高中数学函数部分知识点总结

高中数学函数部分知识点总结

1.函数的奇偶性

（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x);

（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）;(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

2.复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；3.函数图像（或方程曲线的对称性）

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2a的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4a的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；

（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数；5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)；

6.a≥f(x)恒成立a≥［f(x)］max,;a≤f(x)恒成立a≤［f(x)］min;7.（1）(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-－1(x)]=x(x∈B),f-－1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

13.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；

本文来自:【爱学啦】()原文地址：

扩展阅读：高中数学知识点总结.(集合与函数部分)doc

高中数学必考知识点(集合与简易逻辑)

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2如：集合Ax|x2x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为3.注意下列性质：

1（答：1，0，）

3（1）集合a1，a2，，an的所有子集的个数是2n；

（2）真子集个数是（3）非空真子集个数是

4.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”().

若p且q为真，当且仅当p、q均为真若p或q为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

5.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6.充要条件是什么？

一．选择题：

1.（全国二2）设集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，则MN（B）A．01，

B．101，，

C．01，，2

D．101，，，2

2.(安徽卷1）若A位全体实数的集合，B2,1,1,2则下列结论正确的是（D）

A．AB2,1B．(CRA)B(,0)C．AB(0,)

D．(CRA)B2,1

3.（安徽卷4）a0是方程ax22x10至少有一个负数根的（B）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

B{x|x1或x4}，4.(北京卷1)若集合A{x|2≤x≤3}，则集合AB等于（D）

A．x|x≤3或x4C．x|3≤x4

B．x|1x≤3D．x|2≤x1

5.（福建卷1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于AA.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。

（答：a，a）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f令tx1exx，求f(x).

x1，则t0∴xt21∴f(t)et221t21

∴f(x)ex1x21x0

12.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数且为满射）

求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x如：求函数f(x)2xx0x1x11的反函数（答：f(x)）x0xx013.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)af1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

f(x)log1(x2axa)2当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）

如：求ylog1x2x的单调区间

222（设ux2x，由u0则0x2且log1u，ux11，如图：

22uO12x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2已知f(x)log1(x2axa)的值域为R，f（x）在(,13)上是增函数，则a的取值是2

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f"(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f"(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0

3

2B.1C.2D.3

（令f"(x)3xa3xaax033则xaa或x33a1，即a33由已知f(x)在[1，)上为增函数，则∴a的最大值为3）

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a2xa2为奇函数，则实数a如：若f(x)x21（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a20a20，∴a1）即2

2x，又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x（令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x又f(x)为奇函数，∴f(x)x

4114xx(1，0)x24x1又f(0)0，∴f(x)x0）x2x0，1x4117.你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)则f(x)是周期函数，2ab为一个周期如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称f(x)与f(x)的图象关于原点对称f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

左移a(a0)个单位yf(xa)

将yf(x)图象右移a(a0)个单位yf(xa)注意如下“翻折”变换：

上移b(b0)个单位下移b(b0)个单位yf(xa)byf(xa)b

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

yy=log2xO1x19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a

（1）一次函数：ykxbk0（2）反比例函数：y的双曲线。

kkk0推广为ybk0是中心O"(a，b)xxa2b4acb2（3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线2a4a2b4acb2b顶点坐标为，，对称轴x4a2a2a开口方向：a0，向上，函数ymin4acb24acb2a0，向下，ymax

4a4a应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

0b2如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0y(a>0)Okx1x2x

一根大于k，一根小于kf(k)0（4）指数函数：yaxa0，a1（5）对数函数ylogaxa0，a1由图象记性质！（注意底数的限定！）

yy=ax(a>1)(0

（先令xytf(t)(t)f(tt)∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f(t)）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x（2）y2x4x32x22（3）x3，y（4）yx49x设x3cos，0，

x3（5）y4x

9，x(0，1]x

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