导数知识点总结

导数知识点总结

导数

考试内容：导数的背影．导数的概念．

多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．

（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点

导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值限limf"(x0)=lim1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量

x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极limx0xx0x限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

-1-

注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数yf(x)定义域为A，yf"(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为时，

yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limx0xxxy|x|，当x＞0xx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为yy0f"(x)(xx0).4.求导数的四则运算法则：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它

们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设f(x)2sinx，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和

2x2x

f(x)g(x)

sinxcosx在x0处均可导.

5.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则

yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：

n)"coxs(arcxs)i"nI.C"0（C为常数）(six11x2

"x)os(xn)"nxn1（nR）s"sinx(arcc(cox)11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex

(arcoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代数和形式.

③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，

y"1对两边求导可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx(xa1)(xa2)...(xan)两边同取自然对数，可转

(xb1)(xb2)...(xbn)1x

扩展阅读：导数复习知识点总结

高考数学复习详细资料导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值

yyf(x0x)f(x0)xx叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即x=。如果当x0时，

yx有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’

（x0）或y’|xx0。

lim即f（x0）=x0说明：

f(x0x)f(x0)ylimxx=x0。

yy（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，x有极限。如果x不存在极限，就说函数在点x0处

不可导，或说无导数。

（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；

yf(x0x)f(x0)x（2）求平均变化率x=；

y（3）取极限，得导数f’(x0)=x0x。

lim2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。

3．几种常见函数的导数:

xnnxn1;C0;①②③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;

11lnxlogxlogaeaxxxx(e)e;(a)alnax;⑧x⑤⑥;⑦.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

"""uv)uv.即：(

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

"""(uv)uvuv.函数乘以第二个函数的导数，即：

"""""(Cu)CuCu0CuCu若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

(Cu)"Cu".

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母

uu"vuv"2的平方：v‘=v（v0）。

形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y＇|X=y＇|Uu＇|X

201*高考数学复习详细资料导数应用知识清单

单调区间：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

"f如果(x)0，则f(x)为增函数；"f如果(x)0，则f(x)为减函数；

"f如果在某区间内恒有(x)0，则f(x)为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数(x)在(a，b)内的极值；②求函数(x)在区间端点的值(a)、(b)；

③将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：

0dx＝C；

1xm1xdx＝m1＋C（m∈Q，m≠－1）；

m1xdx＝lnx＋C；

exdx＝e＋C；

xaxxadx＝lna＋C；

cosxdx＝sinx＋C；

sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质①abkf(x)dxkf(x)dxabab（k为常数）；

ba②abf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxcb；

ac③a（其中a＜c＜b)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（a

2yxx1的切线，则其中一条切线为（）3．过点（－1，0）作抛物线

（A）2xy20（B）3xy30（C）xy10（D）xy10

4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r○1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，○

＋∞)上的变量，请你写出类似于

1的式子：；○

2式可以用语言叙述为：。○

y12x和yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是。

5．曲线

6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）

C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）

7．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间

(a,b)内有极小值点（）

A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知函数

fx1xaxeyfxx0,1fx11x。（Ⅰ）设a0，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，

求a的取值范围。

32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是（）9．

(A)－2(B)0(C)2(D)4

322x3(a1)x1,其中a1.10．设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

3f(x)x3x2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为11．设函数

（x1,f(x1)）（x,f(x)）2、2，该平面上动点P满足PAPB4,点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点.求

(I)求点A、B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？13．计算下列定积分的值

（1）312(4xx2)dx

（2）1（3）(x1)5dx；；

20(xsinx)dxcos2xdx（4）

22；

14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．典型例题

一导数的概念与运算

EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s变式：定义在D上的函数f(x)，如果满足：xD，常数M0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

S(t)1att1，要使在t[0,)上的每一时刻的瞬时速度是以

【文】（1）若已知质点的运动方程为

M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为S(t)2t1at，要使在t[0,)上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.EG：已知

f(x)1f(2x)f(2),则limx0xx的值是（）

A.

114B.2C.4D.－2

h0变式1：A．－１变式2：

A．

设f34,则limf3hf3为2h（）

Ｂ．－2C．－3D．1

fx0xfx03xxx0设fx在x0可导,则lim等于（）

2fx0B．

fx0C．

3fx0D．

4fx0

曲线h(t)在t0,t1,t2附近得变化情况。根据所给的函数图像比较变式：函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）//0f(2)f(3)f(3)f(2)yA.//0f(3)f(3)f(2)f(2)B.//0f(3)f(2)f(3)f(2)C.//0f(3)f(2)f(2)f(3)O1234xD.

EG：求所给函数的导数：

x31（文科）yxlog2x;yxe;ysinx(理科）y(x1)99;y2ex;y2xsin2x53nx。

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是

A．(－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)

EG：已知函数yxlnx.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点x1处的切线的方程.

xye变式1：已知函数.

