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高中数学函数总结归纳

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-28 22:39:53 | 移动端:高中数学函数总结归纳

高中数学函数总结归纳

大成培训(函数总结归纳)

一:会求函数的定义域值域。二:知道函数奇偶性的相关性质。

三:会求函数的导数和用导数解决相关问题,会解含x3的方程!四:知道根的分部情况。注意分类讨论!本部分重点把握对参数分类讨论

【必做题】1求函数f(x)ax2bx1在区间t,t1(tR)上的值域2解关于x的不等式(1)ax2-(a+1)x+1>0(2)ax2-x+1>0常见函数压轴题分类:

一:形如x3形的(重点策略:掌握其函数基本图像,学会分类讨论)

1.已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行,且yg(x)在x=-1处取得最小值m-1(m0).设函数f(x)g(x)x

(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值(2)k(kR)如何取值时,函数yf(x)kx存在零点,并求出零点.x2已知函数f(x)x(kk1)x5x2,g(x)kxkx1,

其中kR.21世纪教育网

(I)设函数p(x)f(x)g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围;...

323已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR).

322221k121世纪教育网(I)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;(II)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调,求a的取值范围....4设函数f(x)x3axb(a0).

(Ⅰ)若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切,求a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.5已知函数f(x)13axbxx3,其中a0

323(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?

1

(2)已知a0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.6.设函数f(x)13x(1a)x4ax24a,其中常数a>1

32(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。21世纪教育网7已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行,且yg(x)在x1处取得极小值

m1(m0).设f(x)g(x)x.

(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值;(2)k(kR)如何取值时,函数yf(x)kx存在零点,并求出零点.

8设函数f(x)x392x6xa.

2(1)对于任意实数x,f(x)m恒成立,求m的最大值;

(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根,求a的取值范围.9设函数f(x)13xx(m3221)x,(xR,)其中m0

(Ⅰ)当m1时,曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线斜率(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;

(Ⅲ)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1x2。若对任意的x[x1,x2],

f(x)f(1)恒成立,求m的取值范围。

3210已知函数f(x)x2bxcx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。

(I)求函数f(x)的解析式;(II)设函数g(x)f(x)对应的自变量x的值.

11已知函数f(x)xbxcx的导函数的图象关于直线x=2对称.

(Ⅰ)求b的值;

(Ⅱ)若f(x)在xt处取得最小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域。12已知函数f(x)x3ax1,a0

2

33213mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时

求若

f(x)的单调区间;

f(x)在x1处取得极值,直线y=my与yf(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围。

13已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。(I)求函数f(x)的解析式;(II)设函数g(x)f(x)对应的自变量x的值.14已知关于x的函数f(x)=

13x3+bx+cx+bc,其导函数为f(x).令g(x)=f(x),记函数g(x)在

2++

13mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时

区间[-1、1]上的最大值为M.

(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-43,试确定b、c的值:

(Ⅱ)若b>1,证明对任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若MK对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。15已知函数f(x)x33ax29a2xa3.

(1)设a1,求函数fx的极值;(2)若a14,且当x1,4a时,f(x)12a恒成立,试确定a的取值范围.

"16已知函数f(x)13xaxbx,且f"(1)0

32(I)试用含a的代数式表示b;

(Ⅱ)求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)令a1,设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值,记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),证明:线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点;

217已知f(x)xbxc为偶函数,曲线yf(x)过点(2,5),g(x)(xa)f(x).

(Ⅰ)求曲线yg(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若当x1时函数yg(x)取得极值,确定yg(x)的单调区间.

二:直接求导分类讨论型(重点策略:细心求导,注意函数的定义域,有条理分类讨论)1f(x)xe(k0)

(Ⅰ)求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

3

kx

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;

)单调递增,求k的取值范围.2已知函数(Ⅲ)若函数f(x)在区间(1,1内

f(x)x2xa(2lnx),(a0),讨论f(x)的单调性.

3已知函数(Ⅰ)讨论

的单调性;

在区间{1,

ex,a>0,21世纪教育网

(Ⅱ)设a=3,求4设函数f(x)

}上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。

x(1)求函数f(x)的单调区间;21世纪教育网(2)若k0,求不等式f"(x)k(1x)f(x)0的解集.

