导数知识点总结及经典习题解答

导数知识点总结及经典习题解答

用心辅导中心高中数学

导数知识点及习题讲解

1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变

f(x0x)f(x0)量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yyxf(x0x)f(x0)xlimx0；比值

称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果

f(x)极限

yxlimx0f(x0x)f(x0)x存在，则称函数y"在点x0处可导，并把这

y|xx"0个极限叫做

limx0yf(x)在

x0处的导数，记作.，yf(x)"f(x0)或，即

f(x0)"=

yxlimx0f(x0x)f(x0)x②以知函数y

2.函数y⑴函数yf(x)定义域为A的定义域为B，则

A与B关系为AB.

f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

f(x)在点x0f(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.

f(x)可以证明，如果y事实上，令xx0于是

xx0处可导，那么y相当于x0.

点x0处连续.

x，则xx0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]x0x0

f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0⑵如果yf(x)点x0处连续，那么y0f(x)在点x0处可导，是不成立的.

0例：f(x)|x|在点x0处连续，但在点x0处不可导

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)f(x)在点(x0,f(x))"处的切线，切线

的斜率，也就是说，曲线y方程为

yy0f(x)(xx0)."在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是

f(x0)4.求导数的四则运算法则：

(uv)uv"""""yf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)""""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""（c为常数）

vu"vuv2"(v0)

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.I.C"0（C"为常数）(sinx)cosx

(arcsinx)"11x2

(x)nxn"n1"（nR）(cosx)sinx

(arccosx)"11x2

II.

(lnx)"1x

x(logax)"1xlogae

(arctanx)x"1211

(ex)e"x"x(a)alna

(arccotx)x"21

5.复合函数的求导法则：fx"((x))6.函数单调性：

f(u)(x)""或

y"xy"uu"x

⑴函数单调性的判定方法：设函数yyf(x)为增函数；如果f(x)"f(x)在某个区间内可导，如果

f(x)f(x)"＞0，则

＜0，则y为减函数

y2x3注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在(,)上

并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.

7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧

f(x)""＞0，右侧＜0，右侧

f(x)""＜0，那么f(x0)是极大值；＞0，那么f(x0)是极小值

f(x)f(x)例1．yf(x)x2x1处可导，则abaxbx1在x1

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）limf(a3h)f(ah)22；（2）h0hlimf(ah)f(a)

h0h

1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（）

A(3)B(π,2π)C(

3,52,222)D(2π,3)

2.已知函数f(x)=ax2＋c,且f(1)=2,则a的值为（）A.1B.2C.－1D.0

3f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f"(x)g"(x),则f(x)与g(x)满足（）

Af(x)2g(x)Bf(x)g(x)为常数函数

Cf(x)g(x)0Df(x)g(x)为常数函数

4.函数y=x3+x的递增区间是（）

A(,1)B(1,1)C(,)D(1,)

7．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（A(1,0)B(2,8)

C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)

8．函数y13xx3有（）

A.极小值-1，极大值1B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D.极小值-2，极大值2

9对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f"(x)0，则必有（）

Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)

11．函数yx3x2x的单调区间为___________________________________.

）

13.曲线yx34x在点(1,3)处的切线倾斜角为__________.

17．已知f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1)，且在x1处的切线方程是yx2，请解答下列问题：

（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的单调递增区间。

318．已知函数f(x)ax32(a2)x6x3

2（1）当a2时，求函数f(x)极小值；（2）试讨论曲线yf(x)与x轴公共点的个数。

19.已知函数f(x)x3ax2bxc在x（1）求a,b的值与函数f(x)的单调区间

（2）若对x[1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围

23与x1时都取得极值

扩展阅读：导数知识点总结及经典习题解答

导数知识点及习题讲解

1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值

yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极xx限limf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个limx0xx0x极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即

f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x②已知函数yf(x)定义域为A，yf"(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.

2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不一定成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为yy0f"(x)(xx0).

4.求导数的四则运算法则：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）

vu"v"uu(v0)2vv"②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它

们的和、差、积、商不一定不可导.

)"coxs(arcsx)i"nI.C"0（C为常数）(sixnx)o"s(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arcc11x2

11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccoxt)"5.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x6.函数单调性：

1x21

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则

yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.

7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值

yf(x)x2例1．x11处可导，则ab

axbx1在x

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

（1）limf(a3h)f(ah)f(ah2)2h；（2）limf(a)0h

h0h

1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（）

A(32,2)B(π,2π)C(

32,52)D(2π,3)

2.已知函数f(x)=ax2

＋c,且f(1)=2,则a的值为（）

A.1B.2C.－1D.0

3f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f"(x)g"(x),则f(x)与g(x)满足（）

Af(x)2g(x)Bf(x)g(x)为常数函数

Cf(x)g(x)0Df(x)g(x)为常数函数

4.函数y=x3+x的递增区间是（）

A(,1)B(1,1)C(,)D(1,)

7．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（A(1,0)B(2,8)

C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)

8．函数y13xx3有（）

A.极小值-1，极大值1B.极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值3D.极小值-2，极大值2

9对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f"(x)0，则必有（）

Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)

11．函数yx3x2x的单调区间为___________________________________.

3

）

13.曲线yx4x在点(1,3)处的切线倾斜角为__________.

17．已知f(x)axbxc的图象经过点(0,1)，且在x1处的切线方程是yx2，请解答下列问题：

（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的单调递增区间。

18．已知函数f(x)ax34233(a2)x26x32（1）当a2时，求函数f(x)极小值；（2）试讨论曲线yf(x)与x轴公共点的个数。

3219.已知函数f(x)xaxbxc在x2与x1时都取得极值3（1）求a,b的值与函数f(x)的单调区间

（2）若对x[1,2]，不等式f(x)c恒成立，求c的取值范围

2

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