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一次函数知识归纳总结

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-28 22:36:16 | 移动端:一次函数知识归纳总结

一次函数知识归纳总结

一次函数知识归纳总结一一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如:y=2x+3,y=-x+2,y=x等都是一次函数,y=x,y=-x都是正比例函数.

【说明】(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,b≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,自变量x的系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.(3)当b=0,k≠0时,y=kx仍是一次函数.(4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.

二正比例函数y=kx(k≠0)的图象与性质:(1)正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线;画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.

(2)增减性①当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;②当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.三一次函数的图象与性质:(1)由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特

b殊点:直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点(,0).

k但也不必一定选取这两个特殊点.

(2)增减性①k>0时,y的值随x值的增大而增大;②k0时,y的值随x值的增大而减小.(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.

(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;

①当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);

②当k>0,b0时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);

③当k0,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);

④当k0,b0时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).

(5)一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与正比例函数y=kx(k≠0)的图象之间的关系:直线y=kx+b可以看成直线y=kx上下平移b个单位得到的,当b0时,向上平移,当b0时,向下平移.例如:直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.直线y=x-1可以看作是正比例函数y=x向下平移一个单

位得到的.

四点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系

(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;

(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(x0,y0)必在函数的图象上.

例如:点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P′(2,1)不在直线y=x+l的图象上.五正比例函数及一次函数表达式的确定:若题目中明确告诉两个变量之间是一次函数的关系(或图像是直线)就用待定系数法,有的应用题则需根据题意列出。

先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.

(1)确定正比例函数及一次函数表达式的条件:

①由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点的坐标)就可求得k的值.②由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点的坐标或两对x,y的值.

(2)用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

①设:根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b,(其中k,b是未知的常量,且k≠0);

②代:将已知点的坐标或x,y的对应值代入函数表达式,得到方程(组),

③求:解这个方程(或方程组),求出待定系数k,b;

④写:写出函数关系式(把求得的k,b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中).

例如:已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式.

解:设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),

4k2kb13由题意可知,kb3解得5b345∴此函数的关系式为yx.

33六思想方法小结(1)函数方法.函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.

(2)数形结合法.数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.

扩展阅读:初中数学一次函数知识点总结

一次函数知识点总结:

一次函数:一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样,形式灵活,综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容:①会画一次函数的图像,并掌握其性质。②会根据已知条件,利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组,一元一次不等式的关系。突破方法:①正确理解掌握一次函数的概念,图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练,提高分析问题的能力。

函数性质:

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k.即:y=kx+b(k,b为常数,k≠0),∵当x增加m,k(x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时,b为函数在y轴上的点,坐标为(0,b)。

3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中:

当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时,两一次函数图像重合;当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时,两一次函数图像平行;当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交;当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数,k不等于0)则称y是x的一次函数图像性质

1.作法与图形:通过如下3个步骤:(1)列表.

(2)描点;[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点。(3)连线,可以作出一次函数的图象一条直线。因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b).

2.性质:

(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。

3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4.k,b与函数图像所在象限:

y=kx时(即b等于0,y与x成正比例):

当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限;当k>0,b

中考要求

1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数及变量思想,进一步发展抽象思维能力;经历一次函

数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作意识和能力.

2.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展数学应用能力;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展形象思维能力.

3.初步理解一次函数的概念;理解一次函数及其图象的有关性质;初步体会方程和函数的关系.

4.能根据所给信息确定一次函数表达式;会作一次函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题.中考热点

一次函数知识是每年中考的重点知识,是每卷必考的主要内容.本知识点主要考查一次函数的图象、性质及应用,这些知识能考查考生综合能力、解决实际问题的能力.因此,一次函数的实际应用是中考的热点,和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题.中考命题趋势及复习对策

一次函数是数学中重要内容之一,题量约占全部试题的5%~10%,分值约占总分的5%~

10%,题型既有低档的填空题和选择题,又有中档的解答题,更有大量的综合题,近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题,这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法,全面地考查计算能力,逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力.

针对中考命题趋势,在复习时应先理解一次函数概念.掌握其性质和图象,而且还要注重一次函数实际应用的练习.

复习要点

一次函数的图象和性质

正比例函数的图象和性质

考点讲析

1.一次函数的意义及其图象和性质

⑴.一次函数:若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一

次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.

⑵.一次函数的图象:一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b),(-,0)的一条直线,正比例函数y=kx的图

象是经过原点(0,0)的一条直线,如下表所示.

⑶.一次函数的性质:y=kx+b(k、b为常数,k≠0)当k>0时,y的值随x的值增大而增大;当k<0时,y的值随x值的增大而减小.

⑷.直线y=kx+b(k、b为常数,k≠0)时在坐标平面内的位置与k在的关系.①②③④

直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限);

2.一次函数表达式的求法

⑴.待定系数法:先设出式子中的未知系数,再根据条件列议程或议程组求出未知系数,从而写出这个式子的方法,叫做待定系数法,其中的未知系数也称为待定系数。

⑵.用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤:⑴写出函数表达式的一般形式;⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中,得到关于待定系数的议程或议程组;⑶解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数的表达式。

⑶.一次函数表达式的求法:确定一次函数表达式常用待定系数法,其中确定正比例函数表达式,只需一对x与y的值,确定一次函数表达式,需要两对x与y的值。

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