高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

一、函数对称性：

1.2.3.4.5.6.7.8.

f(a+x)=f(a-x)==>f(x)关于x=a对称

f(a+x)=f(b-x)==>f(x)关于x=(a+b)/2对称f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)关于点（a，0）对称f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)关于点（a，b）对称

f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f(x)与y=f(-x)关于x=0对称y=f(x)与y=-f(x)关于y=0对称y=f(x)与y=-f(-x)关于点(0,0)对称

例1：证明函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x=(b-a)/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f(a+x)上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]

∴b2t=a，==>t=(b-a)/2，即证得对称轴为x=(b-a)/2.

例2：证明函数y=f(a-x)与y=f(xb)关于x=(a+b)/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f(a-x)上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]

∴2t-b=a，==>t=(a+b)/2，即证得对称轴为x=(a+b)/2.

二、函数的周期性

令a,b均不为零，若：

1.函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|

2.函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|3.函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|4.函数y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函数最小正周期T=|2a|

5.函数y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函数最小正周期T=|4a|

这里只对第2~5点进行解析。

第2点解析：

令X=x+a，f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba

第3点解析：同理，f(x+a)=-f(x+2a)……①

f(x)=-f(x+a)……②∴由①和②解得f(x)=f(x+2a)∴函数最小正周期T=|2a|

第4点解析:

f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)

又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)

∴函数最小正周期T=|2a|

第5点解析:

∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1

∴1f(x)=2/[f(x)+1]移项得f(x)=12/[f(x+a)+1]

那么f(x-a)=12/[f(x)+1]，等式右边通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1]，即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a)，-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①，又∵-1/f(x)=f(x+2a)②，

由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)

∴函数最小正周期T=|4a|

扩展阅读：函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0

（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式f(x)f(x)

2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性

（1）函数的轴对称：

函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)

f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)

若写成：f(ax)f(bx)，则函数yf(x)关于直线x称

(ax)(bx)ab对22证明：设点(x1,y1)在yf(x)上，通过f(x)f(2ax)可知，y1f(x1)f(2ax1)，

即点(2ax1,y1)也在yf(x)上，而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。

说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。

∵(ax1,y1)与(ax1,y1)关于xa对称，∴函数yf(x)关于xa对称

f(ax)f(ax)

∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称，∴函数yf(x)关于xa对称

f(x)f(2ax)

∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称，∴函数yf(x)关于xa对称

f(x)f(2ax)

（2）函数的点对称：

函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b

上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b

若写成：f(ax)f(bx)c，函数yf(x)关于点(abc,)对称2证明：设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，通过f(2ax)f(x)2b可知，

f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对

称。得证。

说明:关于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如(ax)与（ax)之

和为2a。

（3）函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c(x,y)x2y240它会关于y=0对称。（4）复合函数的奇偶性的性质定理：

性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。

性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。

总结：x的系数同为为1，具有周期性。

(二)、两个函数的图象对称性

1、yf(x)与yf(x)关于X轴对称。

证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，所以yf(x)经过点(x1,y1)

∵(x1,y1)与(x1,y1)关于X轴对称，∴y1f(x1)与yf(x)关于X轴对称.注：换种说法：yf(x)与yg(x)f(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

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