人教版高中数学选修2-1知识点小结

人教版高中数学选修2-1知识点小结

选修2-1知识点

选修2-1

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”：p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、若原命题为“若p，则q”，则它的逆命题为“若q，则p”.4、若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、若原命题为“若p，则q”，则它的逆否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、p是q的充要条件：pq

p是q的充分不必要条件：pq，qpp是q的必要不充分条件：pq,qp

p是q的既不充分不必要条件：pq,qp8、逻辑联结词：

（1）用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．全真则真，有假则假。

（2）用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．全假则假，有真则真。

（2）对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．真假性相反9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．

例：“a=1”是“x0,2xa1”的（）xA．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

第二章圆锥曲线与方程

1、椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率xy1ab022abaxa且byb1a,0、2a,010,b、20,bF1c,0、F2c,02222yx1ab022abbxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c短轴的长2b长轴的长2aF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e120e1aa3、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

4、双曲线的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距

y2x221a0,b02abya或ya，xR10,a、20,aF10,c、F20,cx2y221a0,b02abxa或xa，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0虚轴的长2b实轴的长2aF1F22cc2a2b2对称性离心率渐近线方程关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称cb2e12e1aabaxyxab5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的

y“通径”，即2p．8、焦半径公式：

p；2p若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0；

2p若点x0,y0在抛物线x22pyp0上，焦点为F，则Fy0；

2p若点x0,y0在抛物线x22pyp0上，焦点为F，则Fy0．

29、抛物线的几何性质：y22pxy22pxx22pyx22py标准方程p0p0p0p0若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0图形顶点0,0x轴pF,02pF,02pF0,2对称轴y轴pF0,2焦点准线方程xp2xp2yp2yp2离心率e1范围

x0x0y0y0

解题注意点：

1、“回归定义”是一种重要的解题策略。如：

（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

2、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、0、0.

应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)

常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；

②点差法（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：x1x2yy2yy2x0,12y0,21k）22x2x1（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）

①直线具有斜率k，两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)

2AB1k2x1x2(1k2)(xx)4x1x21211y1y22k②直线斜率不存在,则ABy1y2.

（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。

考查三个方面：A存在性（相交）；B中点；C垂直（k1k21）

注:1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.

3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）

（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建设现（限）代化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。

例1.已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；A．PF1PF24B．PF1PF26C．PF1PF210D．PF1

例2已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF260，

2PF2212

SPF1F2x2y2123．求该双曲线的标准方程（答：1）

412例3已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m的取值

x21范围。（答：y21;m(,2)）

32y2例4过点A（2，1）的直线与双曲线x1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹

22方程。

第三章空间向量与立体几何

bx,y,zay2y1,z2z．ax,y,z11、空间向量及其运算设则bx1x111，222，2,12abx1x2,y1y2,z1z2．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．aaax12y12z12．

x1x2y1y2z1z2abcosa,b8．222222abx1y1z1x2y2z279x1,y1,z1，x2,y2,z2，则dx2x1y2y1z2z1222．

（10）共面向量定理：p,a,b共面pxayb(x,yR)；

APxAByACP、A、B、C四点共面OPOAxAByAC

OPxOAyOBzOC(其中xyz1)（11）空间向量基本定理pxaybzc(x,y,zR)（不共面的三个向量a,b,c构成一组基

底，任意两个向量都共面）

2、平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（a,b是a,b的方向向量，n是平面的法向量）

线线平行：a//ba//b

线面平行：a//an或a//b，b或axbyc(b，c是内不共线向量）面面平行：//n1//n2

3、垂直

线线垂直：ababab0

,ac(，b是c内不共线向量）线面垂直：aa//n或ab面面垂直：n1n2

4、夹角问题|ab|线线角cos|cosa,b|（注意异面直线夹角范围0）

2|a||b||an|线面角sin|cosa,n||a||n||n1n2|（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；二面角|cos||cosn1,n2||n1||n2|③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由））

1.距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）

|PAn|P到平面的距离d（其中A是平面内任一点，n为平面的法向量）|n|2.立体几何解题一般步骤

坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。

基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。

几何法：作、证、求异面直线夹角平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；线面角找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；

二面角定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.

扩展阅读：高中数学选修2-1知识点总结

高二数学选修2－1知识点

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.

若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.

若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真假假假真真假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

真真真假2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表

第1页共8页示．

含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．

第二章圆锥曲线与方程

11、平面内与两个定点F）的点的轨迹1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y21ab0a2b2axa且byby2x21ab0a2b2bxb且aya1a,0、2a,010,b、20,bF1c,0、F2c,010,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c短轴的长2b长轴的长2aF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e120e1aaa2xca2yc13、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

14、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的

第2页共8页点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,010,a、20,aF10,c、F20,c虚轴的长2b实轴的长2aF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称cb2e12e1aaa2a2准线方程xyccbayxyx渐近线方程ab16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准

线的距离为d2，则

F1d1d218、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：

p；2p若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0；

2p若点x0,y0在抛物线x22pyp0上，焦点为F，则Fy0；

2F2e．

若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0第3页共8页若点x0,y0在抛物线x22pyp0上，焦点为F，则Fy021、抛物线的几何性质：y22px标准方程p0图形顶点y22pxp0x22pyp0p．2x22pyp00,0x轴pF,02xp2y轴对称轴焦点pF,02xp2pF0,2yp2pF0,2yp2准线方程离心率e1范围x0x0y0y0第三章空间向量与立体几何

22、空间向量的概念：

1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指

的方向表示向量的方向．

，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）

4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

第4页共8页

1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间

以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起

点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵

循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．

24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，

记为0．a的长度是a的长度的倍．

25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结

合律．

分配律：abab；结合律：aa．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条

件是存在实数，使ab．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，

y，使xyC；或对空间任一定点，有xyC；或

若四点，，，C共面，则xyzCxyz1．a，b，30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．

aaa,b31、对于两个非零向量和b，若，则向量，b互相垂直，记作ab．

2第5页共8页osab,称为a，32、已知两个非零向量a和b，则abc的数量积，记作即bab．

ababcosab,．零向量与任何向量的数量积为0．

33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．

34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；

a2ba与b同向aaaab；，，abab023aaa；aba与b反向ab4cosa,b；5abab．

ab35、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．

37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，

存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．

38、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，

a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向

量都可以构成空间的一个基底．

39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位

正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，

一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实

数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底

第6页共8页e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．

40、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．3ax1,y1,z1．4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．

aaax12y12z12．

xxyyzzab8cosa,b212221221222．

abx1y1z1x2y2z27则dx2,y2,z2，9x1,y1,z1，

x2x1zz1y22y1222．

41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量

来表示．向量称为点的位置向量．

42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点

是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线

a相交于点，它们的方向向量分别为，b．为平面上任意一点，存在有序

a实数对x,y，使得xayb，这样点与向量，b就确定了平面的位置．44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．

45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//b

abR，ababab0．

46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//

anan0，aaa//nan．

a47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，b，则//a//b

第7页共8页ab，abab0．

48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有

abcoscos．

ab49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与nln的夹角为，则有sincos．

ln50、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，

n1n2则cos．

n1n251、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线

nl的距离为dcos,n．

n53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，

n则点到平面的距离为dcos,n．

n

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