新北师大版八年级数学一次函数知识点总结+练习

新北师大版八年级数学一次函数知识点总结+练习

第四章：一次函数知识点总结

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式svt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应1

例题：下列函数（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中，是一次函数的

x有（）

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。（x的取值范围）一次函数

1.．自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b（k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为任意不为零实数）

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数性质：

1在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

2一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

应用

一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当kx2B.x10，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得

x1>x2。故选A。判断函数图象的位置

例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）

走向：k>0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b

将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.

若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________.

已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－111、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），

b>0b0图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k0时，向上平移；当b

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

y1=kx1+b①和y2=kx2+b②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函数的表达式。15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

扩展阅读：新北师大版数学八年级上册一到七章知识点梳理(适合复习练习)

新北师大版八年级上数学第一章到第七章知识点总结

第一章勾股定理

【主要知识】

1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________

【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。

2、（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。

（2）勾股数：满足abc的三个正整数，称为______________。3、勾股定理的应用

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）

A．26B．18C．20D．21

2、在下列数组中，能构成一个直角三角形的有（）①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17

A、4组B、3组C、2组D、1组

3、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)－ｃ,则此三角形是().A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等边三角形4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④8a，15a，17a（a0）；⑤9，40，41。其中是勾股数的有（）组

A、1B、2C、3D、4

5、将Rt△ABC的三边都扩大为原来的2倍，得△A’B’C’,则△A’B’C’为()A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（）

A：5B：10C：52D：5

7、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a6)b8c10的形状是（）

A：底与边不相等的等腰三角形B：等边三角形C：钝角三角形D：直角三角形

222

2220，则三角形

第二章实数

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数

无理数无限不循环小数负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,32等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如

π+8等；3（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“a”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意a的双重非负性：

a0a0

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：3a3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，

ab0ab,ab0ab,

ab0ab

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，1ab;abaa1ab;1ab;bb（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则abab。（5）平方法：设a、b是两负实数，则abab。五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“2、性质：

（1）(a)a(a0)

a(a0)

2（2）aa

22”；被开方数a必须是非负数。

2a(a0)

（3）abab(a0,b0)（abab(a0,b0)）（4）

aa(a0,b0)（bbaba(a0,b0)）b3、运算结果若含有“a”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律

加法交换律abba

加法结合律(ab)ca(bc)乘法交换律abba乘法结合律(ab)ca(bc)乘法对加法的分配律a(bc)abac

第三章、位置的确定和直角坐标系

一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念1、平面直角坐标系

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念

对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征（1）、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限x0,y0

点P(x,y)在第二象限x0,y0点P(x,y)在第三象限x0,y0点P(x,y)在第四象限x0,y0（2）、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上y0，x为任意实数点P(x,y)在y轴上x0，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

(6)、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x

22（3）点P(x,y)到原点的距离等于xy

三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（x，y）的变化x×a或y×ax×a，y×ax×（-1）或y×（-1）x×（-1），y×（-1）x+a或y+a图形的变化被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍放大（缩小）为原来的a倍关于y轴或x轴对称关于原点成中心对称沿x轴或y轴平移a个单位x+a，y+a沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单

第四章、一次函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点

（1）关系式（解析）法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成ykxb（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

特别地，当一次函数ykxb中的b=0时（即ykx）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数ykxb的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。k的符号b的符号函数图像y0x图像特征k>0b>0图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。y0xy0xy0xb0图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小K定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

7、一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

第五章、二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解（2）一次函数与二元一次方程组的关系：

a1c1yx二元一次方程组a的解可看作两个一次函数xbyc1111bb11axbyc222

ac和y2x12的图象的交点。

b2b2

当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。一．填空题

1、方程中含有＿个未知数，并且＿＿的次数是1，这样的方程是二元一次方程。2、二元一次方程组的解题思想是＿＿＿＿＿＿，方法有＿＿＿，＿＿＿法。3、将方程10－2（3-y）=3（2-x）变形，用含x的代数式表示y是＿＿＿＿＿。

－－

4、已知3x2a+b3－5y3a2b+2=-1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b=＿＿＿。1

5、在公式s=v0t+at2中,当t＝1时，s=13,当t=2时，s=42，则t=5时，s=_____。

26、解方程组2x3y123x4y17(1)(2)时，可以__________将x项的系数化相等，还可以

____________将y项的系数化为互为相反数。1

7、已知2x3m-2n+2ym+n与x5y4n+1是同类项，则m=_____，n=_____。

28、写出2x+3y=12的所有非负整数解为_______________________________。3a-b2a+c2b+c

9、已知==,则a∶b∶c=_______________。

357

xmxn2m-6

10、已知是方程2x－3y=1的解，则代数式的值为_____。和3n-5ynym二．解答题

21、解下列方程组1、用代入法解4x3y5

2xy2

2、用代入法解3x5y9

2x7y6注意：二元一次方程组本章节的相关应用题见书上每一章节的经典题型。提高成绩的学生可以查看我的其它文档，二元一次方程组提高题型。

第六章、数据分析

1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数

2、平均数

（1）平均数：一般地，对于n个数x1,x2,,xn,我们把个数的算术平均数，简称平均数，记为x。

（2）加权平均数：3、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。4、中位数

一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

5、特别注意极差，方差和标准差的计算公式，以及这三个所能表示的实际意义！6，要求学生会使用饼状图计算数据和计算数据。根据图形判断数据的聚散程度！！

第七章、平行线的证明

1．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝80°，那么∠4＝__________.

1(x1x2xn)叫做这nn

2．如图所示，∠ABC＝36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝__________.

3．如图所示，AB∥CD，∠1＝115°，∠3＝140°，则∠2＝__________.

4．如果一个三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是__________三角形．5．一个三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则与此对应的三个内角的比为__________．

6.如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝65°，则∠BFC＝__________.

7．“同角的余角相等”的题设是__________，结论是__________．

8．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B＝∠1，∠D＝∠2，则∠BED的度数为__________．

9．如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．

10．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果该垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是__________．

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