初三数学寒假训练压轴题精选

初三数学寒假训练压轴题精选

初三数学寒假培训压轴题精选

1、（苏州市）已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B和∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合）。过点M作MN∥BC,交AC于点N，设MN=x.

(1)(2)

用x表示ΔAMN的面积SΔAMN

将ΔAMN沿MN折叠，使ΔAMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCMN所在的平面内），设点A落在平面BC-NM内的点为D，ΔDMN与四边形重叠部分的面积为y,①试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当x为何值时重叠部分的面积y最大,最大值为多少？

MBANC初三数学寒假培训压轴题精选

2、

3、⊙O1与⊙O2外切于O,其半径之比为1∶3，以直线O1O2为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O1相切于B，与⊙O2相切于A，与y轴相交于C（0，2），交x轴于M，连结OA、OB，（1）求证：∠AOB=90°；（2）求⊙O2的半径；

（3）求AB的解析式,过点O1，C，O2，的抛物线的解析式

（4）在直线AB上是否存在点P，使ΔMO2P与ΔMOB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由。初三数学寒假培训压轴题精选

4、（浙江卷）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0，数表达式为y23)，直线l2的函334x3，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，33设圆心C的横坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．

(1)填空：直线l1的函数表达式是，交点P的坐标是，∠FPB的度数是；(2)当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R=322时a的值.

(3)当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R=322，记四边形NMOB的面积为S(其中

点N是直线CM与l2的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；

若不存在，请说明理由．

yl2321FBP12CA-3-2-1O-1l13E4x初三数学寒假培训压轴题精选

答案：

4[解](1)y32x333yl2321P(1，3)

60

(2)设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D切点，连接CD，则CD⊥PD．

yFBP12CA-3-2-1O-1l13E4x是

l2321FBP12C过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC(∠PCD=∠CPG=30，CP=PC)，所以PG=CD=R．当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证．

取R=322时，a=1+R=321，

E4xA-3-2-1O-1l13

或a=-(R-1)332．

(第24题图甲)

(3)当⊙C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论：①如图乙，当0≤a≤321时，

Sy12334332[(a)]aa3a，23336l2当aFB32(3)63时，（满足a≤321），S有最大

321CP值．此时

123E4xA-3-2-1O-1l1图2

S最大值34(3)6339（或）．223②当332≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即a332时，S最大．此时S最大值12334333[(332)]332．23332332综合以上①和②，当a3或a332时，存在S的最大值，其最大面积为初三数学寒假培训压轴题精选

扩展阅读：浙教版初三数学寒假精选四十五题

寒假精选四十五题

一、选择题1、《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础.它是下列哪位数学家的著作（）

A、欧几里得B、杨辉C、笛卡尔D、刘徽

2、如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图像大致为（）

3、如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为（）A、40B、50C、60D、80。

4、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（对应的中心角（∠AOB）为120，AO的长为4cm，AB）

则图中阴影部分的面积为（）

1682)cm2B、(2)cm2A、(3316823)cm2D、(23)cm2C、(335、某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是（）

a1(ab)※6、定义新运算：ab=a，则函数y=3x的图象大致是（）

(ab且b0)b

7、两个不相等的正数满足a+b=2,ab=t-1,设S=(a-b)2,则S关于t的函数图像是（）A、射线（不含端点）B、线段（不含端点）C、直线D、抛物线的一部分8、设一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足（）A、16、用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形，折纸过程如图所示，则∠α等于______

7、按下列程序进行运算（如图）

规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。若x5，则运算进行_______次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是_____________8、已知a+b=3，则ab有最___值，为______

9、如果方程x4x30的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为____________

10、如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__________三、解答题

2nx2nxnx2nx1、已知函数y÷－＋3，无论n取何值，函数一定经过定点22xxxA和B，求直线AB的解析式。

2、我们把对非负实数x四舍五入到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果

n11xn，则xn。如：==0，==1，=2，22==4……试解决下列问题：

（1）填空：①=________（为圆周率）；②如果2x13,则实数x的取值范围为________

（2）①当x0,m为非负整数时,求证:xmmx；②举例说明xyxy不恒成立；（3）求满足x4x的所有非负实数x的值；32（4）设n为常数，且为正整数，函数yxx1的自变量x在nxn1范围内取4值时，函数值y为整数的个数记为a；满足kn的所有整数k的个数记为b.