5设f(x)ex(ax2x1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行。求a的值,并讨论f(x)的单调性;6已知函数f(x)=

122x-ax+(a-1)lnx,a1。讨论函数f(x)的单调性;

7已知函数f(x)ln(ax1)1x1x,x0,其中a0

若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;21世纪教育网求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围。8已知函数f(x)(xax2a3a)e(xR),其中aR

(1)当a0时,求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当a2322x时,求函数f(x)的单调区间与极值。

x9已知a0,且a1函数f(x)loga(1a)。(I)求函数f(x)的定义域,并判断f(x)的单调性;(II)当ae(e为自然对数的底数)时,设h(x)(1e实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。

4

f(x))(xm1),若函数h(x)的极值存在,求

10设函数f(x)ax2bxk(k0)在x0处取得极值,且曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x2y10.

ex(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若函数g(x)x2f(x),讨论g(x)的单调性.11已知函数f(x)=In(1+x)-x+x(k≥0)。

2(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)的单调区间。

12设函数f(x)lnxln(2x)ax(a0).(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为

12,求a的值.

三含绝对值型的(策略:首先就分类讨论或者两边平方去掉绝对值,化为分段函数再讨论处理)

1已知函数f(x)x21,g(x)a|x1|.

(1)若关于x的方程|f(x)|g(x)只有一个实数解,求实数a的取值范围;

(2)若当xR时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)求函数h(x)|f(x)|g(x)在区间[2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤)..............2设a为实数,函数f(x)2x(xa)|xa|.(1)若f(0)1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)f(x),x(a,),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.....

23已知函数f(x)xa|lnx1|,g(x)x|xa|22ln2,a0.

2(Ⅰ)当a1时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;(Ⅱ)若f(x)32a,x[1,)恒成立,求a的取值范围;

(Ⅲ)对任意x1[1,),总存在惟一的...x2[2,),使得f(x1)g(x2)成立,求a的取值范围.

|x|4.已知函数f(1)若axa2axa0,a1,

1,且关于x的方程fxm有两个不同的正数解,求实数m的取值范围;

(2)设函数gxfx,x2,,gx满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小)值与a无关.试求a的取值范围.

5

四抽象函数(破题策略:坚信自己,勇敢去做,其实题目一般较简单,关键是理解题意)

1对于函数y=f(x),x∈(0,),如果a,b,c是一个三角形的三边长,那么f(a),f(b),f(c)也是一个三角形的三边长,则称函数f(x)为“保三角形函数”.

对于函数y=g(x),x∈[0,),如果a,b,c是任意的非负实数,都有g(a),g(b),g(c)是一个三角形的三边长,则称函数g(x)为“恒三角形函数”.(1)判断三个函数“f1(x)=x,f2(x)=2x,f3(x)=3x2(定义域均为x∈(0,))”中,那些是“保三角形函数”?请说明理由;(2)若函数g(x)=

xkx1xx122,x∈[0,)是“恒三角形函数”,试求实数k的取值范围;

(3)如果函数h(x)是定义在(0,)上的周期函数,且值域也为(0,),试证明:h(x)既不是“恒三角形函数”,也不是“保三角形函数”.

2若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足:f(x)kxb和.已知h(x)x,(x)2elnx(其g(x)kxb,则称直线l:ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”

中e为自然对数的底数).

(Ⅰ)求F(x)h(x)(x)的极值;

(Ⅱ)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

26

扩展阅读:高中数学三角函数知识点总结实用版[1]

高中数学第四章-三角函数

1.①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②终边在x轴上的角的集合:|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合:|k18090,kZ④终边在坐标轴上的角的集合:|k90,kZ⑤终边在y=x轴上的角的集合:|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合:|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:360k⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:360k180⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:180k⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:360k902.角度与弧度的互换关系:360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式:1rad=180°≈57.30°=57°18.1°=≈0.01745(rad)

1803、弧长公式:l2||r.扇形面积公式:s扇形lr||r

12124、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则siny;rya的终边P(x,y)ryxcos;tanxr;cotx;secr;.cscr.yxyox5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

16.几个重要结论:(1)y6、三角函数线

正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT.

