高一数学函数、函数与方程知识点总结

高一数学函数、函数与方程知识点总结

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『知识梳理』

映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A

中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合到集合的一个映射

定义传统定义：如果在某变化中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的

每一个确定的值，按照某个对应关系f，y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y=fx

函数及其表示函数三要素函数的表示方法近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射

值域

定义域对应法则

解析法图象法

传统定义：在区间[a，b]上，若a≤x1x2≤b，如果fx1fx2，则

fx在[a，b]上递增，[a，b]是递增区间；如果fx1fx2，则fx在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。列表法

单调性导数定义：在区间[a，b]上，若fx0，则fx在[a，b]上递增，[a，b]

是递增区间；若f

减区间。

x0，则fx在[a，b]上递减，[a，b]是递

函数函数的基本性质最值最小值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意

的xI，都有fx≥M；②存在x0I，使得fx0=M，则称

M是函数y=fx的最大值。

f①-x=-fx，x定义域D，则fx叫做奇函数，其图像关于原点对称。奇偶②f-x=fx，x定义域D，则fx叫做偶函数，其图像关于y轴对称。性

周期性：在函数fx的定义域上恒有fxT=fx（T≠0的常数）则fx

叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，简称

最大值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的

xI，都有fx≤M；②存在x0I，使得fx0=M，则称M是函数y=fx的最大值。

周期。

⑴描点连线法：列表、描点、连线

平移变换向左平移a个单位：y1=y，x1-a=xy=fxa向右平移a个单位：y1=y，x1+a=xy=fx-a向上平移b个单位：x1=x，y1-a=yy-b=fx向下平移b个单位：x1=x，y1-b=yy+b=fx

函数图像的画法⑵变换法伸缩变换横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w

1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1=wxy=fwx

横坐标变换：把各点的纵坐标y1伸长（当A1时）或缩短（当0A

1时）到原来的A倍（横坐标不变），即y1=y/Ay=fx

关于点（x0，y0）对称：=2y2y0y1=2y0-yy+y10x+x1=2x0

0-xx1=2x

-yf2x0-x

x=x1x1=x

y+y1=2y0y1=2y0-y2y0-y=fxx=x1-1第1页共6页

关于直线y=x对称y=yy=fx

1对称变关于直线x=x0对称换

0-xx+x1=2x0x1=2x

关于直线x=x0对称y=yy1=yy=f2x0-x

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『例题精讲』

例1.(1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B

①若映射f满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f的个数为。（4）解：①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:

f(a)1110f(b)00-1-1f(c)0-1-1-1由此可知符合条件的映射是4个.

例2.(1)已知f(x)=x+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;2

(2)已知

2

,求f(x＋1)的解析式.

解:(1)∵f(x)=x+2x-1(x>2)

∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)+2(2x+1)-1(2x+1>2)

∴f(2x+1)=4x+8x+2(x>1/2)(2)由已知得

∴以x替代上式中的

2222

得f(x)=x-1(x≥1)

2

∴f(x+1)=(x＋1)-1(x+1≥1)即f(x+1)=x+2x(x≥0)例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(

)=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=________。

(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?解:(1)由f(

f(-x)=f(x)(x

)=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:

f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)而f(1)=a，f(2)=1，∴a=1

(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x)①又这里f(x+T)=f(T-x)②为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)③∴由①，③得f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数.

『易错题』

例4.已知函数f(x)=

1-2x

1x

，y=g(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称，求

g1的值.2第2页共6页

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互为反函数①∴

典型错解:由题设知g(x)与=

②

∴g(x)=f(x+1)③由此得g()=f()=-

错因分析:上面①②正确，由②导出③出现错误.在这里

的反函数是g(x)，但

的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是

y=

，而是y=

-1；y=

的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.

的解析式):由已知得

=

正确解法:(着力于寻求

=-

1-x2x(x≠-2)∴

x(x≠-3)x3，∴

=∴

又由题设知g(x)的反函数为

x①x31令g()=b，则

21g()=-1.2=-

=

12②∴由①②得-

b1=b32，解得b=-1，∴

『当堂检测』

1.设函数

x3,(x10)，则f(5)＝．f(x)f(x5),(x10)22.已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x3.已知f(x)+2f(

1)的定义域______________

1)=3x,求f(x)的解析式____________________.x4.设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，

f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式___________________________.5.已知函数（1）若（2）求

f(x)2ax1,x(0,1],2xf(x)在x(0,1]是增函数，求a的取值范围;f(x)在区间(0,1]上的最大值.

