02解：因为有两个不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．（一）由B确定：

①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线

xyC0下方的区域．

②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线

xyC0上方的区域．

（二）由A的符号来确定：

先把x的系数A化为正后，看不等号方向：

①若是“>”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．41、设a、b是两个正数，则

ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、极值定理：设x、y都为正数，则有：

⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值

s42．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2例题：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函数f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化为：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

当54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）时取到“=”号

也就是说当x1时有f(x)max2

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