高三数学总复习三角函数

(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o

7.三角函数的定义域:三角函数f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定义域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函数的基本关系式:sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、诱导公式:

把k的三角函数化为的三角函数,概括为:2“奇变偶不变,符号看象限”

三角函数的公式:(一)基本关系

公式组一公式组二公式组三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt(二)角与角之间的互换

公式组一公式组二

22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22高三数学总复习三角函数tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式组三公式组四公式组五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562

4

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:定义域值域周期性奇偶性单调性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx(A、>0)RR[1,1]RA,A当0,非奇非偶当0,奇函数2k2k2(A),12(A)2奇函数22偶函数[2k1,2k]奇函数k,k22奇函数[22k,;k,k1上为减函数(kZ)22k]上为增函数;[2k,232k]2上为增函数[2k,2k1]上为减函数(kZ)上为增函数(kZ)上为增函数;2k上为减函数(kZ)2(A),32k2(A)上为减函数高三数学总复习三角函数(kZ)注意:①ysinx与ysinx的单调性正好相反;ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地,若yf(x)在[a,b]上递增(减),则yf(x)在[a,b]上递减(增).

▲②ysinx与ycosx的周期是.

x)或ycos(x)(0)的周期T③ysin(2y.

Oxxytan的周期为2(TT2,如图,翻折无效).

2x)的对称轴方程是xk④ysin(2(cs(kZ),对称中心(k,0);yox)的

对称轴方程是xk(kZ),对称中心(k1,0);yant(2(x)的对称中心

k.,0)2ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤当tan

2tan1,k(kZ);tan

2(kZ).

⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数,则

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函数ytanx在R上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,

ytanx为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(x)f(x),奇函数:f(x)f(x))

1奇偶性的单调性:奇同偶反.例如:ytanx是奇函数,ytan(x)是非奇非偶.(定

3义域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若0x的定义域,则f(x)一定有f(0)0.(0x的定义域,则无此性质)

▲⑨ysinx不是周期函数;ysinx为周期函数(T);y▲yx1/2x高三数学总复习三角函数

y=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象;ycosx为周期函数(T);ycosx是周期函数(如图)

ycos2x1的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:

2yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函数图象的作法:1)、几何法:

b有a2b2y.a2)、描点法及其特例五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).

3)、利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T2,频率f1||,相位x;初相||T2(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),

由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的|1|倍,得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx

替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)

由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)

由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数:函数y=sinx,的反函数叫做反正弦函数,记作x2,2y=arcsinx,它的定义域是[-1,

1],值域是-,.

22函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].

函数y=tanx,记作的反函数叫做反正切函数,x2,222y=arctanx,它的定义域是(-

∞,+∞),值域是,.

高三数学总复习三角函数函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).

II.竞赛知识要点

一、反三角函数.

1.反三角函数:反正弦函数yarcsinx是奇函数,故arcsin(x)arcsinx,x1,1(一定要注明定义域,若x,,没有x与y一一对应,故ysinx无反函数)注:sin(arcsinx)x,x1,1,arcsinx,.

22反余弦函数yarccosx非奇非偶,但有arccos(x)arccos(x)2k,x1,1.注:①cos(arccosx)x,x1,1,arccosx0,.

②ycosx是偶函数,yarccosx非奇非偶,而ysinx和yarcsinx为奇函数.反正切函数:yarctanx,定义域(,),值域(arctan(x)arctanx,x(,).

22,),ynatcrax是奇函数,

注:tan(arctanx)x,x(,).

反余切函数:yarccotx,定义域(,),值域(arotc,yc,)

22x是非奇非偶.

arccot(x)arccot(x)2k,x(,).注:①cot(arccotx)x,x(,).

1x)互为奇函数,yarctanx同理为奇而yarccosx与yarccotx②yarcsinx与yarcsin(非奇非偶但满足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].

正弦、余弦、正切、余切函数的解集:

a的取值范围解集a的取值范围解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a>1=1x|x2karcsai,nkZ<1x|xk1karcsina,kZ

aa>1

a=1x|x2karccosa,kZ

aa<1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集:x|xkarctana,kZ③coxta的解集:x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.

sin2n1组一ncoscos2cos4...cos2n12sin

组二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n

高三数学总复习三角函数cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)

sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)

sindtan()tantantantantantan

1tantantantantantan组三三角函数不等式

sinx<x<tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是减函数x若ABC,则x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高三数学总复习三角函数

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