第3页共6页

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『直击高考』

1.函数y=

(x≤0)的反函数是(B)

A.y=(x≥-1)B.y=－(x≥-1)C.y=(x≥0)D.y=－(x≥0)

2.(201*北京卷)函数f(x)=-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(D)

A.a∈(-∞，1]B.a∈[2，+∞)C.a∈[1，2]D.a∈(-∞，1]∪[2，+∞]3.设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=

，f(4)=0，则f

=_-2__

-1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__-2______

6.若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－

p2)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为___p/2_

『知识梳理』

零点：对于函数y=f定理：如果函数y=f

x，我们把使fx=0的实数x叫做函数y=fx的零点

x在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb

x在区间[a，b]内有零点。即存在c（a，b），使得fc=0.

零点与根的关系0，那么，函数y=f这个c也是方程f

关系：方程f

交点

x=0的根。

函数与方程x=0有实数根函数y=fx有零点函数y=fx的图像与x轴有

二分法求方程的近似解⑴确定区间[a，b]，验证f

afb0，给定精确度；

⑶计算f

⑵求区间[a，b]的中点c；

c；

c=0，则c就是函数的零点；

若fafb0，则令b=c（此时零点x0（a，b））；若fcfb0，则令a=c（此时零点x0（c，b））；

；否则重复以上a-b，则得到零点的近似值a（或b）

①若f②③

⑷判断是否达到精确度，即若步骤。

第4页共6页

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『例题精讲』

1.已知函数

一个零点比1小，求实数a的取值范围。f(x)x2(a21)xa2的一个零点比1大，

2解：设方程x(a21)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，1)0，所以x1x2(x1x2)10

2则(x11)(x2由韦达定理得a2(a即a21)10，

a20，所以2a1f(x)4xx223x在区间[1,1]上零点的个数，并说明理由。327213f1410，f1410

33332.判断函数解：因为所以

fx在区间[1,1]上有零点

2又

91f"x42x2x22x22x1时，0f"x

当192所以在[1,1]上单调递增函数，所以

fx在[1,1]上有且只有一个零点。

『易错题』

3.设

fx3x3x8,用二分法求方程3x3x80在x1,2内近似解的过程中得

f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（B）

A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定

『当堂检测』

1.如果二次函数yxmx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．2,6B．2,6C．2,6D．,26,2.已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是__________3.若方程axa0有两个实数解，则a的取值范围是（）A．(1,)B．(0,1)C．(0,2)D．(0,)

x2第5页共6页

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4.函数f(x)x5x3的实数解落在的区间是()A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]5.求函数f(x)2x33x1零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4

『直击高考』

1.设二次函数

f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21；

（1）求实数a的取值范围；（2）试比较

f0f1f0与

1的大小，并说明理由。16解：令g(x)则由题意可得：

f(x)xx2(a1)xa

01aa01021a1g(1)0a322,或a322g(0)0故所求实数a的取值范围是(0,322.函数f

0a

扩展阅读：高一数学函数、函数与方程知识点总结

函数

学优教育

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传

定义函近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射数三定义域要值域素函对应法则数的解析法表列表法示方图象法

法传统定义：在区间[a，b]上，若a≤x1x2≤b，如果fx1fxx2，则

f在单[a，b]上递增，[a，b]是递增区间；如果fx在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。1fx2，则fx调性导数定义：在区间[a，b]上，若fx0，则fx在[a，b]上递增，[a，b]

是递增区间；若fx0，则fx在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。最大值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的

xI，都有fx≤M；②存在x函最y=fx的最大值。0I，使得fx0=M，则称M是函数数值的最小值：设函数y=fx的定义域为基I，如果存在实数M满足：①对于任意

的xI，都有fx≥M；②存在x0I，使得fx0=M，则称本M是函数y=fx的最大值。

性质①f-x=-fx，x定义域D，则fx叫做奇函数，其图像关于原点对称。奇偶性②f轴对称。

-x=fx，x定义域D，则fx叫做偶函数，其图像关于y周期性：在函数fx的定义域上恒有fxT=fx（T≠0的常数）则fx叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，简称周期。⑴描点连线法：列表、描点、连线

向左平移a个单位：y1=y，x1-a=xy=fxa平向右平移a个单位：y移1=y，x1+a=xy=fx-变a向上平移b个单位：x1=x，y1-a=yy-b=fx换向下平移b个单位：x1=x，y1-b=yy+b=fx

函横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w

数伸1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x缩1=wxy=fwx

图变横坐标变换：把各点的纵坐标y像的⑵换A1伸长（当A1时）或缩短（当0A

1时）到原来的倍（横坐标不变），即y1=y/Ay=fx

画变法换x+x1=2x0x=2x0-x

法关于点（x12y0，y0）对称：y+y=2yy0-yf2x101=2y0-y

0-x关于直线x=xx+x=2xx101=2x0-x

0对称y=y对1y1=y

y=f2x0-x称x=x1变关于直线x=x0对称换y+y1x=x

1=2y0y1『例题精讲』=2y0-y2y0-y=fxx=x1

关于直线y=x对称

y=y1y=f-1x第1页共6页

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例1.(1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B

①若映射f满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f的个数为。（4）解：①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:

f(a)1110f(b)00-1-1f(c)0-1-1-1由此可知符合条件的映射是4个.

