21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程

21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程

高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程

※※※※※※※※※装第二章圆锥曲线与方程

本章知识结构：

圆锥曲线的实际背景

本章知识要点：

标准方程简单的几何性质椭圆双曲线抛物线※※※※※※※※※※※※简单应用订2.1曲线与方程

一、曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；

（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.二、求曲线的方程1.解析几何：

用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.解析几何研究的主要问题是：

（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.2.求曲线方程的步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合PMp(M)；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；

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※※※※※※※※※※※※线※※※※※※※※※※盘点知识夯实基础逐步提高

（4）化方程f(x,y)0为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

简言之：①建系、取点②列式③代换④化简⑤证明.

2.2椭圆

一、椭圆的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2；当2aF1F2时，表示线段F1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：

标准方程当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab图形范围对称轴对称中心axa，bybaya，bxbx轴、y轴坐标原点O(0,0)x轴、y轴坐标原点O(0,0)第2页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装长轴短轴顶点坐标焦点坐标离心率长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a※※※※※※※※※※※※注意：

1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、

b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，e的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.

c且0e1，e可以刻画椭圆a2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.

4.椭圆的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线

订※※※※※※※※※※※※线ca2l：x的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的

ac焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.

x2y25.椭圆方程221(ab0)常用三角换元为xacos,ybsin.

ab三、点与椭圆位置关系

※※※※※※※※※※x2y2点P(x0,y0)与椭圆221(ab0)位置关系：

abx02y02（1）点P(x0,y0)在椭圆内221（含焦点）

ab（2）点P(x0,y0)在椭圆上x0y012222abx02y02（3）点P(x0,y0)在椭圆外221

ab第3页共6页

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四、直线与椭圆位置关系

（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系相交相切相离（2）弦长公式：

设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)

2x1x2，或|PP则|PP12|1k12|1公共点有两个公共点有且只有一个公共点无公共点判定方法000直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式1y1y2(k0).k2

2.3双曲线

一、双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.

注意：当2aF1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，表示分别以F1F2时，轨迹不存在.

二、双曲线的标准方程与几何性质：标准方程当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab图形第4页共6页

高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装范围对称轴对称中心实轴虚轴顶点坐标焦点坐标渐近线离心率xa，或xaya，或yax轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2bx轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2b※※※※※※※※※※※※(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a订注意：

1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、

※※※※※※※※※※※※线b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，e张口就越大.

c且e1.e越大，双曲线的a2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e2.3.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定

ca2直线l：x的距离的比是常数e(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双

ac曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.

※※※※※※※※※※x2y25.共渐近线的双曲线可写成22(0)；

abx2y221(b2a2).共焦点的双曲线可写成2ab

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2.4抛物线

一、抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：

标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率注意：

1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.

22.若点M(x0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y轴y0y轴x轴(0,0)e1x轴(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.23.若过焦点的直线交抛物线y2px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长

ABx1x2p.

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扩展阅读：21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程

椭圆

一、椭圆的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示线段F1F2；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时2标准方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)图形范围axa，bybaya，bxb对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)长轴、短轴长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b顶点坐标(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2离心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间

满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，eca且0e1，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.

2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.

3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.

当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xa24.椭圆的第二定义：c的

距离的比是常数eca(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.三、点与椭圆位置关系

P(xx2y2x22点0y00,y0)与椭圆a2b21(ab0)位置关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆内a2b21

（2）点P(xy22（3）点P(xx220y00,0)在椭圆上x0y0b210,y0)在椭圆外a2a2b21

四、直线与椭圆位置关系

（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点0直线与椭圆方程首相切有且只有一个公共点0先应消去一个未知数得一元二次方程相离无公共点0的根的判别式（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)

则|PP12|1k2x1x2，或|PP12|11k2y1y2(k0).双曲线

一、双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数

2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示分别以F1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时2标准方程xy21(a0,y2a2b2b0)a2x2b21(a0,b0)图形范围xa，或xaya，或ya对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)实轴、虚轴实轴长2a，虚轴长2b实轴长2a，虚轴长2b顶点坐标(a,0)(0,a)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2渐近线xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx离心率eca(其中e1)eca(其中e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、b、c之

间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，eca且e1.e越大，双曲线的张口就越大.

2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线为yx离心率e2.a23.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：

xc

的距离的比是常数eca(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.

2.4抛物线

一、抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：

标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

图形

焦点坐标(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)

准线方程xpppp2x2y2y2范围x0x0y0y0

对称性x轴x轴y轴y轴

顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

离心率e1e11

e1e

1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.

2.若点M(x2p0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02.3.若过焦点的直线交抛物线y22px(p0于)A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长

ABx1x2p.

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