求证：ab2n.（此小问看不懂没必要做）3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

4、给出下列命题：

命题1.点(1,1)是直线y=x与双曲线y=

1的一个交点;x8的一个交点;x27的一个交点;x命题2.点(2,4)是直线y=2x与双曲线y=命题3.点(3,9)是直线y=3x与双曲线y=

……

（1）请观察上面命题，猜想出命题n(n是正整数);（2）证明你猜想的命题n是正确的.5、如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15．已知⊙O的半径等于3，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．

6、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值。

-4-

1AB；

2

7、如图1，抛物线y＝ax－3ax＋b经过A(－1，0)，C(3，－2)两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线y＝kx＋1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；

（3）如图2，过点E(1，1)作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥x轴于点G，若线段MG:AG＝1:2，求点M，N的坐标．

8、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB=

2，BC=2，求⊙O的半径．2CDEOF

9、为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.

（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；

（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

10、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

AB⑴求证：△AMB≌△ENB；

⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.

11、已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

12、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．

(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

13、如图.⊙O中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，ABO，ACO，

BOC，求α、β、θ之间的数量关系。

14、（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由。（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由。（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’。

图①图②图③

15、如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，求点P的坐标。

16、已知⊙O过点D（3，4）,点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A。

⑴求sinHAO的值；

⑵如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sinCGO的大小怎样变化，请说明理由。

17、如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F．

（1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=，∠CAC=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

BC"EFB"CA

18、联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.

应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=

1AB，求∠APB的度数.2探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.

19、如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式．

（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R。①求证：PF=PR；

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

20、如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=（6090）（1）当=60°时，求CE的长；

（2）当6090时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

②连接CF，当CECF取最大时，求tan∠DCF的值。

2201*0AEFDBC

21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1,0），B（3,1），C（3,3），反比例函数

ymx0的图像过点D，点P是一次函数y=kx+3-3kk0的图象与该反比例函数的x一个公共点。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3-3kk0的图象一定过点C；

（3）对于一次函数y=kx+3-3kk0，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）。

22、已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

23、已知，点E是矩形ABCD的对角线BC上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为EC上的一动点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．⑴如图（甲），当点P为线段EC中点时，求证：PR+PQ=

12；5⑵如图（乙），当点P为线段EC上任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由；⑶如图（丙），当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

24、如图，抛物线F：y＝ax＋bx＋c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y

2

＝a′x＋b′x＋c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．

（1）当a＝1，b＝－2，c＝3时，求点C的坐标（直接写出答案）；（2）若a、b、c满足b＝2ac①求b:b的值；

②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

22

25、如图（1），抛物线yx2x4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线yxb与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2）），ABE与ACE的面积大小关系如何？当b4时，上述关系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.

答案与说明：

补充说明：1、共选了45个题目，没有按照难易程度编排，编排顺序是随意的。

2、题目的难度不算很大，多是一些有趣的思维训练题，概念理解题和简单的综合应用题。3、答案中红色问题希望能引起重视。4、标注※的题目非常推荐，值得一看。一、选择题

※1、A（你知道剩下三位数学家的成就吗？）2、A3、A4、C5、A6、B

※7、B（这个题能自己做出来的不简单）

※8、D（这是一个构造函数的题目，你看出来了吗？）※9、D（这个题很久以前出现过很多次，还记得吗？）10、D

二、填空题1、74

2、10（这个题研究数的外形）3、4≤a≤2

1

（这个题绝对经典）4n155、，

334、1

6、90°（折过就知道了）7、4,※12当b0.5时,xk1,则mx(mk)b,mk为mx的整数部分,b为其小数部分.xmmk1,mxmx.综上所述:xmmx.②举反例略

4x的图象，如图（yx的图像是难点）3433yx的图象与yx图象交于点(0,0),点(,1),点(,2),

34233x0,,.（绝对好方法，你能想到吗？）

421122（4）（此小问看不懂没必要做）函数yxx(x),n为整数，

42※（3）作yx,y当nxn1时,y随x的增大而增大，

1111(n)2y(n1)2,即(n)2y(n)2，①

222211yn2n,y为整数,44yn2n1,n2n2,n2n3,,n2n2n,共2n个y,n2na2n.②

k0,kn,

1111kn,(n)2k(n)2,③2222比较①，②，③得：ab2n.

则n3、（1）证明略；

3215xx(0x2.5)7524（2）y与x之间的函数解析式为y；y的最大值是．

43x215x(2.5x5)24（3）当x的值为

4040320时，△HDE是等腰三角形,,5,21111032

n34、(1)命题n:点(n,n)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点(n是正整数).

x(2)把xnyn2代入y=nx，左边=n2，右边=nn=n2，

∵左边=右边

∴点(n，n2)在直线上.

