人教版高一数学三角函数图象与性质最全知识点总结级典型复习题

人教版高一数学三角函数图象与性质最全知识点总结级典型复习题

三角函数图象与性质复习题

函数ysinxycosxytanx图象定义域值域奇偶性最小正周期对称轴对称中心单调递增区间单调递减区间[RR{x|x2k,kZ}R[1,1][1,1]奇函数偶函数奇函数2；T＝x22；T＝2；T＝无2k,kZxk,kZ(k,0),kZ2[2k,2k],kZ[2k,2k],kZ(k,0),kZ[2k,2k],kZ2222k,232k],kZk,0),kZ2(k,k),kZ(22无要求：1、能正确画出ysinx，ycosx，ytanx的图象

2、给定条件，能够求ysinx，ycosx，ytanx的定义域、值域、单调区间；3、给定条件，能够求yAsin(x)中的A,,。

4、掌握正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。5、结合图象，会求诸如13sinx的取值范围。226、会作出含有绝对值的正弦、余弦、正切函数图象。如ysinx，ysinx

第1页/共2页常考题型：1、y3sin(2x4)的最小正周期是、对称轴是、单调递增区间

是、单调递减区间是；振幅是、相位是、初相是。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由ysinx变化而来。2、求y3sin(2x4),x[,]的单调递减区间。226,sin；tan1,tan2,tan3763、比较大小

cos(),sin84、求y3sin(2x3),x[,]的最大值、最小值及对应的x的取值范围。665、求y3asin(2x3),x[,],a0的最值及对应的x的取值。666、若y2asin(2x)b,x[0,]的最大值是1，最小值是5，求a，b的值。327、为了得到y3sin(2x)的图象，只须将y3sin(2x)的图象向平移个单位。

638、定义在R的函数f(x)，对任意xR都有f(x2)[1f(x)]f(x)1。（1）证明f(x)是周期函数。（2）若f(1)2，求f(201*)。

9、若yAsin(x)B(A0,0,和一个最低点(2)，在其一个周期内的图象上有一个最高点(12,3)

7,5)，求这个函数的解析式。1215,x[,]的值域266第2页/共2页

10、求f(x)2cosx2asinxb

扩展阅读：三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724x

y=cosx-4-72-5-321-1o2322523724x

yy=tanx-32--2o232x

2．三角函数的单调区间：

2k(kZ)，递减区间是ysinx的递增区间是2k，2232k，2k(kZ)；222k(kZ)，递减区间是ycosx的递增区间是2k，2k，2k(kZ)，

ytanx的递增区间是k，k(kZ)，

22（其中A0，0）3．函数yAsin(x)B

最大值是AB，最小值是BA，周期是T2，频率是f，相位是2x，初相是；其图象的对称轴是直线xk与直线yB的交点都是该图象的对称中心。

2(kZ)，凡是该图象4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将

1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

1先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向

||左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

图象上各点的横坐标变为原来的

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－

，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。．．6．对称轴与对称中心：

ysinx的对称轴为xk2，对称中心为(k,0)kZ；ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k2,0)；

对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、应的y值，再描点作图。

π23π、2π来求相应的x值及对

四．典例解析

题型1：三角函数的图象

例1．（201*全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）

解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除

A、C，当x∈（0，

）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。2题型2：三角函数图象的变换

例2．试述如何由y=sin（2x+解析：y=sin（2x+

1313π）的图象得到y=sinx的图象。3π）31π2倍横坐标扩大为原来的ysin（x）纵坐标不变33π图象向右平移个单位13ysinx

纵坐标不变33倍纵坐标扩大到原来的ysinx

横坐标不变另法答案：

（1）先将y=sin（2x+象；

（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得

1313ππ1）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图363y=sinx的图象；

（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。

例3．（201*上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）

A．（1－y）sinx+2y－3=0B．（y－1）sinx+2y－3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0D．－(y+1)sinx+2y+1=0

1313个单解析：将原方程整理为：y=

1，因为要将原曲线向右、向下分别移

2cosx动

1个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得

22cos(x)2（y+1）sinx+2y+1=0.

点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－项。

题型3：三角函数图象的应用

例4．（201*上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。

解析：根据图象得A=2，T=

图）+2（y+1）－1=0，即得C选21x7π－（－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），2222又由图象可得相位移为－

1，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。

1222442111根据条件3=2sin（x），∴x=2kπ+(k∈Z)或x=2k3242424π+

52π（k∈Z），∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。366∴所有交点坐标为（4kπ+

6,3）或（4kπ+

5,3）（k∈Z）。点评：本6题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型4：三角函数的定义域、值域

例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；

（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0≤cosx＜12kπ－

ππ≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。22ππ，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。22ππ，2kπ+），k∈Z}。22∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－

（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二

是三角函数线。

题型5：三角函数的单调性例6．求下列函数的单调区间：（1）y=sin（

12ππ2x－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。4431223π4分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（

故由2kπ－

π412π1π2x2x－）=－sin（－）。42433πππ3π2x9π≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），242838ππ3π2x9π21π≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k2423883π9π，3kπ+］，88为单调减区间；由2kπ+

∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－

递增区间为［3kπ+（2）y=－|sin（x+［kπ－

ππ，kπ+］。44-5434-49π21π，3kπ+］（k∈Z）。88ππ3π）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为444-yo4345474x

题型6：三角函数的奇偶性

例7．（201*上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在，使f（x）是奇函数；④对任意的，f（x）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，

+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）22解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+

，k∈Z时，f（x）=cosx，或2当=2kπ－

，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是2正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。题型7：三角函数的周期性

例8．设f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f()4，

12（1）求、a、b的值；

（2）若、、为方程f(x)0的两根，、、终边不共线，求tan()的值。

解析：(1)f(x)a2b2sin(x)，T，2，

又f(x)的最大值。f()4，4a2b2①，且

12224asinbcos②，由①、②解出a=2,b=3.

1212(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x4sin(223)，f()f()0，

3)4sin(23)，232k23，或

32k(23即k(、共线，故舍去)，或)，

3(kZ)。

636点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

k，tan()tan(k)题型8：三角函数的最值例9．（201*京、皖春理，10）函数y＝

1的最大值是（）

2sinxcosx22D．－1－

A．

2－12B．

2＋12C．1－

22解析：B；y111212sinxcosx22sin(x)2224

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