高中数学必修1知识点总结：第二章_基本初等函数

高中数学必修1知识点总结：第二章_基本初等函数

高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

一、指数函数

1、根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；n当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号②式子na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

n③根式的性质：(2、分数指数幂的概念

a)a；当n为奇数时，aa；当n为偶数时，nnnna(a0)．a|a|a(a0)n①正数的正分数指数幂的意义是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

mn②正数的负分数指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没有意义．

aa指数函数及其性质

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

3、指数函数

函数名称定义函数指数函数yax(a0且a1)叫做指数函数0a1yaxa1y图象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定义域值域xROx(0,)图象过定点(0,1)，即当x过定点奇偶性单调性0时，y1．在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1(x0)函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．（重点记）高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

4、分数指数幂的运算性质：（初中学过）

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

二、对数函数

5、对数的定义①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xloga6、几个重要的对数恒等式：（特殊）

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

对数函数及其性质

（5）对数函数

函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数0a11xa1y图象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

7、常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log108、对数的运算性质如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即loge．N（其中e2.71828）

0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③数乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥换底公式：logaN(b0,且b1)blogba9、反函数的概念

设函数

yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个

(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数

值，通过式子xyf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

10、反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

11、反函数的性质①原函数

②函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数12、幂函数的定义一般地，函数13、幂函数的图象

yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

14、幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果y轴对称)；

0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，

y轴．

在第一象限内，图象无限接近x轴与

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpqpq（其中p,q互质，p和qZp），若

p为奇

数q为奇数时，则函数．

yx是奇函数，若

p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶

qp⑤图象特征：幂函数方，当yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上

1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

〖补充知识〗二次函数

15、二次函数解析式的三种形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

16、求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

17、二次函数图象的性质

f(x)更方便．

①二次函数

b4acb2b)．f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,顶点坐标是(,2a2a4a2bbb]上递减，,)上递增，②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,在[当x2a2a2a4acb2时，fmin(x)4a．

；当a04acb2bbb]上递增，在[,)上递减，当x时，抛物线开口向下，函数在(,时，fmax(x)2a2a2a4a③二次函数

f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点．高中数学必修一“基本初等函数”知识点总结

表1定义域值域指数函数yaxa0,a1xR对数数函数ylogaxa0,a1x0,yRy0,图象过定点(0,1)减函数增函数x(,0)时，y(0,1)x(0,)时，y(1,)过定点(1,0)减函数增函数x(,0)时，y(1,)性质x(0,1)时，y(0,)x(1,)时，y(,0)x(0,1)时，y(,0)x(1,)时，y(0,)x(0,)时，y(0,1)ab表2ababab幂函数yx(R)pq00111p为奇数q为奇数奇函数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数

偶函数

扩展阅读：高中数学必修1知识点总结：第二章 基本初等函数

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高中数学必修1知识点总结

第二章基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果x号nna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符

的n次方根

a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0

是0；负数a没有n次方根．

②式子n这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．a叫做根式，③根式的性质：(n（2）分数指数幂的概念

a(a0)．a)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a(a0)mn①正数的正分数指数幂的意义是：anam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

mn②正数的负分数指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没

aa有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称定义函数指数函数yax(a0且a1)叫做指数函数0a1yaxa1y图象yaxyy1y1(0,1)(0,1)OxOx中国权威高考信息资源门户定义域值域R(0,)图象过定点(0,1)，即当x过定点奇偶性单调性0时，y1．在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1(x0)函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xloga（2）几个重要的对数恒等式

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即loge．N（其中e2.71828…）

0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③数乘：nloga⑤logab

MnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥换底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数名称对数函数中国权威高考信息资源门户定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数0a11xa1y图象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响(6)反函数的概念

设函数

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中

(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，

的任何一个值，通过式子x函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质①原函数

②函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

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③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义一般地，函数

yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上

y轴．

为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpqpq（其中p,q互质，p和qZp），

若则

p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，

yxqp是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数

yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在

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直线

yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

（3）二次函数图象的性质①二次函数

f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶点坐标是2ab4acb2(,)．2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,；当abbb]上递减，在[,)上递增，当x时，2a2a2abbb]上递增，在[,)上递减，当x2a2a2a4acb2fmin(x)4a时，

0时，抛物线开口向下，函数在(,4acb2fmax(x)4a．

③二次函数

f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2．|a|bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以下四个方

b③判别式：④端点函数值符号．2a面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：x①k＜x1≤x2

yf(k)0中国权威高考信息资源门户

ya0xb2aOkx1x②x1≤x2＜k

kx2b2aOxx1x2xa0

f(k)0

ya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0

xxf(k)0

③x1＜k＜x2af(k)＜0

ya0yf(k)0x2xa0Okx1x2xx1Okf(k)0

④k1＜x1≤x2＜k2

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2af(k1)0a0f(k2)0⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

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ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数设

f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

，最小值为m，令x0f(x)在区间[p,q]上的最大值为M（Ⅰ）当a1(pq)．20时（开口向上）

①若

bbbbp，则mf(p)②若pq，则mf()③若q，则mf(q)2a2a2a2af(q)Of(p)x

Obf(q)x

f(p)Ofx

b)2abf()(p))f(bb2a2Maf(q)②x0，则x0，则Mf(p)①若2a2aff((q)(p)x0bbbbx(q)p，则MpqMf()q，则Mf(q)①若②若，则③若f(p)0O2a2a2ax2a

①若

(Ⅱ)当a0时(开口向下f)Ofx

fbf(((p)b))f2aa2ff((q)f(p)Of(p)x

Obf()2ab)2aff(b)2a(q)xOx

f

(q)(q)f(p)fbbx0，则mf(q)②x0，则mf(p)．2a2af(b)2af(p)Off(b)2a

(q)x0f

x

x0Ox中国权威高考信息资源门户

高考试题来源：

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