高中数学三角函数知识点解题技巧总结
高中数学三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90o,90o)的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形
还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;
2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.
扩展阅读:高中数学三角函数知识点总结实用版[1]
三角函数
1.①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):
|k360,kZ
3sinx4cosxcosx▲y2sinx1cosx②终边在x轴上的角的集合:|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合:|k18090,kZ
xcosx4sinx2sinx3④终边在坐标轴上的角的集合:|k90,kZ⑤终边在y=x轴上的角的集合:|k18045,kZ⑥终边在yx1SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域轴上的角的集合:|k18045,kZ
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:360k⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:360k180⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:180k⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:360k902.角度与弧度的互换关系:360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式:1rad=180°≈57.30°=57°18.1°=
180≈0.01745(rad)
3、弧长公式:l||r.扇形面积公式:s扇形12lr12||r
y24、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则sincosxryr;rya的终边P(x,y);tanyx;cotxy;secrx;.csc.rox5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx
6、三角函数线
正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT.
7.三角函数的定义域:三角函数f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定义域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcostan8、同角三角函数的基本关系式:sintancot1cscsin1
222
cossincot
16.几个重要结论:
2seccos1
22sincos1sectan1csccot1
(1)y(2)y9、诱导公式:
把k2|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x的三角函数化为的三角函数,概括为:“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:(一)基本关系
cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o(二)角与角之间的互换
公式组一公式组二
coscos()coscossinsinsin22sincos()coscossinsinsin()sincoscossin2222cos2cossin2cos112sin
tan22tan1tan1cos22
sin()sincoscossintantan1tantantantan1tantansin2tan()
cos21cos2
sin1cos1cossintan()tan
21cos1cos公式组三公式组四公式组五2tansin1tan22sincos121212sinsincossinsincos(sin(tan(121212)sin)cos)cot2
cossincoscos1tancos1tan22cos22
sinsin12coscoscos(tan(sin(sinsin2sinsinsin2cos22cossin22121212)sin22tantan1tan22)cot)cos264
coscos2coscoscos2sin22cossinsin15cos75,,tan152cot7523,.
2tan75cot15223
sin75cos1564
10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:定义域值域周期性奇偶性单调性ysinxycosxytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxyAsinx(A、>0)RR[1,1]R[1,1]x|xR且xk,kZRRA,A22奇函数22偶函数[2k1,奇函数k,k22奇函数当当0,0,非奇非偶奇函数[2k,2k];k,k1上为减函数(kZ)22k]上为增函上为增函数数(kZ)[2k,上为增函数[;2k,2k]2k1]数2k2(A),12k2(A)22上为减函(kZ)上为增函数;2k2(A),32k2(A)3上为减函数(kZ)上为减函数(kZ)
注意:①ysinx与ysinx的单调性正好相反;ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地,若yf(x)在[a,b]上递增(减),则yf(x)在[a,b]上递减(增).
▲②ysinx与ycosx的周期是.
cos(x)y③ysin(x)或yytanx2(0)的周期T2.
Ox的周期为2(TT2,如图,翻折无效).
2④ysin(x)的对称轴方程是x对称轴方程是x原点对称k(kZ),对称中心(k,0);y12(socx)的
k(kZ),对称中心(k;y,0)
(nat(x)的对称中心
k2.,0)
ycos2xycos(2x)cos2x
tan⑤当tan
1,k2(kZ)tan;tan
1,k2(kZ).
⑥ycosx与ysin2k是同一函数,而y(x)是偶函数,则x212y(x)sin(xk)cos(x).
⑦函数ytanx在R上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,ytanx为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(x)f(x))
f(x)f(x),奇函数:
奇偶性的单调性:奇同偶反.例如:ytanx是奇函数,ytan(x1)是非奇非偶.(定
3义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若0x的定义域,则f(x)一定有质)
▲f(0)0.(0x的定义域,则无此性
⑨ysinx不是周期函数;ysinx为周期函数(T);y▲yx1/2xycosx是周期函数(如图);ycosx为周期函数(T);y=cos|x|图象ycos2x12的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
y=|cos2x+1/2|图象yf(x)5f(xk),kR.
⑩yacosbsinab22sin()cosba有a2b2y.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T2||,频率f1T||2,相位x;初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的|1|倍,得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx
替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
高中数学三角函数常见习题类型及解法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-
22等。
(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=
ba确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
四、例题分析例1.已知tan的值.
