高中数学必修4知识点总结：第三章 三角恒等变换

高中数学必修4知识点总结：第三章 三角恒等变换

高中数学必修4知识点总结

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2⑵cos2cos2sin22cos2112sin2

,1cos2sin2升幂公式1cos2cos222cos211cos22，sin．降幂公式cos222⑶tan2

2tan．21tan万能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan222:26、半角公式

α1cosαα1cosαcos;sin2222α1cosαsin1cosααtan21cosα1cosαsinα（后两个不用判断符号，更加好用）

x)B27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的yAsin(形式。sincos22sin，其中tan．28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，

倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是

的二倍；是的二倍；22430o；cos；②1545306045；问：sin12122ooooo

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常

化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的

代换变形有：1sincostancotsin90tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用

降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式

22oo1cos常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：

1tan1tan_______________；______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

asinbcos=；（其中

tan；）

1cos；1cos；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值

与特殊角的三角函数互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

扩展阅读：必修4第三章三角恒等变换知识点总结及训练

第三章三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantantantan1tantan（tantantan；1tantan）

⑹tan（tantantan1tantan）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2⑵cos2cossin2cos112sin

2cos升幂公式1cos降幂公式cos2222222,1cos2sin22．

cos22，sin121cos22⑶tan2

2tan1tan2．

万能公式:2tanα23、半角公式

cosα21tan2sinα;cosα2α1tan1tan2:1cosα2;sinα21cosα2α22α2α1cossincosααα1tan21cosα1cosαsinα（后两个不用判断符号，更加用）

4、合一变形

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的yAsin(x)B形式。sincos

sin，其中tan22．

5、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，

可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是②1545306045ooooo2的二倍；

2是

4的二倍；

302o；③()；

4)(④

42(4)；⑤2()()(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角

函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角

函数值，例如常数“1”的代换变形有：1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般

采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式1cos常用升幂化为有理式。

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及

变形应用

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化

低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

巩固练习

一．选择题1.已知cosA.

52131213,(32,2)，则cos(4)（）

B.

7213C.

17262D.

72

2.若均,为锐角，sin255,sin()35,则cos（）

A.25或255B.

252525C.

525D.255

3.(cossin1212)(cos12sin12)（）A.31132B.2C.

2D.

2

4.tan700tan5003tan700tan500（）

A.3B.

33C.33D.3

5.

2sin2cos2）

1cos2cos2（A.tanB.tan2C.1D.

12

6.已知x为第三象限角，化简1cos2x（）

A.

2sinxB.2sinxC.

2cosxD.2cosx

7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于

45,则这个三角形底角的正弦值为（A．1010B．10C．310D．3101010108.若3sinx3cosx23sin(x),(.)，则（）

A.6B.

6C.

56D.56

9.已知sincos13，则sin2（）

A．89B．12C．

12D．

89

10.已知cos22，则cos43sin4的值为（）

A．223B．

3C．

49D．1

）

11.求cosA.

1115cos211cos124311cos411cos511（）

2B.

x2C.1D.0

x212.函数ysinA．x1133cos的图像的一条对称轴方程是（）

53B．xC．x53D．x3

二．填空题

13．已知,为锐角，cos110,cos15,则的值为．

14．在ABC中，已知tanA,tanB是方程3x27x20的两个实根，则tanC．15.若sin235,cos245，则角的终边在象限．

16.代数式sin15ocos75ocos15osin105o．三．解答题

17．△ABC中，已知cosA

18．已知

19．已知α为第二象限角，且sinα=

35,cosB513,求sinC的值．

234,cos()1213,sin()35,求sin2．

154)4,求的值．

sin2cos21sin(

20.已知(0,),(0,),且tan()412,tan17，

求tan(2)的值及角2．

21．已知函数f(x)cos2x3sinxcosx1，xR.（1）求证f(x)的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．

22.已知A、B、C是ABC三内角，向量m(1)求角A;(2)若

1sin2BcosBsinB22n(cosA,sinA),且(1,3),m.n=1

3,求tanC.

23.已知函数f(x)sinxsin(x(1)求(2)求(3)若

f(x)的单调区间；

2),xR.

f(x)的的最大值和最小值；

f()34，求sin2的值.

24.已知

34,tancot103

(1)求tan的值；

5sin228sin2cos211cos228(2)求

2sin2的值.

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