选修4-4知识点及题型总结

选修4-4知识点及题型总结

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

“参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块

1．坐标系:①理解坐标系作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形变化情况.③在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点位置区别，进行极坐标和直角坐标互化.④在极坐标系中给出简单图形（如过极点直线、过极点或圆心在极点圆）方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

xx,(0),1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:yy,(0).作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中坐标伸缩变换，简称伸

缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).

极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。

222xcos,5．极坐标与直角坐标的互化：xy,yysin,tan(x0)x6。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；

在极坐标系中，以C(a,0)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos；在极坐标系中，以C(a,2)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；

7.在极坐标系中，(0)表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是

cosa.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数

xf(t),t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这

yg(t),条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，

简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

xarcos,222(为参数).9．圆(xa)(yb)r的参数方程可表示为ybrsin.第1页共4页

椭圆

xa222yb221(ab0)的参数方程可表示为xacos,ybsin.(为参数).

抛物线yx2px2,2px的参数方程可表示为(t为参数).

y2pt.xotcos（,tx经过点MO(xo,yo)，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为为参数）.

yyotsin.10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的

互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

，下列所给出的不能表示点M的坐标的是（）1．已知M5,34C．2D．5A5,B．5,5,5,33332．点P1,3，则它的极坐标是（）

B．4CA．D．42,2,2,2,33333．极坐标方程cos表示的曲线是（

4）

A．双曲线B．椭圆C．抛物线D圆4．圆2(cossin)的圆心坐标是

2,B．1C．A1,,424

4D．2,

45．在极坐标系中，与圆4sin相切的一条直线方程为

A．sin2Bcos2C．cos4D．cos46．若直线的参数方程为xsin2x12t(t为参数)，则直线的斜率为（）

y23tA．2/3B．-2/3C．3/2D-3/27．下列在曲线1ycossin(为参数)上的点是（）

A．(,2)B(231,)C．(2,3)D．(1,3)421点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为2化极坐标方程

cos0为直角坐标方程3直线xcosysin0的极坐标方程为

24.极坐标方程4sin225表示的曲线是5.圆锥曲线8sincos2的准线方程

6.在极坐标系中，定点A(1,

2),点B在直线cossin0上运动，当线段AB最短

时，点B的极坐标是_________.

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8.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+π/4)=2/2，求点A（2，7π/4）到这条直线的距离。

9.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos，4sin．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

（一）、方程的伸缩变换

"x2x1、已知y2x，求经过变换后的方程。"y3y2x"2x22、经过变换后的方程为y2x，求"y3y变换前的方程。3、求将曲线y2sin3x变成ysinx的变换。

4．说说由曲线ytanx得到曲线y3tan2x的变化过程。

5.在平面直角坐标系中，方程x2y21所对应图形经过伸缩变换x2x,后图形所对应方

y3yx3x,6.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x29y29，yy则曲线C方程为

（二）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标

2x2y2xcos为x,y，它的极坐标为,，则；若把直角坐标化或yysintgx为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地

求出角.

2，则极点到该直线的距离是42211)，(4,),(2,)化成直角坐标例2（1）把点M的极坐标(8,36例1：已知直线的极坐标方程为sin（2）把点P的直角坐标(6,2)，(2,2)和(0,15)化成极坐标

21、已知点的极坐标分别为（3，），（2，）43求它们的直角坐标。2、已知点的直角坐标分别为（3，3），（2，2求它们的极坐标。3）3、把方程x22y23xy4x0化为极坐标方程。4、把方程2cos29，cos2sin2化为直角坐标方程。

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5、已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A,判断三角形5，，B5，，C43，623ABC的三角形的形状，并计算其面积.

（三）、圆和直线的极坐标方程

1、圆心在（a，0）半径为a的方程为：2、圆心在（a，）半径为a的方程为：23、圆心在（a，）半径为a的方程为：34、圆心在（a，）半径为a的方程为：25、圆心在极点，半径为a的方程为：6、经过（a，0）且垂直于极轴的直线方程为：7、经过（a，0）且与极轴所成角为的直线方程为：

练习2、按下列条件写出圆的极坐标方程：(1)以A(3,0)为圆心，且过极点的圆；

(2)以B(8，)为圆心，且过极点的圆；2

(3)以极点O与点C(-4,0)连接的线段为直径的圆；(4)圆心在极轴上，且过极点与点D(23，)的圆。56例题1：求过极点，倾斜角为4的射线的极坐标方程。2、求过极点，倾斜角为4直线的极坐标方程。

求直线的极坐标方程步骤1.根据题意画出草图；2.设点M(,)是直线上任意一点;3.连接MO；4.根据几何条件建立关于,的方程,并化简；5.检验并确认所得的方程即为所求.