解:(1)
cossincossin1sin22322;
1tan1cossin1tan11cos222cossin2,求(1);(2)sin2sin.cos2cos2cossin(2)sinsincos2cossin222sinsincos2cossincos22
cos2cossin12cossin222221432.
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
例2.求函数y1sinxcosx(sinxcosx)2的值域。
解:设tsinxcosx1232ytt1(t)242sin(xπ4)[2,2],则原函数可化为
,因为t[2,2],所以
12当t2时,ymax32,当t34时,ymin34,
所以,函数的值域为y[,32]。
例3.已知函数f(x)4sin2x2sin2x2,xR。
(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合;(2)证明:函数f(x)的图像关于直线xπ8对称。
解:f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)2sinx22coxs22π2xsin(24)(1)所以f(x)的最小正周期Tπ,因为xR,所以,当2xπ42kππ2,即xkπ3π8时,f(x)最大值为22;
π8(2)证明:欲证明函数f(x)的图像关于直线x有f(π8x)f(π8π8π8π8x)成立,
π8π8x)x)π4π4对称,只要证明对任意xR,
因为f(f(x)22sin[2(x)22sin[2(x)f(π8]22sin(]22sin(π2π22x)22cos2x,
2x)22cos2x,
π8所以f(x)成立,从而函数f(x)的图像关于直线x12对称。
例4.已知函数y=cos2x+
32sinxcosx+1(x∈R),
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(1)y=+1
==141212cos2x+
32sinxcosx+1=
1412(2cos2x-1)+
14+
34(2sinxcosx)
cos2x+sin(2x+
346
sin2x+)+
5454=(cos2xsin
6+sin2xcos
6)+
54所以y取最大值时,只需2x+
6=2+2kπ,(k∈Z),即x=
66+kπ,(k∈Z)。
所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:(i)把函数y=sinx的图像向左平移
6+kπ,k∈Z}
6,得到函数y=sin(x+
12)的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的函数y=sin(2x+
6倍(纵坐标不变),得到
)的图像;
12(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=
12sin(2x+
6)的图像;
54(iv)把得到的图像向上平移的图像。
综上得到y=
12个单位长度,得到函数y=
12sin(2x+
6)+
54cos2x+
32sinxcosx+1的图像。
说明:本题是201*年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx的齐次式,降幂后最终化成y=a2b2sin(ωx+)+k的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当cosx=0时,y=1;当cosx≠0时,
1y=
2cos2x23sin2xcossinxcosx21x+1=
221tan3tanx2x+1
化简得:2(y-1)tan2x-3tanx+2y-3=0
∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3)≥0,解之得:∴ymax=
7434≤y≤
74,此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+
x3cosx33cos26,k∈Z}
例5.已知函数f(x)sinx3.
(Ⅰ)将f(x)写成Asin(x)的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解:
f(x)12sin2x332(1cos2x3)12sin2x332cos2x332sin(2x33)32
(Ⅰ)由sin(2x33)=0
即对称中心的横坐标为(Ⅱ)由已知b2=ac
33k12即
2x3k(kz)得xkz3k12kz
,cosx|12acb2ac222acac2ac222acac2ac2x32x312,593sin(2x3cosx1,0x3,3332||592|,32sin].
3sin(3)1,3)132,即f(x)的值域为(3,1综上所述,x(0,],f(x)值域为(3,1332].
说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。
例6.在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(1)求sinB的值;
(2)若b42,且a=c,求ABC的面积。解:(1)由正弦定理及
cosCcosB3acbcosCcosB3acb,
,有
cosCcosB3sinAsinCsinB,
即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB,所以sin(BC)3sinAcosB,
又因为ABCπ,sin(BC)sinA,所以sinA3sinAcosB,因为sinA0,所以cosB13,又0Bπ,所以sinB1cos2B23ac32223。
(2)在ABC中,由余弦定理可得a2c243,又ac,
所以有a232,即a224,所以ABC的面积为
S12acsinB12asinB822。
三角函数
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kππkπ2.集合M={x|x=±,k∈Z}与N={x|x=,k∈Z}之间的关系是()
244A.MNB.NMC.M=ND.M∩N=
3.若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角度是()
A.60°角
()A.(1)(2)2A.