（1）求这个函数在点xe处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()

111A.8B.4C.2D.1

EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

(1)f(x)x33x;(2)f(x)x22x3;(3)f(x)sinxx,x(0,);(4)f(x)2x33x224x1.

xf(x)xe变式1：函数的一个单调递增区间是

A.1,0B.2,8C.1,2D.0,2

y13xx2ax53

变式2：已知函数

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a的是.(2)若函数在[1,)上是单调增函数，则a的取值范围是.

32f(x)xax与g(x)bxc的图象的一个公共点，两函数的图t0t变式3：设，点P（，0）是函数

象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用t表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.

1f(x)x34x43EG：求函数的极值.

1f(x)x34x40,33求函数在上的最大值与最小值..

变式1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A．1个

B．2个C．3个D．4个

变式2：已知函数f(x)axbxcx在点

32yyf(x)x0b处取得极

aOx大值5，示.求：

其导函数yf"(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所（Ⅰ）

x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.

43f(x)axbx4，当x2时，函数f(x)极值3，变式3：若函数

（1）求函数的解析式；

（2）若函数f(x)k有3个解，求实数k的取值范围．

变式4：已知函数值范围。

f(x)x312x2xc2，对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取

xlnxxe,x0EG：利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：

11lnx1xx1，x1

变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的

实根，求实数a的取值范围.

32f(x)x3xxR,fmxf1mx0恒成立,求实数m的取值范围EG：函数若

fmsinf1m003f(x)x3xxR,2恒成立，求实数m的取值范围.变式1:设函数若

22(t,t)f(x)x(0x6)BAx变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M

处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，

(1)若t已知,求切线PQ的方程(2)求QAP的面积的最大值

变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然

后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式4:某厂生产某种产品x件的总成本

c(x)1201*3x75（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成

反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？

EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）

2131(1)dx;(2)(2x2)dx;(3)sinxdx;1x10x(4)sinxdx;(5)sinxdx022

变式1：计算：；

（1）

20cos2x22dx4xdxcosxsinx；0（2）

2y变式2：求将抛物线x和直线x1围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积.

12x0上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为12，试求：yx变式3：在曲线（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.

实战训练

1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为()

2.已知曲线S:y=3x－x3及点P(2,2),则过点P可向S引切线的条数为()(A)0

(B)1

(x0,y0)(C)2(D)3

.

3.C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:

(x01)(x02)204.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（）.

335(A)(,)(C)(,)(,2)2,3)22(B)22(D)(5.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1

6.函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，－1(B)3，-17(C)1，－17(D)9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(2,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.

8.设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.

9．（07湖北）已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是

y1x22，则f(1)f(1)

3f(x)12xx3]上的最小值是10．（07湖南）函数在区间[3，32yx2x4x2在点(1，3)11．（07浙江）曲线处的切线方程是9．.已知函数

f(x)x3ax2b(a,bR)

（Ⅰ）若函数f(x)图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：3a3；（Ⅱ）若

x0,1k≤1，函数yf(x)图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论的充要条件。

xxt12．(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsin2cos2+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.实战训练B

g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则1．（07福建）已知对任意实数x，有f(x)f(x)，x0时（）

A．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x)0

1x2

B．f(x)0，g(x)0D．f(x)0，g(x)0

2(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）ye2．（07海南）曲线在点

92eＡ．2

Ｂ．4e

2

Ｃ．2e

2

Ｄ．e

2x2ye(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）3．（07海南）曲线在点

92eＡ．4

22eＢ．

2eＣ．

e2Ｄ．2

2f(x)axbxc的导数为f"(x)，f"(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，4．（07江苏）已知二次函数

f(1)则f"(0)的最小值为（）

53A．3B．2C．2D．2

0xπ2，则下列命题中正确的是（）

5．（07江西）5．若

sinxA．

3344xsinxxsinx2x2sinx2x2πB．πC．ππD．

6．（07江西）若

sinx2xπ

0xπ2，则下列命题正确的是（）

A．B．

sinx2xπ

C．

sinx3xπ

D．

sinx3xπ

7．（07辽宁）已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（）A．0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值B．0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值C．0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值D．0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值

41yx3x1，38．（07全国一）曲线在点3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

1A．92B．91C．32D．3

x21y4的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（）9．（07全国二）已知曲线

A．1B．2C．3D．4

10．（07浙江）设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

1f(x)x32x1311．(07北京)f(x)是的导函数，则f(1)的值是

12．（07广东）函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是

3f(x)x12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则Mm13．（07江苏）已知函数22f(x)tx2txt1(xR，t0)．14．（07福建）设函数

（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

2)恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）若h(t)2tm对t(0，2f(x)2ax2x3a．a15．(07广东)已知是实数，函数如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围．

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