高中数学函数性质总结

高中数学函数性质总结

函数性质

1..函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.

x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若

2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

3.多项式函数P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

5.互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数.k6.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

"xf(0)1,limx0g(x)1.x7.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分数指数幂(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a9.根式的性质（1）(na)a.（2）当n为奇数时，aa；

nnna,a0当n为偶数时，a|a|.

a,a0nn10.有理指数幂的运算性质(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ).

(2)(a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

rrrslogaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2)loga2注：设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为

2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要

单独检验.

12.对数换底不等式及其推论

1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.

aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga【例1】求下列各式的值：

n（3）（1）n（n1,且nN*）；（2）(xy)2.n（3）3；解：（1）当n为奇数时，nn（3）|3|3.当n为偶数时，n2mn.2（2）(xy)2|xy|.

当xy时，(xy)2xy；当xy时，(xy)2yx.a3na3n【例2】已知a21，求n的值.naa3n3nnn2naa(aa)(a1a2n)12n2n解：na1a211221nnnaaaa212n

【例4】已知函数f(x)a23x(a0,且a1).

（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.

2时，a23xa01.32所以，该函数的图象恒过定点(,1).

3（2）∵u23x是减函数，

∴当0a1时，f(x)在R上是增函数；当a1时，f(x)在R上是减函数.

21【例3】求下列函数的单调区间：（1）yax2x3；（2）y.x0.21u2解：（1）设ya,ux2x3.

解：（1）当23x0，即x由ux22x3(x1)24知，u在(,1]上为减函数，在[1,)上为增函数.根据yau的单调性，当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，y关于u为减函数.∴当a1时，原函数的增区间为[1,)，减区间为(,1]；当0a1时，原函数的增区间为(,1]，减区间为[1,).（2）函数的定义域为{x|x0}.设y而根据y1,u0.2x.易知u0.2x为减函数.u11的图象可以得到，在区间(,1)与(1,)上，y关于u均为减函数.u1∴在(,0)上，原函数为增函数；在(0,)上，原函数也为增函数.

xx2f(x1)f(x2)【例1】若f(x)ax(a0,且a1)，则f(1.)22证

明：

x1x2f(x1)f(x2)x1x2ax1ax2ax1ax22ax1ax2(ax1ax2)220.f()a22222xx2f(x1)fx(2)∴f(1.（注：此性质为函数的凹凸性）)22bx【例2】已知函数f(x)2(b0,a0).

ax111（1）判断f(x)的奇偶性；（2）若f(1),log3(4ab)log24，求a，b的值.

22bx解：（1）f(x)定义域为R，f(x)2f(x)，故f(x)是奇函数.

ax1b1（2）由f(1)，则a2b10.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.

a12a2b10由得a=1，b=1.

4ab3exa【例3】（01天津卷.19）设a＞0，f(x)是R上的偶函数.

aex（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上是增函数．

exa解：（1）∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)f(x)0.

aexexaexa111∴xx0(a)ex(a)ex0(a)(exex)0.

aeaeaaaex－e-x不可能恒为“0”，∴当

1－a＝0时等式恒成立，∴a＝1．a（2）在(0,)上任取x1＜x2，

ex11111f(x1)f(x2)x1ex2x2(ex1ex2)(x1)(ex1ex2)(1x1x2)x2aeeeeee(ex1ex2)(ex1ex21)x1x2x1x2∵e＞1，x1＜x2，∴ee1，∴ee＞1，＜0，

ex1ex2∴f(x1)f(x2)0，∴f(x)是在(0,)上的增函数．

【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.

（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t年后的世界人口数y（亿）与t的函数解析式；

（2）若人口的平均增长率为x%，写出201*年底世界人口数为y（亿）与x的函数解析式.如果要使201*年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？

t*解：（1）经过t年后的世界人口数为y54..8(11.t2)54.8t1.0N12,（2）201*年底的世界人口数y与x的函数解析式为y54.8(1x)18.由y54.8(1x)1866.8，解得x100(18所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.

66.81)1.1.54.

扩展阅读：高中数学 函数概念及其性质知识总结

数学必修1函数概念及性质（知识点总结）

（一）函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式注意：○

3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．子有意义的实数的集合；○

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

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4．快去了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6．常用的函数表示法及各自的优点：

1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否○

2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：描点法作图要注意：确定是函数图象的依据；○

4列表法：选取的自变量要有代表性，应函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○

能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。

sinX2

例如:y=2y=2cos(X+1)

7．函数单调性（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：

1任取x1，x2∈D，且x1

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）1利用二次函数的性质2利用图象求函数的最大3利○（配方法）求函数的最大（小）值○（小）值○用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；11．解答数学应用题的关键有两点：

一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；

二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.

函数的性质与函数图象的特点函数性质函数的图象定义域M值域N奇偶性奇函数偶函数定义图像特点一般为一条连续曲线,也可能是由若干条曲线或离散点组成.图像左右存在的范围图像上下存在的范围图像关于原点对称图像关于y轴对称在区间［a,b］内，图像从左到右上升CP(x,y)|yf(x),xM自变量x的取值范围函数值y的取值范围对任意的xM都有f(-x)=-f(x)对任意的xM都有f(-x)=f(x)对任意的x1、x2a,bM当x1

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