《导数及其应用》知识点总结
《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1.函数的平均变化率：函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为：
f(x2)f(x1)。
x2x12.导数的定义：设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值
yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在xx0处可导，xx并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)。函数f(x)在xx0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均变化率：
f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)；（3）取极限，当x无限趋近与0时，无限趋
xx近与一个常数A，则f(x0)A.4.导数的几何意义：
函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出yf(x)在x0处的导数，即为曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)。当点P(x0,y0)不在yf(x)上时，求经过点P的yf(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0。
5.导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则VS(t)表示瞬时速度，av(t)表示瞬时加速度。二、导数的运算
1.常见函数的导数：
（1）(kxb)k(k,b为常数)；（3）(x)1；
（2）C0(C为常数)；（4）(x2)2x；（6）(1)12；
xx1
（5）(x3)3x2；（7）(x)1；
2x（8）(xα)αxα1（α为常数）；
（10）(logax)1logae1(a0,a1)；
xxlna（12）(lnx)1；x（14）(cosx)sinx。
（9）(ax)axlna(a0,a1)；（11）(ex)ex；
（13）(sinx)cosx；
2.函数的和、差、积、商的导数：（1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)；（2）[Cf(x)]Cf(x)（C为常数）；
（3）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；
f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)](g(x)0)。（4）[g(x)g2(x)3.简单复合函数的导数：
yuux，即yxyua。若yf(u),uaxb，则yx三、导数的应用
1.求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数；（2）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数；（3）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域；②求导数f(x)；③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，
(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；
(2)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；
(3)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。2.求函数的极值：
设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的
变化情况：
xf(x)f(x)(,x1)x1(x1,x2)…xn(xn,)正负单调性0正负单调性0正负单调性（4）检查f(x)的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：
如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在区间(a,b)上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值。
4.解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0；
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0；不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。
（2）证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。
5.导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
扩展阅读：《导数及其应用》知识点总结
《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1.函数的平均变化率：函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为：
f(x2)f(x1)。
x2x12.导数的定义：设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值
yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在xx0处可导，xx并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)。函数f(x)在xx0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均变化率：
f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)；（3）取极限，当x无限趋近与0时，无限趋
xx近与一个常数A，则f(x0)A.4.导数的几何意义：
函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出yf(x)在x0处的导数，即为曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)。当点P(x0,y0)不在yf(x)上时，求经过点P的yf(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0。5.导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则VS(t)表示瞬时速度，av(t)表示瞬时加速度。二、导数的运算
1.常见函数的导数：
（1）(kxb)k(k,b为常数)；（3）(x)1；
（2）C0(C为常数)；（4）(x2)2x；（6）(1)12；
xx1
（5）(x3)3x2；（7）(x)1；
2x（8）(xα)αxα1（α为常数）；
（10）(logax)1logae1(a0,a1)；
xxlna（12）(lnx)1；x（14）(cosx)sinx。
（9）(ax)axlna(a0,a1)；（11）(ex)ex；
（13）(sinx)cosx；
2.函数的和、差、积、商的导数：（1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)；（2）[Cf(x)]Cf(x)（C为常数）；
（3）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；
f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)（4）[](g(x)0)。
g(x)g2(x)3.简单复合函数的导数：
yuux，即yxyua。若yf(u),uaxb，则yx三、导数的应用
1.求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数；（2）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数；（3）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域；②求导数f(x)；③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，
(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；
(2)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；
(3)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。2.求函数的极值：
设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)（或，则称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值）。f(x)f(x0)）
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的
变化情况：
xf(x)f(x)(,x1)x1(x1,x2)…xn(xn,)正负单调性0正负单调性0正负单调性（4）检查f(x)的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：
如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在区间(a,b)上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值。
4.解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0；
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0；不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。
（2）证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。
5.导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
友情提示：本文中关于《《导数及其应用》知识点总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，《导数及其应用》知识点总结：该篇文章建议您自主创作。
来源：网络整理 免责声明：本文仅限学习分享，如产生版权问题，请联系我们及时删除。
公文素材库友情提示：本网站所有内容为共享上传提供，不涉及任何商业利益，本站对此不承担任何保证责任！
Copyright © www.bsmz.net Corporation, All Rights Reserved 共享时代 共享你我他 版权所有