同理可证：点(n，n2)在双曲线上，

n3∴点(n，n)是直线y=nx与双曲线y=的一个交点，命题正确.（证明要严谨）

x2

5、1543

6、（1）略；（2）略；（3）8

1234x－x－2；（2）k＝－；※（3）M(3，－2)，N(1，－3)223（旋转180°意味着什么？你还记得吗？）7、（1）y＝

8、（1）直线CE与⊙O相切；（2）r=

6（又是一道可勾股可相似的题目）49、解：（1）由题意可知，

当x≤100时，购买一个需5000元，故y15000x；

当x≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以x≤

50003500+100=250．

10即100≤x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；当x>250时，购买一个需3500元，故y13500x；

5000x(0x100)，2所以，y16000x10x(100x250)，

3500x(x250).y2500080%x4000x．

(2)当0

当0≤t≤1时，S=3t33；当1过点D作DMEF于M，并延长DM交O于N，连接ON，交BC于T。因为DEF为等腰三角形，DMEF，所以DN平分BDC所以弧BN=弧CN，所以OTBC，所以CGOMNO

OM3ON5即当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sinCGO的值不变。

所以sinCGO=sinMNO17、（1）略；（2）当2时，△ACE≌△FBE．

18、（先根据准外心的概念可知，准外心位置应分三种不同的情况来分析：①PB=PC；②PA=PC；③PA=PB，然后具体解题。）应用：∠APB=90°.探究：解：若PB=PC，设PA=x，则∴x=

77，即PA=.88若PA=PC，则PA=2.

若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。故PA=2或

7.8※19、（1）y=x2；

（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），则：则：PF=PR=

==a2+1．

=a2+1，

∴PF=PR．（这样的计算你能算得又快有准吗？）②（2，3）、（2，3）．③△SFR是直角三角形．

20、（1）如果∠ABC=60°，在Rt△ABC中，CE=BCsin60°=10（2）①取BC的中点G，连接FG，CF，则AF=BG=DF=CG

3=532A1EF234MDBGC

∵AF∥BG,FD∥CG

∴四边形ABGF，四边形FGCD都是平行四边形又∵AB=5，BC=10，∴AB=BG=FG=CG=5，

∴四边形ABGF，四边形FGCD都是菱形∴∠3=∠4，AB∥FG∵AB∥FG∴∠1=∠2

设GF交CE于M则MG∥BE∴

MEBGCMCG∴EM=MC∵BE⊥CE∴GM⊥CE

∴FM垂直平分CE∴FE=FC

∴∠2=∠3=∠4=∠1∴∠EFD=3∠AEF∴k=3

②设BE=x，则AE=5-x

过点F作AB的垂线，垂足为N，则∠N=∠BEC=90°

NAEFDB∵AF∥BG∴∠NAF=∠B

GC

∴△NAF∽△EBC

ANAF1BEBC211∴AN=x，FN=CE

2211EN=AE+AN=5-x+x=5x

22∴

在Rt△EBC中，CEBCBE100x

222212100x22在Rt△NEF中，FEFCENFN=(5x)()

22222212100x22)]∴y=CECF=100x[(5x)+(22222=x5x100∵-1∴b－2bb′＋4ac＝0，又∵b＝2ac，∴3b－2bb′＝0．

2∴b:b＝

3②由①得，抛物线F′为y＝ax＋令y＝0，则ax＋∴x1＝－

22

222

3bx＋c．23bx＋c＝0．2bb，x2＝－．

a2abb，∴点C的坐标为（－，0）

a2a设直线OP的解析式为y＝kx．∵点D的横坐标为－∵点P的坐标为（－

cb，）2a2b2cacbb2ac∴－k＝，∴k＝－＝－＝－＝－

2b2b22a2bb∴直线OP的解析式为y＝－x．

2∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴ax＋bx＋c＝－∴x1＝－

2

bx．2bb，x2＝－．

a2abb，∴点B的横坐标为－．

a2a∵点P的横坐标为－

b2bbbb2ac把x＝－代入y＝－x，得y＝－(－)＝＝＝c．

2aa22a2ab∴点B的坐标为（－，c）．

a∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC＝OA）∴四边形OABC是平行四边形．又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形

（待定系数的函数综合问题是如今命题的宠儿，也是你们的弱点）25、（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）（2）当b＝0时，直线为yx，由yx2yxx4解得

x12x22，

y12y22所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）

11SABE424，SACE424

22所以SABESACE（利用同底等高说明面积相等亦可）当b4时，仍有SABESACE成立.理由如下

yxbx1b4x2b4由，解得，2yxx4y1b4by2b4b所以B、C的坐标分别为（－b4，－b4+b），（b4，b4+b），作BFy轴，CGy轴，垂足分别为F、G，则BFCGb4，而ABE和ACE是同底的两个三角形，

所以SABESACE.

yCGRBFO

（3）存在这样的b.因为BFCG,BEFCEG,BFECGE90所以BEFCEG所以BECE，即E为BC的中点

所以当OE=CE时，OBC为直角三角形因为GEb4bbb4GC所以CE2b4，而OEb所以2b4b，解得b14,Qb22，

所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.

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