（四）、极坐标系内的距离问题

1、已知A（2，），B（3，），求|AB|26SAOB(o为极点）。2、曲线方程为sin（A到该曲线的距离。3、求曲线2cos上的点与定点（1，）2的最近距离和最远距离。4）22，求

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扩展阅读：选修4-4知识点及题型总结

选修44知识点及题型总结一、知识点

xx,(0),1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:yy,(0).的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简

称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).

极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。

如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：2x2y2,xcos,y

ysin,tan(x0)

x

6。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；

在极坐标系中，以C(a,0)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos；在极坐标系中，以C(a,2)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；

7.在极坐标系中，(0)表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是

cosa.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数

xf(t),t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这

yg(t),条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，

简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

xarcos,222(为参数).9．圆(xa)(yb)r的参数方程可表示为ybrsin.椭圆

xa22yb22xacos,(为参数).1(ab0)的参数方程可表示为ybsin.第1页共4页抛物线y2x2px2,(t为参数).2px的参数方程可表示为y2pt.xxotcos,经过点MO(xo,yo)，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为

yyotsin.参数）.

10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

二、题型总结

（一）、方程的伸缩变换

"x2x1、已知y2x，求经过变换后的方程。"y3y2x"2x22、经过变换后的方程为y2x，求"y3y变换前的方程。3、求将曲线y2sin3x变成ysinx的变换。

（二）、极坐标与直角坐标的互化

21、已知点的极坐标分别为（3，），（2，）43求它们的直角坐标。2、已知点的直角坐标分别为（3，3），（2，23）求它们的极坐标。3、把方程x2y3xy4x0化为极坐标方程。4、把方程cos29，cos2sin2化为直角坐标方程。222

第2页共4页（三）、圆和直线的极坐标方程

1、圆心在（a，0）半径为a的方程为：2、圆心在（a，）半径为a的方程为：23、圆心在（a，）半径为a的方程为：34、圆心在（a，）半径为a的方程为：25、圆心在极点，半径为a的方程为：6、经过（a，0）且垂直于极轴的直线方程为：7、经过（a，0）且与极轴所成角为的直线方程为：

8、圆心在（2，），半径为1的圆的方程为：49、经过（2，），且与极轴所成角为的36直线方程为：

（四）、极坐标系内的距离问题

1、已知A（2，），B（3，），求|AB|26SAOB(o为极点）。2、曲线方程为sin（A到该曲线的距离。3、求曲线2cos上的点与定点（1，）2的最近距离和最远距离。4）22，求

（五）、常见的参数方程

1、圆心在（a,b）半,径为r的圆的方程为：2、中心在原点，焦点在x轴的椭圆的方程为：3、中心在原点，焦点在x轴的双曲线的方程为：4、顶点在原点，焦点在x正半轴的抛物线的方程为：5、经过（x0，y0）倾斜角为的直线方程为：

（六）、参数方程化为普通方程

第3页共4页1xtt1、yt1tx12sint3、y23cost1txete2、yet1tex3sint4cost4、y4sint3costxsin2t5、ycostsint

22（七）、参数方程的简单应用

1、已知P（x，y）是曲线xy2y上的点（1）求2xy的取值范围（2）求(x2)（y3）的取值范围（3）求y1x2的取值范围22（4）若xya0恒成立，求a的取值范围2、点P在曲线x2

16y2121上，求它到直线x2y120的距离的最大值和最小值，并给出对应点的坐标。

3t(t为参数）x1y2t3.已知直线L的参数方程是：

（１）求t=1时，对应的点Ｐ坐标（２）求点Ｐ到点Ｍ（－１，２）的距离（３）求直线L的倾斜角（４）求直线L被曲线

2xy322截得弦长及弦中点坐标

4、经过抛物线y2x外一点M（2，4）且倾斜角为4的直线与其交于M1、M2（1）设M1M2中点为M0，求它的坐标（2）求|M1M2|、|MM1||MM2|和|MM1||MM2|(3)若线段M1M2上一点M3满足求M3的坐标MM1MM2M1M3M2M3

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