权威：初中数学函数知识点总结

权威：初中数学函数知识点总结

初中数学知识点总结-----函数

1．常量和变量

在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数．2．函数

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．3．自变量的取值范围

(1)整式：自变量取一切实数．(2)分式：分母不为零．

(3)偶次方根：被开方数为非负数．

(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零．4．函数值

对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x＝a时的函数值．5．函数的表示法

(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．6．函数的图象

把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．由函数解析式画函数图象的步骤：

(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；

(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来．7．一次函数(1)一次函数

如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数．(2)一次函数的图象

一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)点和点的直线．特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线．需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”，因为还有直线y＝m(此时k＝0)和直线x＝n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象．(3)一次函数的性质

当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为．(4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．

②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．

③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．8．反比例函数(1)反比例函数

如果(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数．(2)反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线．(3)反比例函数的性质

①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．

②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．

③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．(4)k的两种求法

①若点(x0，y0)在双曲线上，则k＝x0y0．②k的几何意义：

若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB

(5)正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数，则当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

1．二次函数

如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．

几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．2．二次函数的图象

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线．由y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．3．二次函数的性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：

(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；(2)若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大；当x＝，y有最小值；

若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x＝时，y有最大值；

(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为(0，c)；

(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：

＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当当4．抛物线的平移

抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．

扩展阅读：初中数学函数知识点归纳

学大教育

初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法

初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

一、一次函数

1.定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。2.图象及其性质（1）形状、直线

k0时，y随x的增大而增大，直线一定过一、三象限（2）

k0时，y随x的增大而减小，直线一定过二、四象限（3）若直线l1：yk1xb1l2：yk2xb2

当k1k2时，l1//l2；当b1b2b时，l1与l2交于(0，b)点。

（4）当b>0时直线与y轴交于原点上方；当b学大教育

(1)是中心对称图形，对中称心是原点（2）对称性：是轴直线yx和yx(2)是轴对称图形，对称k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小（3）

k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大（4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

P（1）应用在u3.应用（2）应用在（3）其它F上SS上t其要点是会进行“数结形合”来解决问题二、二次函数

1.定义：应注意的问题

（1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）（2）二次项指数一定为22.图象：抛物线

3.图象的性质：分五种情况可用表格来说明表达式(1)y=ax2顶点坐标对称轴(0，0)最大（小）值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0，0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x－(h，0)h)2直线x=hy最小=0y最大=0y随x的变化情况随x增大而增大随x增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小直线x=0(y轴)①若a>0，则x=0时，若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=0时，①若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a学大教育

表达式h)2+k顶点坐标对称轴直线x=h最大（小）值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay随x的变化情况随x的增大而增大随x的增大而减小b2a时，①若a>0，则x>b2a(4)y=a(x－(h，k)①若a>0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a0，则x=4acb24ay最小=4acb24ab时，y随x的增大而增大时，②若a2a2a时，y随x的增大而减小b②若a学大教育

一次函数图象和性质

【知识梳理】

1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函数ykxb的图象是经过（3.一次函数ykxb的图象与性质

图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限y随x的增大y随x的增大而y随x的增大y随x的增大性质而而而而

【思想方法】数形结合

k、b的符号k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0b，0）和（0，b）两点的一条直线.k反比例函数图象和性质

【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．2.反比例函数的图象和性质

k的符号k＞0yoxk＜0yox

图像的大致位置经过象限性质

第象限在每一象限内,y随x的增大而第象限在每一象限内,y随x的增大而3．k的几何含义：反比例函数y＝的几何意义，即过双曲线y＝

k(k≠0)中比例系数kxk(k≠0)上任意一点P作x4

x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB

函数学习方法学大教育

的面积为.

【思想方法】数形结合

二次函数图象和性质

【知识梳理】

1.二次函数ya(xh)2k的图像和性质

图象开口对称轴顶点坐标最值增减性

在对称轴左侧在对称轴右侧当x＝时，y有最值y随x的增大而y随x的增大而a＞0yOa＜0x当x＝时，y有最值y随x的增大而y随x的增大而锐角三角函数

【思想方法】

1.常用解题方法设k法2.常用基本图形双直角

【例题精讲】例题1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=

14，则tanB=______;（2）若cosA=，则tanB=______．255

函数学习方法学大教育

例题2.（1）已知：cosα=

23，则锐角α的取值范围是（）A．0°

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