例2.(1)已知f(x)=x+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;2

(2)已知,求f(x＋1)的解析式.

解:(1)∵f(x)=x2+2x-1(x>2)

∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+1>2)

∴f(2x+1)=4x2+8x+2(x>1/2)(2)由已知得

∴以x替代上式中的

2

得f(x)=x-1(x≥1)

∴f(x+1)=(x＋1)2-1(x+1≥1)即f(x+1)=x2+2x(x≥0)例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(

)=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=________。

(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?解:(1)由f(

f(-x)=f(x)(x

)=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R)，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:

f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)而f(1)=a，f(2)=1，∴a=1

(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x)①又这里f(x+T)=f(T-x)②为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)③∴由①，③得f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数.

『易错题』

例4.已知函数f(x)=

1-2x1x，y=g(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称，求

g1的值.2互为反函数①∴

典型错解:由题设知g(x)与

第2页共6页=

学优教育

②

朋友式相处快乐式学习

∴g(x)=f(x+1)③由此得g()=f()=-

错因分析:上面①②正确，由②导出③出现错误.在这里

的反函数是g(x)，但

的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是

y=

，而是y=

-1；y=

的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.

的解析式):由已知得

=

正确解法:(着力于寻求

=-

1-x2x(x≠-2)∴

xx3(x≠-3)

又由题设知g(x)的反函数为=-

，∴=∴

xx3①

令g(

12)=b，则=

12②∴由①②得-

bb3=

12，解得b=-1，∴

g(

12)=-1.

『当堂检测』

1.设函数f(x)x3,(x10)f(x5),(x10)，则f(5)＝．2.已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x3.已知f(x)+2f(

21)的定义域______________

1x)=3x,求f(x)的解析式____________________.

4.设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，

f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式___________________________.5.已知函数f(x)2ax1x2,x(0,1],

（1）若f(x)在x(0,1]是增函数，求a的取值范围;（2）求f(x)在区间(0,1]上的最大值.

『直击高考』

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1.函数y=

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(x≤0)的反函数是(B)

A.y=(x≥-1)B.y=－(x≥-1)C.y=(x≥0)D.y=－(x≥0)

2.(201*北京卷)函数f(x)=-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(D)

A.a∈(-∞，1]B.a∈[2，+∞)C.a∈[1，2]D.a∈(-∞，1]∪[2，+∞]3.设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=

，f(4)=0，则f

=_-2__

-1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__-2______

6.若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－

p2)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为___p/2_

『知识梳理』

零点：对于函数y=fx，我们把使fx=0的实数x叫做函数y=fx的零点

定理：如果函数y=fx在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb

零点与根的关系0，那么，函数y=fx在区间[a，b]内有零点。即存在c（a，b），使得fc=0.这个c也是方程fx=0的根。

关系：方程fx=0有实数根函数y=fx有零点函数y=fx的图像与x轴有

交点

⑴确定区间[a，b]，验证fafb0，给定精确度；⑵求区间[a，b]的中点c；⑶计算fc；

①若fc=0，则c就是函数的零点；

②若fafb0，则令b=c（此时零点x0（a，b））；③若fcfb0，则令a=c（此时零点x0（c，b））；

⑷判断是否达到精确度，即若a-b，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复以上步骤。

函数与方程二分法求方程的近似解『例题精讲』

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学优教育

22朋友式相处快乐式学习

1.已知函数f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。解：设方程x(a1)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10由韦达定理得a2(a1)10，即aa20，所以2a12.判断函数f(x)4xx解：因为f所以f2222223233x在区间[1,1]上零点的个数，并说明理由。

141730，f141231330

x在区间[1,1]上有零点

21又fx42x2x2x

22"92当1x1时，0f"x92

所以在[1,1]上单调递增函数，所以fx在[1,1]上有且只有一个零点。

『易错题』

3.设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2内近似解的过程中得

xxf10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（B）

A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定

『当堂检测』

1.如果二次函数yxmx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．2,6B．2,6C．2,6D．,26,2.已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是__________

x3.若方程axa0有两个实数解，则a的取值范围是（）A．(1,)B．(0,1)C．(0,2)D．(0,)4.函数f(x)xx3的实数解落在的区间是()

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A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]5.求函数f(x)2x33x1零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4

『直击高考』

1.设二次函数f(x)xaxa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21；（1）求实数a的取值范围；（2）试比较f20f1f0与

2116的大小，并说明理由。

解：令g(x)f(x)xx(a1)xa则由题意可得：

0a01a1021a1g(1)0a322,或a322g(0)0故所求实数a的取值范围是(0,32x0a

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