5B.(2)(3)C.(1)(3)21B.-C.
55B.-60°C.30°
D.-30°
4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的
是D.(2)(4)
5.设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于()
1D.-
5136.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π-α)等于()
223313B.C.D.±2222
7.若α是第四象限角,则π-α是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是()
A.-A.2
B.2C.2sin1sin1
D.sin2
19.如果sinx+cosx=,且0<x<π,那么cotx的值是()
54A.-
3433B.-或-C.-
344
43D.或-
34D.9
10.若实数x满足log2x=2+sinθ,则|x+1|+|x-10|的值等于()A.2x-9B.9-2xC.11
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.tan300°+cot765°的值是_____________.12.若sinα+cosα
=2,则sinαcosα的值是_____________.
sinα-cosα
2cosx
13.不等式(lg20)>1,(x∈(0,π))的解集为_____________.
114.若θ满足cosθ>-,则角θ的取值集合是_____________.
215.若cos130°=a,则tan50°=_____________.-16.已知f(x)=
1-xπ
,若α∈(,π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为___________.1+x三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设一扇形的周长为C(C>0),当扇形中心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多少?
18.(本小题满分14分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,5),且cosα=
2x,求sinα与tanα的值.4
m-34-2mπ
19.(本小题满分14分)已知≤θ≤π,sinθ=,cosθ=,求m的值.
2m+5m+5
20.(本小题满分15分)已知0°<α<45°,且lg(tanα)-lg(sinα)=lg(cosα)-lg(cotα)+2lg33
-lg2,求cos3α-sin3α的值.2
721.(本小题满分15分)已知sin(5π-α)=2cos(π+β)和3cos(-α)=-2cos(π+β),
2且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.
三角函数
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.下列函数中,最小正周期为π的偶函数是()
A.y=sin2xC.y=sin2x+cos2x
xB.y=cos
21-tanxD.y=
1+tan2x
22.设函数y=cos(sinx),则()
A.它的定义域是[-1,1]B.它是偶函数
C.它的值域是[-cos1,cos1]D.它不是周期函数3.把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两
π倍,然后把图象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为
4()
A.y=2sin2x
B.y=-2sin2x
xπ
D.y=2cos(+)
24πC.y=2cos(2x+)
4π4.函数y=2sin(3x-)图象的两条相邻对称轴之间的距离是()
4πA.
3B.2π
C.π3
D.4π
35.若sinα+cosα=m,且-2≤m<-1,则α角所在象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.函数y=|cotx|sinx(0<x≤
3π
且x≠π)的图象是()2
cos2x
7.设y=,则下列结论中正确的是()
1+sinx
A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值
C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值π
8.函数y=sin(-2x)的单调增区间是()
4A.[kπ-
3πππ5π,kπ+](k∈Z)B.[kπ+,kπ+](k∈Z)8888
π3π3π7π
C.[kπ-,kπ+](k∈Z)D.[kπ+,kπ+](k∈Z)
8888
1
9.已知0≤x≤π,且-<a<0,那么函数f(x)=cos2x-2asinx-1的最小值是()
2A.2a+1
B.2a-1C.-2a-1
D.2a
π10.求使函数y=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)为奇函数,且在[0,]上是增函数的θ的一
4个
()A.
5π
3B.值4π2π
C.33
为πD.3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.函数y=
cosx
的值域是_____________.
1+2cosx
cosx
的定义域是_____________.
lg(1+tanx)
13.如果x,y∈[0,π],且满足|sinx|=2cosy-2,则x=___________,y=___________.14.已知函数y=2cosx,x∈[0,2π]和y=2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形12.函数y=
的面积是_____________
15.函数y=sinx+cosx+sin2x的值域是_____________.π
16.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题:
3①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;π②y=f(x)的表达式可改为y=4cos(2x-);
6π
③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称;
6π
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.
6其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,试求该函数的一个解析式.
18.(本小题满分14分)已知函数y=(sinx+cosx)+2cosx.(x∈R)
(1)当y取得最大值时,求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
219.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log12(sinx-cosx)
(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调减区间;
(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.
20.(本小题满分15分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图),为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值m,渠深3米,则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时,方能使修建的成本最低?
21.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其3ππ
图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.
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